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La dualidad de Esakia

En matemáticas , la dualidad de Esakia es la equivalencia dual entre la categoría de álgebras de Heyting y la categoría de espacios de Esakia . La dualidad de Esakia proporciona una representación topológica de orden de las álgebras de Heyting a través de los espacios de Esakia.

Sea Esa la categoría de espacios de Esakia y morfismos de Esakia .

Sea H un álgebra de Heyting, X denota el conjunto de filtros primos de H , y denota la inclusión en teoría de conjuntos en los filtros primos de H . Además, para cada a H , sea φ ( a ) = { x  X  :  a  x }, y sea τ la topología en X generada por { φ ( a ),  X  −  φ ( a ) :  a  H }.

Teorema: [1] ( X , τ , ≤) es un espacio de Esakia, llamado dual de Esakia de H . Además, φ es un isomorfismo del álgebra de Heyting de H sobre el álgebra de Heyting de todos los conjuntos abiertos y cerrados de ( X , τ , ≤) . Además, cada espacio de Esakia es isomorfo en Esa al dual de Esakia de algún álgebra de Heyting.

Esta representación de las álgebras de Heyting mediante espacios de Esakia es funcional y produce una equivalencia dual entre las categorías.

y

Teorema: [1] [2] [3] HA es dualmente equivalente a Esa .

La dualidad también puede expresarse en términos de espacios espectrales , donde se dice que la categoría de álgebras de Heyting es dualmente equivalente a la categoría de espacios de Heyting. [4]

Véase también

Referencias

  1. ^ ab Esakia, Leo (1974). "Modelos topológicos de Kripke". Matemáticas soviéticas . 15 (1): 147–151.
  2. ^ Esakia, L (1985). "Álgebras de Heyting I. Teoría de la dualidad". Metsniereba, Tbilisi .
  3. ^ Bezhanishvili, N. (2006). Redes de lógicas modales intermedias y cilíndricas (PDF) . Instituto de Lógica, Lenguaje y Computación de Ámsterdam (ILLC). ISBN 978-90-5776-147-8.
  4. ^ ver sección 8.3 en * Dickmann, Max; Schwartz, Niels; Tressl, Marcus (2019). Espacios espectrales . Nuevas monografías matemáticas. Vol. 35. Cambridge: Cambridge University Press . doi :10.1017/9781316543870. ISBN . 9781107146723.