Teoría de perturbación quiral

Teoría de campos efectivos de la cromodinámica cuántica

La teoría de perturbación quiral (ChPT) es una teoría de campo efectiva construida con un lagrangiano consistente con la simetría quiral (aproximada) de la cromodinámica cuántica (QCD), así como las otras simetrías de paridad y conjugación de carga. ^[1] La ChPT es una teoría que permite estudiar la dinámica de baja energía de la QCD sobre la base de esta simetría quiral subyacente.

Objetivos

En la teoría de la interacción fuerte del modelo estándar, describimos las interacciones entre quarks y gluones. Debido al funcionamiento de la constante de acoplamiento fuerte, podemos aplicar la teoría de perturbaciones en la constante de acoplamiento solo a altas energías. Pero en el régimen de baja energía de QCD, los grados de libertad ya no son quarks y gluones , sino hadrones . Esto es un resultado del confinamiento . Si uno pudiera "resolver" la función de partición de QCD (de modo que los grados de libertad en el Lagrangiano se reemplacen por hadrones), entonces se podría extraer información sobre la física de baja energía. Hasta la fecha, esto no se ha logrado. Debido a que QCD se vuelve no perturbativa a baja energía, es imposible usar métodos perturbativos para extraer información de la función de partición de QCD. Lattice QCD es un método alternativo que ha demostrado ser exitoso en la extracción de información no perturbativa.

Método

Utilizando diferentes grados de libertad, tenemos que asegurar que los observables calculados en la EFT estén relacionados con los de la teoría subyacente. Esto se logra utilizando el Lagrangiano más general que sea consistente con las simetrías de la teoría subyacente, ya que esto produce la " matriz S más general posible consistente con la analiticidad , la unitaridad perturbativa , la descomposición en grupos y la simetría supuesta". ^{[2] [3]} En general, hay un número infinito de términos que cumplen este requisito. Por lo tanto, para hacer predicciones físicas, se asigna a la teoría un esquema de ordenamiento de potencia que organiza los términos por algún grado predeterminado de importancia. El ordenamiento permite mantener algunos términos y omitir todas las demás correcciones de orden superior que se pueden ignorar temporalmente de manera segura.

Existen varios esquemas de conteo de potencias en ChPT. El más utilizado es la expansión -, donde representa el momento. Sin embargo, también existen las expansiones , y . Todas estas expansiones son válidas en un volumen finito (aunque la expansión es la única válida en un volumen infinito). Las elecciones particulares de volúmenes finitos requieren que uno use diferentes reorganizaciones de la teoría quiral para comprender correctamente la física. Estas diferentes reorganizaciones corresponden a los diferentes esquemas de conteo de potencias. ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle \epsilon }$ ${\displaystyle \delta ,}$ ${\displaystyle \epsilon ^{\prime }}$ ${\displaystyle p}$

Además del esquema de ordenamiento, la mayoría de los términos del lagrangiano aproximado se multiplicarán por constantes de acoplamiento que representan las intensidades relativas de la fuerza representada por cada término. Los valores de estas constantes, también llamadas constantes de baja energía o Ls, por lo general no se conocen. Las constantes se pueden determinar mediante el ajuste a los datos experimentales o se pueden derivar de la teoría subyacente.

El modelo Lagrangiano

El lagrangiano de la expansión se construye escribiendo todas las interacciones que no están excluidas por simetría y luego ordenándolas en función del número de potencias de momento y masa. ${\displaystyle p}$

El orden se elige de modo que se considere en la aproximación de primer orden, donde es el campo de piones y la masa del pión, que rompe explícitamente la simetría quiral subyacente (PCAC). ^{[4] [5]} Términos como son parte de otras correcciones de orden superior. ${\displaystyle (\partial \pi )^{2}+m_{\pi }^{2}\pi ^{2}}$ ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle m_{\pi }}$ ${\displaystyle m_{\pi }^{4}\pi ^{2}+(\partial \pi )^{6}}$

También es habitual comprimir el lagrangiano reemplazando los campos piónicos individuales en cada término con una serie infinita de todas las combinaciones posibles de campos piónicos. Una de las opciones más comunes es

${\displaystyle U=\exp \left\{{\frac {i}{F}}{\begin{pmatrix}\pi ^{0}&{\sqrt {2}}\pi ^{+}\\{\sqrt {2}}\pi ^{-}&-\pi ^{0}\end{pmatrix}}\right\}}$

donde se llama constante de desintegración del pión que es 93 MeV. ${\displaystyle F}$

En general, existen diferentes opciones de normalización , de modo que se debe elegir el valor que sea consistente con la tasa de desintegración del pión cargado. ${\displaystyle F}$

Renormalización

La teoría efectiva en general no es renormalizable , sin embargo, dado un esquema de conteo de potencias particular en ChPT, la teoría efectiva es renormalizable en un orden dado en la expansión quiral. Por ejemplo, si uno desea calcular un observable para , entonces debe calcular los términos de contacto que provienen del lagrangiano (esto es diferente para una teoría SU(2) vs. SU(3)) a nivel de árbol y las contribuciones de un bucle del lagrangiano). ${\displaystyle {\mathcal {O}}(p^{4})}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}(p^{4})}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}(p^{2})}$

Se puede ver fácilmente que una contribución de un bucle del lagrangiano cuenta como al notar que la medida de integración cuenta como , el propagador cuenta como , mientras que las contribuciones de la derivada cuentan como . Por lo tanto, dado que el cálculo es válido para , se eliminan las divergencias en el cálculo con la renormalización de las constantes de baja energía (LEC) del lagrangiano. Entonces, si uno desea eliminar todas las divergencias en el cálculo de un observable dado para , se utilizan las constantes de acoplamiento en la expresión para el lagrangiano para eliminar esas divergencias. ${\displaystyle {\mathcal {O}}(p^{2})}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}(p^{4})}$ ${\displaystyle p^{4}}$ ${\displaystyle p^{-2}}$ ${\displaystyle p^{2}}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}(p^{4})}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}(p^{4})}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}(p^{n})}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}(p^{n})}$

Solicitud exitosa

Mesones y nucleones

La teoría permite la descripción de interacciones entre piones, y entre piones y nucleones (u otros campos de materia). SU(3) ChPT también puede describir interacciones de kaones y mesones eta, mientras que se pueden utilizar teorías similares para describir los mesones vectoriales. Dado que la teoría de perturbación quiral supone simetría quiral y, por lo tanto, quarks sin masa, no se puede utilizar para modelar interacciones de los quarks más pesados .

Para una teoría SU(2), el lagrangiano quiral de primer orden viene dado por ^[1]

${\displaystyle {\mathcal {L}}_{2}={\frac {F^{2}}{4}}{\rm {tr}}(\partial _{\mu }U\partial ^{\mu }U^{\dagger })+{\frac {\lambda F^{3}}{4}}{\rm {tr}}(m_{q}U+m_{q}^{\dagger }U^{\dagger })}$

donde MeV y es la matriz de masas de los quarks. En la expansión de ChPT, los parámetros de expansión pequeños son ${\displaystyle F=93}$ ${\displaystyle m_{q}}$ ${\displaystyle p}$

${\displaystyle {\frac {p}{\Lambda _{\chi }}},{\frac {m_{\pi }}{\Lambda _{\chi }}}.}$

donde es la escala de ruptura de simetría quiral, de orden 1 GeV (a veces estimada como ). En esta expansión, cuenta como porque es el orden principal en la expansión quiral. ^[6] ${\displaystyle \Lambda _{\chi }}$ ${\displaystyle \Lambda _{\chi }=4\pi F}$ ${\displaystyle m_{q}}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}(p^{2})}$ ${\displaystyle m_{\pi }^{2}=\lambda m_{q}F}$

Interacciones hadrón-hadrón

En algunos casos, la teoría de perturbación quiral ha logrado describir las interacciones entre hadrones en el régimen no perturbativo de la interacción fuerte . Por ejemplo, se puede aplicar a sistemas de pocos nucleones y, en el orden siguiente al siguiente al principal en la expansión perturbativa , puede explicar las fuerzas de tres nucleones de manera natural. ^[7]

Referencias

1. Heinrich Leutwyler (2012), Teoría de perturbación quiral, Scholarpedia, 7(10):8708. doi :10.4249/scholarpedia.8708
2. Weinberg, Steven (1 de abril de 1979). "Lagrangianos fenomenológicos". Physica A: Mecánica estadística y sus aplicaciones . 96 (1): 327–340. Bibcode :1979PhyA...96..327W. doi :10.1016/0378-4371(79)90223-1. ISSN  0378-4371.
3. Scherer, Stefan; Schindler, Matthias R. (2012). Introducción a la teoría de perturbaciones quirales. Apuntes de clases de física. Berlín-Heidelberg: Springer-Verlag. ISBN 978-3-642-19253-1.
4. Gell-Mann, M., Lévy, M., La corriente vectorial axial en la desintegración beta , Nuovo Cim **16**, 705–726 (1960). doi :10.1007/BF02859738
5. J Donoghue, E Golowich y B Holstein, Dinámica del modelo estándar , (Cambridge University Press, 1994) ISBN 9780521476522 . 
6. Gell-Mann, M.; Oakes, R.; Renner, B. (1968). "Comportamiento de las divergencias de corriente bajo SU_{3}×SU_{3}" (PDF) . Physical Review . 175 (5): 2195. Bibcode :1968PhRv..175.2195G. doi :10.1103/PhysRev.175.2195.
7. Machleidt, R.; Entem, DR (2011). "Teoría de campos efectivos quiral y fuerzas nucleares". Physics Reports . 503 (1): 1–75. arXiv : 1105.2919 . Bibcode :2011PhR...503....1M. doi :10.1016/j.physrep.2011.02.001. S2CID  118434586.

Enlaces externos

• Howard Georgi, Interacciones débiles y teoría moderna de partículas, Benjamin Cummings, 1984; versión revisada 2008
• H Leutwyler, Sobre los fundamentos de la teoría de la perturbación quiral, Annals of Physics , 235 , 1994, pág. 165-203.
• Stefan Scherer, Introducción a la teoría de perturbación quiral, Adv. Nucl. Phys. 27 (2003) 277.
• Gerhard Ecker, Teoría de perturbación quiral, Prog. Part. Nucl. Phys. 35 (1995), págs. 1–80.