El teorema de Euclides-Euler es un teorema de la teoría de números que relaciona los números perfectos con los primos de Mersenne . Afirma que un número par es perfecto si y solo si tiene la forma 2 p −1 (2 p − 1) , donde 2 p − 1 es un número primo . El teorema recibe su nombre de los matemáticos Euclides y Leonhard Euler , quienes demostraron respectivamente los aspectos "si" y "solo si" del teorema.
Se ha conjeturado que existen infinitos números primos de Mersenne. Aunque la verdad de esta conjetura sigue siendo desconocida, es equivalente, por el teorema de Euclides-Euler, a la conjetura de que existen infinitos números perfectos pares. Sin embargo, también se desconoce si existe siquiera un solo número perfecto impar. [1]
Un número perfecto es un número natural que es igual a la suma de sus divisores propios , los números que son menores que él y lo dividen de manera exacta (con resto cero). Por ejemplo, los divisores propios de 6 son 1, 2 y 3, que suman 6, por lo que 6 es perfecto.
Un primo de Mersenne es un número primo de la forma M p = 2 p − 1 , uno menos que una potencia de dos . Para que un número de esta forma sea primo, p también debe ser primo, pero no todos los primos dan lugar a primos de Mersenne de esta manera. Por ejemplo, 2 3 − 1 = 7 es un primo de Mersenne, pero 2 11 − 1 = 2047 = 23 × 89 no lo es.
El teorema de Euclides-Euler establece que un número natural par es perfecto si y solo si tiene la forma 2 p −1 M p , donde M p es un primo de Mersenne. [1] El número perfecto 6 proviene de p = 2 de esta manera, como 2 2−1 M 2 = 2 × 3 = 6 , y el primo de Mersenne 7 corresponde de la misma manera al número perfecto 28.
Euclides demostró que 2 p −1 (2 p − 1) es un número par perfecto siempre que 2 p − 1 sea primo. Este es el resultado final sobre teoría de números en los Elementos de Euclides ; los libros posteriores de los Elementos tratan en cambio de números irracionales , geometría de sólidos y la proporción áurea . Euclides expresa el resultado afirmando que si una serie geométrica finita que comienza en 1 con razón 2 tiene una suma prima q , entonces esta suma multiplicada por el último término t de la serie es perfecta. Expresada en estos términos, la suma q de la serie finita es el primo de Mersenne 2 p − 1 y el último término t de la serie es la potencia de dos 2 p −1 . Euclides demuestra que qt es perfecto al observar que la serie geométrica con razón 2 que comienza en q , con el mismo número de términos, es proporcional a la serie original; Por lo tanto, como la serie original suma q = 2 t − 1 , la segunda serie suma q (2 t − 1) = 2 qt − q , y ambas series juntas suman 2 qt , dos veces el supuesto número perfecto. Sin embargo, estas dos series son disjuntas entre sí y (por la primalidad de q ) agotan todos los divisores de qt , por lo que qt tiene divisores que suman 2 qt , lo que demuestra que es perfecta. [2]
Más de un milenio después de Euclides, Alhazen c. 1000 d.C. conjeturó que cada número par perfecto es de la forma 2 p −1 (2 p − 1) donde 2 p − 1 es primo, pero no fue capaz de probar este resultado. [3] No fue hasta el siglo XVIII, más de 2000 años después de Euclides, [4] que Leonhard Euler demostró que la fórmula 2 p −1 (2 p − 1) producirá todos los números pares perfectos. [1] [5] Por lo tanto, existe una relación uno a uno entre los números pares perfectos y los primos de Mersenne; cada primo de Mersenne genera un número par perfecto, y viceversa. Después de la demostración de Euler del teorema de Euclides-Euler, otros matemáticos han publicado diferentes demostraciones, entre ellos Victor-Amédée Lebesgue , Robert Daniel Carmichael , Leonard Eugene Dickson , John Knopfmacher y Wayne L. McDaniel. La demostración de Dickson, en particular, se ha utilizado comúnmente en los libros de texto. [6]
Este teorema se incluyó en una lista web de los "100 mejores teoremas matemáticos", que data de 1999, y que luego fue utilizada por Freek Wiedijk como un conjunto de referencia para probar la potencia de diferentes asistentes de prueba . Para 2024, la prueba del teorema de Euclides-Euler se había formalizado en 7 de los 12 asistentes de prueba registrados por Wiedijk. [7]
La prueba de Euler es breve [1] y depende del hecho de que la función suma de divisores σ es multiplicativa ; es decir, si a y b son dos números enteros primos entre sí , entonces σ ( ab ) = σ ( a ) σ ( b ) . Para que esta fórmula sea válida, la suma de divisores de un número debe incluir el número mismo, no solo los divisores propios. Un número es perfecto si y solo si su suma de divisores es el doble de su valor.
Una dirección del teorema (la parte ya demostrada por Euclides) se sigue inmediatamente de la propiedad multiplicativa: todo primo de Mersenne da lugar a un número par perfecto. Cuando 2 p − 1 es primo, los divisores de 2 p − 1 son 1, 2, 4, 8, ..., 2 p − 1 . La suma de estos divisores es una serie geométrica cuya suma es 2 p − 1 . A continuación, como 2 p − 1 es primo, sus únicos divisores son 1 y él mismo, por lo que la suma de sus divisores es 2 p .
Combinando estos, por lo tanto, 2 p −1 (2 p − 1) es perfecto. [8] [9] [10]
En la otra dirección, supongamos que se ha dado un número par perfecto y lo factorizamos parcialmente como 2 k x , donde x es impar. Para que 2 k x sea perfecto, la suma de sus divisores debe ser el doble de su valor:
El factor impar 2 k + 1 − 1 en el lado derecho de (∗) es al menos 3, y debe dividir a x , el único factor impar en el lado izquierdo, por lo que x /(2 k + 1 − 1) es un divisor propio de x . Dividiendo ambos lados de (∗) por el factor común 2 k + 1 − 1 y teniendo en cuenta los divisores conocidos x y x /(2 k + 1 − 1) de x se obtiene
Para que esta igualdad sea cierta, no puede haber otros divisores. Por lo tanto, x /(2 k +1 − 1) debe ser 1 y x debe ser un primo de la forma 2 k +1 − 1. [ 8] [9] [10]
