En matemáticas , la teoría de dualidad para redes distributivas proporciona tres representaciones diferentes (pero estrechamente relacionadas) de redes distributivas acotadas a través de espacios de Priestley , espacios espectrales y espacios de Stone por pares . Esta dualidad, que originalmente también se debe a Marshall H. Stone , [1] generaliza la conocida dualidad de Stone entre los espacios de Stone y las álgebras de Boole .
Sea L una red distributiva acotada y sea X el conjunto de filtros primos de L . Para cada a ∈ L , sea φ + ( a ) = { x ∈ X : a ∈ x } . Entonces ( X , τ + ) es un espacio espectral, [2] donde la topología τ + en X se genera por { φ + ( a ) : a ∈ L } . El espacio espectral ( X , τ + ) se llama espectro primo de L .
La función φ + es un isomorfismo reticular de L sobre el retículo de todos los subconjuntos abiertos compactos de ( X , τ + ) . De hecho, cada espacio espectral es homeomorfo al espectro primo de algún retículo distributivo acotado. [3]
De manera similar, si φ − ( a ) = { x ∈ X : a ∉ x } y τ − denota la topología generada por { φ − ( a ) : a ∈ L } , entonces ( X , τ − ) también es un espacio espectral. Además, ( X , τ + , τ − ) es un espacio de Stone por pares . El espacio de Stone por pares ( X , τ + , τ − ) se denomina dual bitopológico de L . Cada espacio de Stone por pares es bihomeomorfo al dual bitopológico de algún retículo distributivo acotado. [4]
Finalmente, sea ≤ una inclusión en la teoría de conjuntos en el conjunto de filtros primos de L y sea τ = τ + ∨ τ − . Entonces ( X , τ ,≤) es un espacio de Priestley . Además, φ + es un isomorfismo reticular de L sobre el retículo de todos los conjuntos abiertos y cerrados de ( X , τ , ≤) . El espacio de Priestley ( X , τ ,≤) se denomina dual de Priestley de L . Cada espacio de Priestley es isomorfo al dual de Priestley de algún retículo distributivo acotado. [5]
Sea Dist la categoría de redes distributivas acotadas y homomorfismos de redes acotadas . Entonces las tres representaciones anteriores de redes distributivas acotadas pueden extenderse a la equivalencia dual [6] entre Dist y las categorías Spec , PStone y Pries de espacios espectrales con mapas espectrales, de espacios de Stone por pares con mapas bicontinuos y de espacios de Priestley con morfismos de Priestley, respectivamente:
Por lo tanto, hay tres formas equivalentes de representar los retículos distributivos acotados. Cada una tiene su propia motivación y ventajas, pero en última instancia todas sirven al mismo propósito: proporcionar una mejor comprensión de los retículos distributivos acotados.