En matemáticas , la dualidad de Esakia es la equivalencia dual entre la categoría de álgebras de Heyting y la categoría de espacios de Esakia . La dualidad de Esakia proporciona una representación topológica de orden de las álgebras de Heyting a través de los espacios de Esakia.
Sea Esa la categoría de espacios de Esakia y morfismos de Esakia .
Sea H un álgebra de Heyting, X denota el conjunto de filtros primos de H , y ≤ denota la inclusión en teoría de conjuntos en los filtros primos de H . Además, para cada a ∈ H , sea φ ( a ) = { x ∈ X : a ∈ x }, y sea τ la topología en X generada por { φ ( a ), X − φ ( a ) : a ∈ H }.
Teorema: [1] ( X , τ , ≤) es un espacio de Esakia, llamado dual de Esakia de H . Además, φ es un isomorfismo del álgebra de Heyting de H sobre el álgebra de Heyting de todos los conjuntos abiertos y cerrados de ( X , τ , ≤) . Además, cada espacio de Esakia es isomorfo en Esa al dual de Esakia de algún álgebra de Heyting.
Esta representación de las álgebras de Heyting mediante espacios de Esakia es funcional y produce una equivalencia dual entre las categorías.
y
Teorema: [1] [2] [3] HA es dualmente equivalente a Esa .
La dualidad también puede expresarse en términos de espacios espectrales , donde se dice que la categoría de álgebras de Heyting es dualmente equivalente a la categoría de espacios de Heyting. [4]