Celosía de Banach

En las disciplinas matemáticas del análisis funcional y la teoría del orden , una red de Banach $(X,‖\cdot‖)$ es un espacio vectorial normado completo con un orden de red , , tal que para todo $x$ $,$ $y$ $\in$ $X$ , se cumple la implicación, donde el valor absoluto $|\cdot|$ se define como ${\estilo de visualización \leq}$ ${|x|\leq |y|}\Flecha derecha {\|x\|\leq \|y\|}$ $|x|=x\vee -x:=\sup\{x,-x\}{\text{.}}$

Ejemplos y construcciones

Las redes de Banach son extremadamente comunes en el análisis funcional, y "cada ejemplo conocido [en 1948] de un espacio de Banach [era] también una red vectorial ". ^[1] En particular:

$ℝ$ , junto con su valor absoluto como norma, es una red de Banach.
Sea $X$ un espacio topológico, $Y$ una red de Banach y $𝒞(X, Y)$ el espacio de funciones continuas acotadas de $X$ a $Y$ con norma. Entonces $𝒞($ $X$ $,$ $Y$ $)$ es una red de Banach bajo el orden parcial puntual: $\|f\|_{\infty }=\sup _{x\in X}\|f(x)\|_{Y}{\text{.}}$ ${f\leq g}\Flecha izquierda y derecha (\para todo x\en X)(f(x)\leq g(x)){\text{.}}$

Actualmente se conocen ejemplos de espacios de Banach no reticulares; el espacio de James es uno de ellos. ^[2]

Propiedades

El espacio dual continuo de una red de Banach es igual a su dual de orden . ^[3]

Toda red de Banach admite una aproximación continua a la identidad . ^[4]

Espacios abstractos (L)

Una red de Banach que satisface la condición adicional se denomina espacio (L) abstracto. Dichos espacios, bajo el supuesto de separabilidad, son isomorfos a subredes cerradas de $L$ $1$ $($ $[0,1]$ $)$ . ^[5] El teorema ergódico medio clásico y la recurrencia de Poincaré se generalizan a espacios (L) abstractos. ^[6] ${f,g\geq 0}\Flecha derecha \|f+g\|=\|f\|+\|g\|$

Véase también

Espacio de Banach : espacio vectorial normado que es completo
Red vectorial normalizada
Espacio de Riesz : espacio vectorial parcialmente ordenado, ordenado como una red
Retículo (orden) : Conjunto cuyos pares tienen mínimos y máximos.

Notas al pie

^ Birkhoff 1948, pág. 246.
^ Kania, Tomasz (12 de abril de 2017). Respuesta a "Espacio de Banach que no es una red de Banach" (consultado el 13 de agosto de 2022). StackExchange de matemáticas . StackOverflow .
^ Schaefer y Wolff 1999, págs. 234-242.
^ Birkhoff 1948, pág. 251.
^ Birkhoff 1948, págs. 250, 254.
^ Birkhoff 1948, págs. 269-271.

Bibliografía

Abramovich, Yuri A.; Aliprantis, CD (2002). Una invitación a la teoría de operadores . Estudios de posgrado en matemáticas. Vol. 50. Sociedad matemática estadounidense. ISBN 0-8218-2146-6.
Birkhoff, Garrett (1948). Teoría de retículos. AMS Colloquium Publications 25 (edición revisada). Nueva York: AMS. hdl :2027/iau.31858027322886 – vía HathiTrust.
Narici, Lawrence; Beckenstein, Edward (2011). Espacios vectoriales topológicos . Matemáticas puras y aplicadas (segunda edición). Boca Raton, FL: CRC Press. ISBN 978-1584888666.OCLC 144216834 .
Schaefer, Helmut H. ; Wolff, Manfred P. (1999). Espacios vectoriales topológicos . GTM . Vol. 8 (Segunda ed.). Nueva York, NY: Springer New York Imprenta Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0.OCLC 840278135 .