Teorema espectral de Freudenthal

En matemáticas , el teorema espectral de Freudenthal es un resultado de la teoría del espacio de Riesz demostrado por Hans Freudenthal en 1936. Afirma, en términos generales, que cualquier elemento dominado por un elemento positivo en un espacio de Riesz con la propiedad de proyección principal puede, en cierto sentido, aproximarse uniformemente mediante funciones simples .

Del teorema espectral de Freudenthal se pueden derivar numerosos resultados bien conocidos. El conocido teorema de Radon-Nikodym , la validez de la fórmula de Poisson y el teorema espectral de la teoría de operadores normales pueden demostrarse como casos especiales del teorema espectral de Freudenthal.

Declaración

Sea e cualquier elemento positivo en un espacio de Riesz E . Un elemento positivo de p en E se llama componente de e si . Si son componentes disjuntos de e por pares , cualquier combinación lineal real de se llama función e -simple. ${\displaystyle p\wedge (e-p)=0}$ ${\displaystyle p_{1},p_{2},\ldots ,p_{n}}$ ${\displaystyle p_{1},p_{2},\ldots ,p_{n}}$

El teorema espectral de Freudenthal establece: Sea E cualquier espacio de Riesz con la propiedad de proyección principal y e cualquier elemento positivo en E . Entonces, para cualquier elemento f en el ideal principal generado por e , existen sucesiones y de funciones e -simples, tales que es monótona creciente y converge e -uniformemente a f , y es monótona decreciente y converge e -uniformemente a f . ${\displaystyle \{s_{n}\}}$ ${\displaystyle \{t_{n}\}}$ ${\displaystyle \{s_{n}\}}$ ${\displaystyle \{t_{n}\}}$

Relación con el teorema de Radon-Nikodym

Sea un espacio de medida y el espacio real de medidas -aditivas con signo en . Se puede demostrar que es una red de Banach completa de Dedekind con la norma de variación total , y por lo tanto tiene la propiedad de proyección principal . Para cualquier medida positiva , se puede demostrar que las funciones -simples (como se definieron anteriormente) corresponden exactamente a funciones simples -medibles en (en el sentido habitual). Además, dado que por el teorema espectral de Freudenthal, cualquier medida en la banda generada por se puede aproximar monótonamente desde abajo por funciones simples -medibles en , por el teorema de convergencia monótona de Lebesgue se puede demostrar que corresponde a una función y establece un isomorfismo de red isométrica entre la banda generada por y la red de Banach . ${\displaystyle (X,\Sigma )}$ ${\displaystyle M_{\sigma }}$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle (X,\Sigma )}$ ${\displaystyle M_{\sigma }}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle (X,\Sigma )}$ ${\displaystyle \nu }$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle (X,\Sigma )}$ ${\displaystyle \nu }$ ${\displaystyle L^{1}(X,\Sigma ,\mu )}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle L^{1}(X,\Sigma ,\mu )}$

Véase también

• Teorema de Radon-Nikodym

Referencias

• Zaanen, Adriaan C. (1996), Introducción a la teoría del operador en espacios de Riesz , Springer , ISBN 3-540-61989-5
• Zaanen, Adriaan C.; Luxemburgo, WAJ (1971), Espacios de Riesz I , Holanda Septentrional , ISBN 0-7204-2451-8