La teoría de la medición conjunta (también conocida como medición conjunta o medición conjunta aditiva ) es una teoría general y formal de la cantidad continua . Fue descubierta independientemente por el economista francés Gérard Debreu (1960) y por el psicólogo matemático estadounidense R. Duncan Luce y el estadístico John Tukey (Luce y Tukey 1964).
La teoría se refiere a la situación en la que al menos dos atributos naturales, A y X , se relacionan de manera no interactiva con un tercer atributo, P. No se requiere que se sepa que A , X o P son cantidades. A través de relaciones específicas entre los niveles de P , se puede establecer que P , A y X son cantidades continuas. Por lo tanto, la teoría de la medición conjunta se puede utilizar para cuantificar atributos en circunstancias empíricas en las que no es posible combinar los niveles de los atributos utilizando una operación lado a lado o concatenación . Por lo tanto, la cuantificación de atributos psicológicos como actitudes, habilidades cognitivas y utilidad es lógicamente plausible. Esto significa que la medición científica de atributos psicológicos es posible. Es decir, al igual que las cantidades físicas, una magnitud de una cantidad psicológica posiblemente se pueda expresar como el producto de un número real y una magnitud unitaria.
Sin embargo, la aplicación de la teoría de la medición conjunta en psicología ha sido limitada. Se ha argumentado que esto se debe al alto nivel de matemáticas formales involucradas (p. ej., Cliff 1992) y que la teoría no puede dar cuenta de los datos "ruidosos" que se descubren típicamente en la investigación psicológica (p. ej., Perline, Wright y Wainer 1979). Se ha argumentado que el modelo de Rasch es una variante estocástica de la teoría de la medición conjunta (p. ej., Brogden 1977; Embretson y Reise 2000; Fischer 1995; Keats 1967; Kline 1998; Scheiblechner 1999), sin embargo, esto ha sido discutido (p. ej., Karabatsos, 2001; Kyngdon, 2008). En la última década se han desarrollado métodos de orden restringido para realizar pruebas probabilísticas de los axiomas de cancelación de la medición conjunta (por ejemplo, Karabatsos, 2001; Davis-Stober, 2009).
La teoría de la medición conjunta es (diferente pero) relacionada con el análisis conjunto , que es una metodología de experimentos estadísticos empleada en marketing para estimar los parámetros de las funciones de utilidad aditivas. Se presentan diferentes estímulos multiatributos a los encuestados y se utilizan diferentes métodos para medir sus preferencias sobre los estímulos presentados. Los coeficientes de la función de utilidad se estiman utilizando herramientas alternativas basadas en regresión.
En la década de 1930, la Asociación Británica para el Avance de la Ciencia estableció el Comité Ferguson para investigar la posibilidad de que los atributos psicológicos se midieran científicamente. El físico y teórico de la medición británico Norman Robert Campbell fue un miembro influyente del comité. En su Informe Final (Ferguson, et al. , 1940), Campbell y el Comité concluyeron que debido a que los atributos psicológicos no eran capaces de sostener operaciones de concatenación, dichos atributos no podían ser cantidades continuas. Por lo tanto, no podían medirse científicamente. Esto tuvo ramificaciones importantes para la psicología, la más significativa de las cuales fue la creación en 1946 de la teoría operacional de la medición por el psicólogo de Harvard Stanley Smith Stevens . La teoría no científica de la medición de Stevens se considera ampliamente definitiva en psicología y en las ciencias del comportamiento en general (Michell 1999) .
Aunque el matemático alemán Otto Hölder (1901) anticipó las características de la teoría de la medición conjunta, no fue hasta la publicación del artículo seminal de Luce y Tukey de 1964 que la teoría recibió su primera exposición completa. La presentación de Luce y Tukey fue algebraica y, por lo tanto, se considera más general que el trabajo topológico de Debreu (1960) , siendo este último un caso especial del primero (Luce y Suppes 2002). En el primer artículo del número inaugural del Journal of Mathematical Psychology , Luce y Tukey 1964 demostraron que a través de la teoría de la medición conjunta, los atributos no susceptibles de concatenación podían cuantificarse. De este modo, se demostró que NR Campbell y el Comité Ferguson estaban equivocados. Que un atributo psicológico dado sea una cantidad continua es una hipótesis lógicamente coherente y empíricamente comprobable.
En el siguiente número de la misma revista aparecieron importantes artículos de Dana Scott (1964), quien propuso una jerarquía de condiciones de cancelación para la prueba indirecta de la solubilidad y los axiomas de Arquímedes , y de David Krantz (1964), quien conectó el trabajo de Luce y Tukey con el de Hölder (1901).
El trabajo pronto se centró en ampliar la teoría de la medición conjunta para que incluyera más que solo dos atributos. Krantz 1968 y Amos Tversky (1967) desarrollaron lo que se conoció como medición conjunta polinómica , y Krantz 1968 proporcionó un esquema con el que construir estructuras de medición conjunta de tres o más atributos. Más tarde, la teoría de la medición conjunta (en sus formas de dos variables, polinómica y de n componentes) recibió un tratamiento exhaustivo y altamente técnico con la publicación del primer volumen de Foundations of Measurement , que Krantz, Luce, Tversky y el filósofo Patrick Suppes coescribieron (Krantz et al. 1971).
Poco después de la publicación de Krantz et al. (1971), el trabajo se centró en el desarrollo de una "teoría del error" para la teoría de la medición conjunta. Se realizaron estudios sobre el número de matrices conjuntas que admitían solo cancelación simple y cancelación simple y doble (Arbuckle y Larimer 1976; McClelland 1977). Estudios de enumeración posteriores se centraron en la medición conjunta polinómica (Karabatsos y Ullrich 2002; Ullrich y Wilson 1993). Estos estudios descubrieron que es muy poco probable que los axiomas de la teoría de la medición conjunta se satisfagan aleatoriamente, siempre que se hayan identificado más de tres niveles de al menos uno de los atributos del componente.
Joel Michell (1988) identificó posteriormente que la clase de pruebas "sin prueba" del axioma de doble cancelación estaba vacía. Cualquier instancia de doble cancelación es, por lo tanto, una aceptación o un rechazo del axioma. Michell también escribió en esta época una introducción no técnica a la teoría de la medición conjunta (Michell 1990) que también contenía un esquema para derivar condiciones de cancelación de orden superior basadas en el trabajo de Scott (1964). Utilizando el esquema de Michell, Ben Richards (Kyngdon & Richards, 2007) descubrió que algunas instancias del axioma de triple cancelación son "incoherentes", ya que contradicen el axioma de cancelación simple. Además, identificó muchas instancias de la triple cancelación que son trivialmente verdaderas si se admite la doble cancelación.
Los axiomas de la teoría de la medición conjunta no son estocásticos; y dadas las restricciones ordinales impuestas a los datos por los axiomas de cancelación, se debe utilizar la metodología de inferencia restringida por orden (Iverson y Falmagne 1985). George Karabatsos y sus asociados (Karabatsos, 2001; Karabatsos y Sheu 2004) desarrollaron una metodología de Monte Carlo de cadena de Markov bayesiana para aplicaciones psicométricas . Karabatsos y Ullrich 2002 demostraron cómo este marco podría extenderse a estructuras conjuntas polinomiales. Karabatsos (2005) generalizó este trabajo con su marco de Dirichlet multinomial, que permitió la prueba probabilística de muchas teorías no estocásticas de la psicología matemática . Más recientemente, Clintin Davis-Stober (2009) desarrolló un marco frecuentista para la inferencia restringida por orden que también puede usarse para probar los axiomas de cancelación.
Quizás el uso más notable (Kyngdon, 2011) de la teoría de la medición conjunta fue la teoría prospectiva propuesta por los psicólogos israelí-estadounidenses Daniel Kahneman y Amos Tversky (Kahneman y Tversky, 1979). La teoría prospectiva era una teoría de la toma de decisiones bajo riesgo e incertidumbre que explicaba el comportamiento de elección como la paradoja de Allais . David Krantz escribió la prueba formal de la teoría prospectiva utilizando la teoría de la medición conjunta. En 2002, Kahneman recibió el Premio Nobel de Economía por la teoría prospectiva (Birnbaum, 2008).
En física y metrología , la definición estándar de medición es la estimación de la relación entre una magnitud de una cantidad continua y una magnitud unitaria del mismo tipo (de Boer, 1994/95; Emerson, 2008). Por ejemplo, la afirmación "el pasillo de Peter tiene 4 m de largo" expresa una medición de una magnitud de longitud hasta ahora desconocida (la longitud del pasillo) como la relación entre la unidad (el metro en este caso) y la longitud del pasillo. El número 4 es un número real en el sentido matemático estricto de este término.
En el caso de otras magnitudes, las relaciones entre las diferencias de los atributos son invariantes . Por ejemplo, pensemos en la temperatura. En la vida cotidiana, la temperatura se mide con instrumentos calibrados en las escalas Fahrenheit o Celsius. Lo que realmente se mide con esos instrumentos son las magnitudes de las diferencias de temperatura. Por ejemplo, Anders Celsius definió la unidad de la escala Celsius como 1/100 de la diferencia de temperatura entre los puntos de congelación y ebullición del agua a nivel del mar. Una medición de temperatura de 20 grados Celsius al mediodía es simplemente la diferencia entre la temperatura del mediodía y la temperatura del agua helada dividida por la diferencia entre la unidad Celsius y la temperatura del agua helada.
Expresada formalmente, una medida científica es:
donde Q es la magnitud de la cantidad, r es un número real y [ Q ] es una magnitud unitaria del mismo tipo.
La longitud es una cantidad para la que existen operaciones de concatenación naturales. Es decir, podemos combinar longitudes de varillas de acero rígidas, por ejemplo, de forma que se observen fácilmente las relaciones aditivas entre longitudes. Si tenemos cuatro longitudes de 1 m de dichas varillas, podemos colocarlas una junto a la otra para producir una longitud de 4 m. Las cantidades capaces de concatenación se conocen como cantidades extensivas e incluyen masa, tiempo, resistencia eléctrica y ángulo plano. Estas se conocen como cantidades base en física y metrología.
La temperatura es una magnitud para la que no existen operaciones de concatenación. No podemos verter un volumen de agua con una temperatura de 40 °C en otro cubo de agua a 20 °C y esperar tener un volumen de agua con una temperatura de 60 °C. La temperatura es, por tanto, una magnitud intensiva .
Los atributos psicológicos, como la temperatura, se consideran intensivos, ya que no se ha encontrado ninguna forma de concatenar dichos atributos. Pero esto no quiere decir que dichos atributos no sean cuantificables. La teoría de la medición conjunta proporciona un medio teórico para hacerlo.
Consideremos dos atributos naturales A y X. No se sabe si A o X son cantidades continuas, o si ambos lo son. Sean a , b y c tres niveles independientes e identificables de A ; y sean x , y y z tres niveles independientes e identificables de X. Un tercer atributo, P , consiste en los nueve pares ordenados de niveles de A y X. Es decir, ( a , x ), ( b , y ),..., ( c , z ) (véase la Figura 1). La cuantificación de A , X y P depende del comportamiento de la relación que se aplica a los niveles de P. Estas relaciones se presentan como axiomas en la teoría de la medición conjunta.
El axioma de cancelación simple es el siguiente. La relación sobre P satisface la cancelación simple si y solo si para todos a y b en A , y x en X , ( a , x ) > ( b , x ) está implícito para cada w en X tal que ( a , w ) > ( b , w ). De manera similar, para todos x e y en X y a en A , ( a , x ) > ( a , y ) está implícito para cada d en A tal que ( d , x ) > ( d , y ). Esto significa que si dos niveles cualesquiera, a , b , están ordenados, entonces este orden se cumple independientemente de todos y cada uno de los niveles de X . Lo mismo se cumple para cualesquiera dos niveles, x e y de X con respecto a todos y cada uno de los niveles de A .
La cancelación simple se denomina así porque un único factor común de dos niveles de P se cancela para dejar la misma relación ordinal en los elementos restantes. Por ejemplo, a se cancela en la desigualdad ( a , x ) > ( a , y ) ya que es común a ambos lados, dejando x > y . Krantz, et al., (1971) originalmente llamaron a este axioma independencia , ya que la relación ordinal entre dos niveles de un atributo es independiente de todos y cada uno de los niveles del otro atributo. Sin embargo, dado que el término independencia causa confusión con los conceptos estadísticos de independencia, la cancelación simple es el término preferible. La Figura Uno es una representación gráfica de una instancia de cancelación simple.
La satisfacción del axioma de cancelación simple es necesaria, pero no suficiente, para la cuantificación de los atributos A y X . Sólo demuestra que los niveles de A , X y P están ordenados. De manera informal, la cancelación simple no restringe suficientemente el orden sobre los niveles de P para cuantificar A y X . Por ejemplo, considere los pares ordenados ( a , x ), ( b , x ) y ( b , y ). Si se cumple la cancelación simple, entonces ( a , x ) > ( b , x ) y ( b , x ) > ( b , y ). Por lo tanto, a través de la transitividad ( a , x ) > ( b , y ). La relación entre estos dos últimos pares ordenados, informalmente una diagonal inclinada hacia la izquierda , está determinada por la satisfacción del axioma de cancelación simple, como lo están todas las relaciones de "diagonal inclinada hacia la izquierda" sobre P .
La cancelación simple no determina el orden de las relaciones de la "diagonal de inclinación derecha" sobre P . Aunque por transitividad y cancelación simple se estableció que ( a , x ) > ( b , y ), la relación entre ( a , y ) y ( b , x ) permanece indeterminada. Podría ser que ( b , x ) > ( a , y ) o ( a , y ) > ( b , x ) y tal ambigüedad no puede quedar sin resolver.
El axioma de doble cancelación se refiere a una clase de relaciones de este tipo en P en las que los términos comunes de dos desigualdades antecedentes se cancelan para producir una tercera desigualdad. Consideremos el caso de doble cancelación representado gráficamente en la Figura 2. Las desigualdades antecedentes de este caso particular de doble cancelación son:
y
Dado que:
es verdadero si y sólo si y
es verdadero si y sólo si , se sigue que:
La cancelación de los términos comunes da como resultado:
Por lo tanto, la doble cancelación sólo puede obtenerse cuando A y X son cantidades.
La doble cancelación se cumple si y solo si la desigualdad consecuente no contradice las desigualdades antecedentes. Por ejemplo, si la desigualdad consecuente anterior fuera:
entonces se violaría la doble cancelación (Michell 1988) y no se podría concluir que A y X son cantidades.
La doble cancelación se refiere al comportamiento de las relaciones "diagonales con inclinación hacia la derecha" en P, ya que no se deducen lógicamente de la cancelación simple. (Michell 2009) descubrió que cuando los niveles de A y X se aproximan al infinito, entonces el número de relaciones diagonales con inclinación hacia la derecha es la mitad del número total de relaciones en P. Por lo tanto, si A y X son cantidades, la mitad del número de relaciones en P se deben a relaciones ordinales en A y X y la otra mitad se deben a relaciones aditivas en A y X (Michell 2009).
El número de instancias de doble cancelación depende del número de niveles identificados tanto para A como para X. Si hay n niveles de A y m de X , entonces el número de instancias de doble cancelación es n ! × m !. Por lo tanto, si n = m = 3, entonces 3! × 3! = 6 × 6 = 36 instancias en total de doble cancelación. Sin embargo, todas menos 6 de estas instancias son trivialmente verdaderas si la cancelación simple es verdadera, y si cualquiera de estas 6 instancias es verdadera, entonces todas ellas son verdaderas. Una de estas instancias es la que se muestra en la Figura Dos. (Michell 1988) llama a esto una instancia de Luce-Tukey de doble cancelación.
Si se ha probado primero la cancelación simple sobre un conjunto de datos y se establece, entonces solo se deben probar las instancias de Luce-Tukey de cancelación doble. Para n niveles de A y m de X , el número de instancias de cancelación doble de Luce-Tukey es . Por ejemplo, si n = m = 4, entonces hay 16 instancias de este tipo. Si n = m = 5, entonces hay 100. Cuanto mayor sea el número de niveles tanto en A como en X , menos probable es que los axiomas de cancelación se satisfagan aleatoriamente (Arbuckle y Larimer 1976; McClelland 1977) y más estricta se vuelve la prueba de cantidad de la aplicación de la medición conjunta.
Los axiomas de cancelación simple y doble por sí solos no son suficientes para establecer la continuidad de la cantidad. También se deben introducir otras condiciones para asegurar la continuidad. Estas son las condiciones de solubilidad y de Arquímedes .
La solubilidad significa que para cualesquiera tres elementos de a , b , x e y , existe el cuarto de modo que la ecuación a x = b y se resuelve, de ahí el nombre de la condición. La solubilidad es esencialmente el requisito de que cada nivel P tenga un elemento en A y un elemento en X . La solubilidad revela algo sobre los niveles de A y X : son densos como los números reales o igualmente espaciados como los enteros (Krantz et al. 1971).
La condición de Arquímedes es la siguiente. Sea I un conjunto de números enteros consecutivos, finitos o infinitos, positivos o negativos. Los niveles de A forman una sucesión estándar si y solo si existen x e y en X donde x ≠ y y para todos los números enteros i e i + 1 en I :
Lo que esto significa básicamente es que si x es mayor que y , por ejemplo, hay niveles de A que se pueden encontrar que hacen que dos pares ordenados relevantes, los niveles de P , sean iguales.
La condición de Arquímedes sostiene que no existe un nivel infinitamente mayor de P y, por lo tanto, no existe un nivel mayor ni de A ni de X. Esta condición es una definición de continuidad dada por el antiguo matemático griego Arquímedes , quien escribió que "Además, de líneas desiguales, superficies desiguales y sólidos desiguales, el mayor excede al menor en una magnitud tal que, cuando se suma a sí mismo, puede hacerse que exceda cualquier magnitud asignada entre aquellas que son comparables entre sí" ( Sobre la esfera y el cilindro , Libro I, Asunción 5). Arquímedes reconoció que para dos magnitudes cualesquiera de una cantidad continua, siendo una menor que la otra, la menor podría ser multiplicada por un número entero tal que fuera igual a la magnitud mayor. Euclides enunció la condición de Arquímedes como un axioma en el Libro V de los Elementos , en el que Euclides presentó su teoría de la cantidad y la medición continuas.
Como implican conceptos infinitistas, los axiomas de Arquímedes y de solubilidad no son susceptibles de prueba directa en ninguna situación empírica finita. Pero esto no implica que estos axiomas no puedan ser probados empíricamente en absoluto. El conjunto finito de condiciones de cancelación de Scott (1964) puede usarse para probar indirectamente estos axiomas; el alcance de dicha prueba se determina empíricamente. Por ejemplo, si A y X poseen tres niveles, el axioma de cancelación de orden más alto dentro de la jerarquía de Scott (1964) que prueba indirectamente la solubilidad y la Arquímedesidad es la doble cancelación. Con cuatro niveles es la triple cancelación (Figura 3). Si se satisfacen tales pruebas, es posible la construcción de secuencias estándar en diferencias sobre A y X. Por lo tanto, estos atributos pueden ser densos como los números reales o igualmente espaciados como los enteros (Krantz et al. 1971). En otras palabras, A y X son cantidades continuas.
El cumplimiento de las condiciones de medición conjunta significa que las mediciones de los niveles de A y X pueden expresarse como proporciones entre magnitudes o como proporciones entre diferencias de magnitudes. Lo más común es interpretarlo como lo último, dado que la mayoría de los científicos del comportamiento consideran que sus pruebas y encuestas "miden" atributos en las llamadas "escalas de intervalo" (Kline 1998). Es decir, creen que las pruebas no identifican niveles de cero absoluto de atributos psicológicos.
Formalmente, si P , A y X forman una estructura conjunta aditiva , entonces existen funciones de A y X en los números reales tales que para a y b en A y x e y en X :
Si y son otras dos funciones de valor real que satisfacen la expresión anterior, existen y constantes de valor real que satisfacen:
Es decir, y son mediciones de A y X únicas hasta la transformación afín (es decir, cada una es una escala de intervalo en el lenguaje de Stevens (1946)). La prueba matemática de este resultado se da en (Krantz et al. 1971, pp. 261-6).
Esto significa que los niveles de A y X son diferencias de magnitud medidas en relación con algún tipo de diferencia de unidad. Cada nivel de P es una diferencia entre los niveles de A y X. Sin embargo, no está claro en la literatura cómo se podría definir una unidad dentro de un contexto conjunto aditivo. van der Ven 1980 propuso un método de escala para estructuras conjuntas, pero tampoco analizó la unidad.
Sin embargo, la teoría de la medición conjunta no se limita a la cuantificación de las diferencias. Si cada nivel de P es un producto de un nivel de A y un nivel de X , entonces P es otra cantidad diferente cuya medición se expresa como una magnitud de A por unidad de magnitud de X. Por ejemplo, A consiste en masas y X consiste en volúmenes, entonces P consiste en densidades medidas como masa por unidad de volumen. En tales casos, parecería que un nivel de A y un nivel de X deben identificarse como una unidad tentativa antes de la aplicación de la medición conjunta.
Si cada nivel de P es la suma de un nivel de A y un nivel de X , entonces P es la misma cantidad que A y X. Por ejemplo, A y X son longitudes, por lo que deben ser P. Por lo tanto, las tres deben expresarse en la misma unidad. En tales casos, parecería que un nivel de A o de X debe identificarse tentativamente como la unidad. Por lo tanto, parecería que la aplicación de la medición conjunta requiere alguna teoría descriptiva previa del sistema natural relevante.
Las aplicaciones empíricas de la teoría de la medición conjunta han sido escasas (Cliff 1992; Michell 2009).
Se han llevado a cabo varias evaluaciones empíricas de la doble cancelación. Entre ellas, Levelt, Riemersma y Bunt (1972) evaluaron el axioma de la psicofísica de la sonoridad binaural. Encontraron que el axioma de la doble cancelación fue rechazado. Gigerenzer y Strube (1983) llevaron a cabo una investigación similar y replicaron los hallazgos de Levelt et al. (1972). Gigerenzer y Strube (1983) observaron que la evaluación de la doble cancelación implica una redundancia considerable que complica su prueba empírica. Por lo tanto, Steingrimsson y Luce (2005) evaluaron en cambio el axioma de condición de Thomsen equivalente, que evita esta redundancia, y encontraron que la propiedad se sustentaba en la sonoridad binaural. Luce y Steingrimsson (2011) resumieron la literatura hasta esa fecha, incluida la observación de que la evaluación de la condición de Thomsen también implica un desafío empírico que encuentran solucionado por el axioma de conmutatividad conjunta, que demuestran que es equivalente a la condición de Thomsen. Luce y Steingrimsson (2011) encontraron que la conmutatividad conjunta es compatible con la sonoridad y el brillo binaurales.
Michell 1990 aplicó la teoría a la teoría de comparaciones por pares, escalamiento multidimensional y teoría de desdoblamiento unidimensional de Coombs (1964) de LL Thurstone (1927). Encontró respaldo para los axiomas de cancelación solo en la teoría de Coombs (1964). Sin embargo, las técnicas estadísticas empleadas por Michell (1990) para probar la teoría de Thurstone y el escalamiento multidimensional no tomaron en consideración las restricciones ordinales impuestas por los axiomas de cancelación (van der Linden 1994).
(Johnson 2001), Kyngdon (2006), Michell (1994) y (Sherman 1993) probaron los axiomas de cancelación de sobre los órdenes de punto medio entre estímulos obtenidos mediante el uso de la teoría de desdoblamiento unidimensional de Coombs (1964). La teoría de Coombs en los tres estudios se aplicó a un conjunto de seis afirmaciones. Estos autores encontraron que los axiomas se satisfacían, sin embargo, estas eran aplicaciones sesgadas hacia un resultado positivo. Con seis estímulos, la probabilidad de un orden de punto medio entre estímulos que satisfaga los axiomas de doble cancelación al azar es .5874 (Michell, 1994). Este no es un evento improbable. Kyngdon y Richards (2007) emplearon ocho afirmaciones y encontraron que los órdenes de punto medio entre estímulos rechazaron la condición de doble cancelación.
Perline, Wright y Wainer (1979) aplicaron la medición conjunta a los datos de respuesta a los ítems de un cuestionario de libertad condicional para convictos y a los datos de pruebas de inteligencia recopilados entre las tropas danesas. Encontraron una violación considerable de los axiomas de cancelación en los datos del cuestionario de libertad condicional, pero no en los datos de las pruebas de inteligencia. Además, registraron los supuestos casos de doble cancelación "sin prueba". Interpretando estos correctamente como casos que apoyan la doble cancelación (Michell, 1988), los resultados de Perline, Wright y Wainer (1979) son mejores de lo que creían.
Stankov y Cregan 1993 aplicaron la medición conjunta al desempeño en tareas de finalización de secuencias. Las columnas de sus matrices conjuntas ( X ) se definieron por la demanda impuesta a la capacidad de la memoria de trabajo a través del aumento de números de marcadores de posición de la memoria de trabajo en tareas de finalización de series de letras. Las filas se definieron por niveles de motivación ( A ), que consistieron en diferentes números de veces disponibles para completar la prueba. Sus datos ( P ) consistieron en tiempos de finalización y número promedio de series correctas. Encontraron apoyo para los axiomas de cancelación, sin embargo, su estudio estuvo sesgado por el pequeño tamaño de las matrices conjuntas (3 × 3 es el tamaño) y por técnicas estadísticas que no tomaron en consideración las restricciones ordinales impuestas por los axiomas de cancelación.
Kyngdon (2011) utilizó el marco de inferencia de orden restringido de Karabatsos (2001) para probar una matriz conjunta de proporciones de respuesta de ítems de lectura ( P ) donde la habilidad de lectura del examinado comprendía las filas de la matriz conjunta ( A ) y la dificultad de los ítems de lectura formaba las columnas de la matriz ( X ). Los niveles de habilidad de lectura se identificaron a través de la puntuación total bruta de la prueba y los niveles de dificultad de los ítems de lectura se identificaron mediante el Marco Lexile para la Lectura (Stenner et al. 2006). Kyngdon encontró que la satisfacción de los axiomas de cancelación se obtuvo solo a través de la permutación de la matriz de una manera inconsistente con las supuestas medidas Lexile de dificultad de los ítems. Kyngdon también probó datos de respuesta de prueba de habilidad simulada utilizando medición conjunta polinómica. Los datos se generaron utilizando el modelo de Rasch del marco de referencia extendido de Humphry (Humphry y Andrich 2008). Encontró apoyo a la cancelación distributiva, simple y doble consistente con una estructura conjunta polinomial distributiva en tres variables (Krantz y Tversky 1971).
![{\displaystyle Q=r\times [Q]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9a384ad8e253850e529c408f7dceb506e0ad571b)
