Conjunto simple

Construcción matemática utilizada en la teoría de la homotopía

En matemáticas , un conjunto simplicial es un objeto compuesto de símplices de una manera específica. Los conjuntos simpliciales son generalizaciones de dimensiones superiores de grafos dirigidos , conjuntos parcialmente ordenados y categorías . Formalmente, un conjunto simplicial puede definirse como un funtor contravariante de la categoría símplex a la categoría de conjuntos . Los conjuntos simpliciales fueron introducidos en 1950 por Samuel Eilenberg y Joseph A. Zilber. ^[1]

Cada conjunto simplicial da lugar a un espacio topológico "bueno" , conocido como su realización geométrica. Esta realización consiste en símplices geométricos , pegados entre sí de acuerdo con las reglas del conjunto simplicial. De hecho, se puede considerar un conjunto simplicial como una construcción puramente combinatoria diseñada para capturar la esencia de un espacio topológico " de buen comportamiento " para los fines de la teoría de la homotopía . Específicamente, la categoría de conjuntos simpliciales conlleva una estructura de modelo natural , y la categoría de homotopía correspondiente es equivalente a la conocida categoría de homotopía de los espacios topológicos.

Los conjuntos simpliciales se utilizan para definir cuasicategorías , una noción básica de la teoría de categorías superiores . Una construcción análoga a la de los conjuntos simpliciales se puede llevar a cabo en cualquier categoría, no solo en la categoría de conjuntos, lo que da lugar a la noción de objetos simpliciales .

Motivación

Un conjunto simplicial es un modelo categórico (es decir, puramente algebraico) que captura aquellos espacios topológicos que pueden construirse (o representarse fielmente hasta la homotopía) a partir de símplices y sus relaciones de incidencia. Esto es similar al enfoque de los complejos CW para modelar espacios topológicos, con la diferencia crucial de que los conjuntos simpliciales son puramente algebraicos y no tienen ninguna topología real.

Para volver a los espacios topológicos reales, existe un funtor de realización geométrica que convierte conjuntos simpliciales en espacios de Hausdorff generados de forma compacta . La mayoría de los resultados clásicos sobre complejos CW en la teoría de homotopía se generalizan mediante resultados análogos para conjuntos simpliciales. Si bien los topólogos algebraicos en gran medida siguen prefiriendo los complejos CW, existe un contingente creciente de investigadores interesados ​​en usar conjuntos simpliciales para aplicaciones en geometría algebraica donde los complejos CW no existen de forma natural.

Intuición

Los conjuntos simpliciales pueden considerarse como una generalización de dimensiones superiores de los multigrafos dirigidos . Un conjunto simplicial contiene vértices (conocidos como "0-símplices" en este contexto) y flechas ("1-símplices") entre algunos de estos vértices. Dos vértices pueden estar conectados por varias flechas, y también se permiten bucles dirigidos que conectan un vértice consigo mismo. A diferencia de los multigrafos dirigidos, los conjuntos simpliciales también pueden contener símplices superiores. Un 2-símplice, por ejemplo, puede considerarse como una forma "triangular" bidimensional delimitada por una lista de tres vértices A , B , C y tres flechas B  →  C , A  →  C y A  →  B . En general, un n -símplice es un objeto formado por una lista de n  + 1 vértices (que son 0-símplices) y n  + 1 caras (que son ( n  − 1)-símplices). Los vértices de la i -ésima cara son los vértices del n -símplice menos el i -ésimo vértice. Los vértices de un símplice no necesitan ser distintos y un símplice no está determinado por sus vértices y caras: dos símplices diferentes pueden compartir la misma lista de caras (y por lo tanto la misma lista de vértices), al igual que dos flechas diferentes en un multigrafo pueden conectar los mismos dos vértices.

Los conjuntos simpliciales no deben confundirse con los complejos simpliciales abstractos , que generalizan grafos simples no dirigidos en lugar de multigrafos dirigidos.

Formalmente, un conjunto simplicial X es una colección de conjuntos X _n , n  = 0, 1, 2, ..., junto con ciertas funciones entre estos conjuntos: las funciones de caras d _{n , i}  :  X _n  →  X _{n −1} ( n  = 1, 2, 3, ... y 0 ≤  i  ≤  n ) y las funciones de degeneración s _{n , i}  :  X _n → X _{n +1} ( n  = 0, 1, 2, ... y 0 ≤  i  ≤  n ). Pensamos en los elementos de X _n como los n -símplices de X . La función d _{n , i} asigna a cada uno de estos n -símplices su i -ésima cara, la cara "opuesta a" (es decir, que no contiene) el i -ésimo vértice. La función s _{n , i} asigna a cada n -símplex el ( n +1)-símplex degenerado que surge del dado al duplicar el i -ésimo vértice. Esta descripción requiere implícitamente ciertas relaciones de consistencia entre las funciones d _{n , i} y s _{n , i} . En lugar de requerir estas identidades simpliciales explícitamente como parte de la definición, la definición moderna, breve y elegante, utiliza el lenguaje de la teoría de categorías .

Definición formal

Sea Δ la categoría simplex . Los objetos de Δ son conjuntos ordenados linealmente no vacíos de la forma

[ n ] = {0, 1, ..., n }

con n ≥0. Los morfismos en Δ son funciones que preservan (no estrictamente) el orden entre estos conjuntos.

Un conjunto simplicial X es un functor contravariante

X  : Δ → Conjunto

donde Set es la categoría de conjuntos . (Alternativamente y de manera equivalente, se pueden definir conjuntos simpliciales como funtores covariantes de la categoría opuesta Δ ^op a Set .) Dado un conjunto simplicial X, a menudo escribimos X _n en lugar de X ([ n ]).

Los conjuntos simpliciales forman una categoría, normalmente denominada sSet , cuyos objetos son conjuntos simpliciales y cuyos morfismos son transformaciones naturales entre ellos. Esta no es otra cosa que la categoría de prehaces en Δ. Como tal, es un topos .

Mapas de rostros y degeneraciones e identidades simpliciales

La categoría simplex Δ es generada por dos familias particularmente importantes de morfismos (mapas), cuyas imágenes bajo un funtor de conjunto simplicial dado se denominan mapas de caras y mapas de degeneración de ese conjunto simplicial.

Los mapas de caras de un conjunto simplicial X son las imágenes en ese conjunto simplicial de los morfismos , donde es la única inyección (que preserva el orden) que "falla" . Denotemos estos mapas de caras por respectivamente, de modo que es un mapa . Si el primer índice está claro, escribimos en lugar de . ${\displaystyle \delta ^{n,0},\dotsc ,\delta ^{n,n}\colon [n-1]\to [n]}$ ${\displaystyle \delta ^{n,i}}$ ${\displaystyle [n-1]\to [n]}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle d_{n,0},\dotsc ,d_{n,n}}$ ${\displaystyle d_{n,i}}$ ${\displaystyle X_{n}\to X_{n-1}}$ ${\displaystyle d_{i}}$ ${\displaystyle d_{n,i}}$

Las aplicaciones de degeneración del conjunto simplicial X son las imágenes en ese conjunto simplicial de los morfismos , donde es la única sobreyección (que preserva el orden) que "impacta" dos veces. Denotemos estas aplicaciones de degeneración por respectivamente, de modo que es una aplicación . Si el primer índice está claro, escribimos en lugar de . ${\displaystyle \sigma ^{n,0},\dotsc ,\sigma ^{n,n}\colon [n+1]\to [n]}$ ${\displaystyle \sigma ^{n,i}}$ ${\displaystyle [n+1]\to [n]}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle s_{n,0},\dotsc ,s_{n,n}}$ ${\displaystyle s_{n,i}}$ ${\displaystyle X_{n}\to X_{n+1}}$ ${\displaystyle s_{i}}$ ${\displaystyle s_{n,i}}$

Los mapas definidos satisfacen las siguientes identidades simples :

1. ${\displaystyle d_{i}d_{j}=d_{j-1}d_{i}}$ si i < j . (Esta es la abreviatura de si 0 ≤ i < j ≤ n .) ${\displaystyle d_{n-1,i}d_{n,j}=d_{n-1,j-1}d_{n,i}}$
2. ${\displaystyle d_{i}s_{j}=s_{j-1}d_{i}}$ si i < j .
3. ${\displaystyle d_{i}s_{j}={\text{id}}}$si i = j o i = j  + 1.
4. ${\displaystyle d_{i}s_{j}=s_{j}d_{i-1}}$ si i > j  + 1.
5. ${\displaystyle s_{i}s_{j}=s_{j+1}s_{i}}$ si i ≤ j .

Por el contrario, dada una secuencia de conjuntos X _n con funciones y que satisfacen las identidades simpliciales, existe un único conjunto simplicial X que tiene estas funciones de cara y degeneración. Por lo tanto, las identidades proporcionan una forma alternativa de definir conjuntos simpliciales. ${\displaystyle d_{n,i}:X_{n}\to X_{n-1}}$ ${\displaystyle s_{n,i}:X_{n}\to X_{n+1}}$

Ejemplos

Dado un conjunto parcialmente ordenado ( S ,≤), podemos definir un conjunto simplicial NS , el nervio de S , de la siguiente manera: para cada objeto [ n ] de Δ establecemos NS ([ n ]) = hom _po-set ( [ n ] , S ), las funciones que preservan el orden de [ n ] a S . Cada morfismo φ:[ n ]→[ m ] en Δ es una función que preserva el orden, y por composición induce una función NS (φ) : NS ([ m ]) → NS ([ n ]). Es sencillo comprobar que NS es un funtor contravariante de Δ a Set : un conjunto simplicial.

Concretamente, los n -símplices del nervio NS , es decir, los elementos de NS _n = NS ([ n ]), pueden considerarse como secuencias de longitud ordenada ( n +1) de elementos de S : ( a ₀  ≤  a ₁  ≤ ... ≤  a _n ). La función de caras d _i elimina el i -ésimo elemento de dicha lista, y la función de degeneración s _i duplica el i -ésimo elemento.

Se puede realizar una construcción similar para cada categoría C , para obtener el nervio NC de C . Aquí, NC ([ n ]) es el conjunto de todos los funtores desde [ n ] hasta C , donde consideramos [ n ] como una categoría con objetos 0,1,..., n y un único morfismo desde i hasta j siempre que i  ≤  j .

Concretamente, los n -símplices del nervio NC pueden considerarse como secuencias de n morfismos componibles en C : a ₀  →  a ₁  → ... →  a _n . (En particular, los 0-símplices son los objetos de C y los 1-símplices son los morfismos de C .) La función de caras d ₀ elimina el primer morfismo de dicha lista, la función de caras d _n elimina el último, y la función de caras d _i para 0 <  i  <  n elimina a _i y compone los morfismos i ésimo y ( i  + 1) ésimo. Las funciones de degeneración s _i alargan la secuencia insertando un morfismo identidad en la posición  i .

Podemos recuperar el poset S del nervio NS y la categoría C del nervio NC ; en este sentido los conjuntos simpliciales generalizan posets y categorías.

Otra clase importante de ejemplos de conjuntos simpliciales está dada por el conjunto singular SY de un espacio topológico Y . Aquí SY _n consiste en todas las funciones continuas del n -símplice topológico estándar a Y . El conjunto singular se explica con más detalle a continuación.

El estándarnorte-simplex y la categoría de los simples

El n -símplex estándar , denotado Δ ⁿ , es un conjunto simplicial definido como el funtor hom _Δ (-, [ n ]) donde [ n ] denota el conjunto ordenado {0, 1, ... , n } de los primeros ( n + 1) enteros no negativos. (En muchos textos, se escribe en cambio como hom([ n ],-) donde se entiende que el conjunto hom se encuentra en la categoría opuesta Δ ^op . ^[2] )

Por el lema de Yoneda , los n -símplices de un conjunto simplicial X están en correspondencia 1–1 con las transformaciones naturales de Δ ⁿ a X, es decir . ${\displaystyle X_{n}=X([n])\cong \operatorname {Nat} (\operatorname {hom} _{\Delta }(-,[n]),X)=\operatorname {hom} _{\textbf {sSet}}(\Delta ^{n},X)}$

Además, X da lugar a una categoría de símplices , denotada por , cuyos objetos son morfismos ( es decir , transformaciones naturales) Δ ⁿ → X y cuyos morfismos son transformaciones naturales Δ ⁿ → Δ ^m sobre X que surgen de morfismos [ n ] → [ m ] en Δ . Es decir, es una categoría de porción de Δ sobre X . El siguiente isomorfismo muestra que un conjunto simplicial X es un colímite de sus símplices: ^[3] ${\displaystyle \Delta \downarrow {X}}$ ${\displaystyle \Delta \downarrow {X}}$

${\displaystyle X\cong \varinjlim _{\Delta ^{n}\to X}\Delta ^{n}}$

donde el colimite se toma sobre la categoría de símplices de X .

Realización geométrica

Hay un funtor |•|: sSet → CGHaus se llama la realización geométrica que lleva un conjunto simplicial X a su correspondiente realización en la categoría de espacios topológicos de Hausdorff generados de manera compacta . Intuitivamente, la realización de X es el espacio topológico (de hecho, un complejo CW ) obtenido si cada n- símplice de X se reemplaza por un n- símplice topológico (un cierto subconjunto n- dimensional del espacio euclidiano ( n  + 1)-dimensional definido a continuación) y estos símplices topológicos se pegan entre sí de la manera en que los símplices de X cuelgan juntos. En este proceso se pierde la orientación de los símplices de X.

Para definir el funtor de realización, primero lo definimos en n-símplices estándar Δ ⁿ de la siguiente manera: la realización geométrica |Δ ⁿ | es el n - símplice topológico estándar en posición general dada por

${\displaystyle |\Delta ^{n}|=\{(x_{0},\dots ,x_{n})\in \mathbb {R} ^{n+1}:0\leq x_{i}\leq 1,\sum x_{i}=1\}.}$

La definición se extiende entonces naturalmente a cualquier conjunto simple X estableciendo

|X| = lím _{Δ ⁿ → X} | Δ ⁿ |

donde el colimite se toma sobre la categoría n-simplex de X . La realización geométrica es funcional en sSet .

Es significativo que utilicemos la categoría CGHaus de los espacios de Hausdorff generados de forma compacta, en lugar de la categoría Top de los espacios topológicos, como la categoría objetivo de la realización geométrica: al igual que sSet y a diferencia de Top , la categoría CGHaus es cartesiana cerrada ; el producto categórico se define de manera diferente en las categorías Top y CGHaus , y el de CGHaus corresponde al de sSet a través de la realización geométrica.

Conjunto singular para un espacio

El conjunto singular de un espacio topológico Y es el conjunto simplicial SY definido por

( SY )([ n ]) = hom _{T op} (|Δ ⁿ |, Y ) para cada objeto [ n ] ∈ Δ.

Toda función que preserva el orden φ:[ n ]→[ m ] induce una función continua |Δ ⁿ |→|Δ ^m | de manera natural, que por composición produce SY ( φ ) : SY ([ m ]) → SY ([ n ]). Esta definición es análoga a una idea estándar en homología singular de "probar" un espacio topológico objetivo con n -símplices topológicos estándar . Además, el funtor singular S es adjunto derecho al funtor de realización geométrica descrito anteriormente, es decir:

hom _Arriba (| X |, Y ) ≅ hom _sSet ( X , SY )

para cualquier conjunto simplicial X y cualquier espacio topológico Y. Intuitivamente, esta adjunción puede entenderse de la siguiente manera: una función continua de la realización geométrica de X a un espacio Y se especifica de manera única si asociamos a cada símplice de X una función continua del símplice topológico estándar correspondiente a Y, de tal manera que estas funciones sean compatibles con la forma en que se relacionan los símplices en X.

Teoría de homotopía de conjuntos simpliciales

Para definir una estructura modelo sobre la categoría de conjuntos simpliciales, hay que definir fibraciones, cofibraciones y equivalencias débiles. Las fibraciones se pueden definir como fibraciones Kan . Una función de conjuntos simpliciales se define como equivalencia débil si su realización geométrica es una equivalencia homotópica débil de espacios . Una función de conjuntos simpliciales se define como cofibración si es un monomorfismo de conjuntos simpliciales. Un teorema difícil de Daniel Quillen es que la categoría de conjuntos simpliciales con estas clases de morfismos se convierte en una categoría modelo y, de hecho, satisface los axiomas para una categoría modelo simplicial cerrada adecuada .

Un punto de inflexión clave de la teoría es que la realización geométrica de una fibración de Kan es una fibración de Serre de espacios. Con la estructura del modelo en su lugar, se puede desarrollar una teoría de homotopía de conjuntos simpliciales utilizando métodos estándar de álgebra homotópica . Además, la realización geométrica y los funtores singulares dan una equivalencia de Quillen de categorías de modelos cerrados que inducen una equivalencia

|•|: Ho ( sSet ) ↔ Ho ( Arriba )

entre la categoría de homotopía para conjuntos simpliciales y la categoría de homotopía usual de complejos CW con clases de homotopía de aplicaciones continuas entre ellos. Es parte de la definición general de una adjunción de Quillen que el funtor adjunto derecho (en este caso, el funtor de conjunto singular) lleva fibraciones (resp. fibraciones triviales) a fibraciones (resp. fibraciones triviales).

Objetos simples

Un objeto simplicial X en una categoría C es un funtor contravariante

X  : Δ → C

o equivalentemente un funtor covariante

X : Δ ^op → C,

donde Δ sigue denotando la categoría simplex y ^op la categoría opuesta . Cuando C es la categoría de conjuntos , estamos hablando solo de los conjuntos simpliciales que se definieron anteriormente. Si C es la categoría de grupos o la categoría de grupos abelianos , obtenemos las categorías sGrp de grupos simpliciales y sAb de grupos abelianos simpliciales , respectivamente.

Los grupos simpliciales y los grupos abelianos simpliciales también tienen estructuras de modelos cerrados inducidas por las de los conjuntos simpliciales subyacentes.

Los grupos de homotopía de grupos abelianos simpliciales se pueden calcular haciendo uso de la correspondencia Dold-Kan que produce una equivalencia de categorías entre grupos abelianos simpliciales y complejos de cadena acotados y está dada por funtores

N: sAb → Ch ₊

y

Γ: Ch ₊ →   sAb .

Historia y usos de los conjuntos simpliciales

Los conjuntos simpliciales se utilizaron originalmente para dar descripciones precisas y convenientes de espacios de clasificación de grupos . Esta idea fue ampliada enormemente por la idea de Grothendieck de considerar espacios de clasificación de categorías, y en particular por el trabajo de Quillen sobre la teoría K algebraica . En este trabajo, que le valió una medalla Fields , Quillen desarrolló métodos sorprendentemente eficientes para manipular conjuntos simpliciales infinitos. Estos métodos se utilizaron en otras áreas en la frontera entre la geometría algebraica y la topología. Por ejemplo, la homología de André-Quillen de un anillo es una "homología no abeliana", definida y estudiada de esta manera.

Tanto la teoría K algebraica como la homología de André-Quillen se definen utilizando datos algebraicos para escribir un conjunto simplicial y luego tomando los grupos de homotopía de este conjunto simplicial.

Los métodos simpliciales suelen ser útiles cuando se quiere demostrar que un espacio es un espacio de bucles . La idea básica es que si es un grupo con espacio de clasificación , entonces es homotópicamente equivalente al espacio de bucles . Si en sí mismo es un grupo, podemos iterar el procedimiento, y es homotópicamente equivalente al espacio de bucles dobles . En caso de que sea un grupo abeliano, podemos iterarlo infinitas veces y obtener que es un espacio de bucles infinitos. ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle BG}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \Omega BG}$ ${\displaystyle BG}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \Omega ^{2}B(BG)}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$

Aunque no sea un grupo abeliano, puede ocurrir que tenga una composición lo suficientemente conmutativa como para que se pueda utilizar la idea anterior para demostrar que es un espacio de bucles infinitos. De esta manera, se puede demostrar que la teoría algebraica de un anillo, considerada como un espacio topológico, es un espacio de bucles infinitos. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle K}$

En los últimos años, los conjuntos simpliciales se han utilizado en la teoría de categorías superiores y en la geometría algebraica derivada . Las cuasicategorías pueden considerarse como categorías en las que la composición de los morfismos se define solo hasta la homotopía, y también se conserva la información sobre la composición de las homotopías superiores. Las cuasicategorías se definen como conjuntos simpliciales que satisfacen una condición adicional, la condición débil de Kan.

Véase también

• Conjunto delta
• Conjunto dendroidal , una generalización del conjunto simplicial
• Prehaz simple
• Cuasi-categoría
• Complejo Kan
• Correspondencia Dold-Kan
• Homotopía simplicial
• Esfera simple
• Complejo simplicial abstracto

Notas

1. Eilenberg, Samuel; Zilber, JA (1950). "Complejos semi-simpliciales y homología singular". Anales de Matemáticas . 51 (3): 499–513. doi :10.2307/1969364. JSTOR  1969364.
2. Gelfand y Manin 2013
3. Goerss y Jardine 1999, pág. 7

Referencias

• Goerss, Paul G.; Jardine, John F. (1999). Teoría de la homotopía simplicial . Progreso en matemáticas. Vol. 174. Birkhäuser. doi :10.1007/978-3-0348-8707-6. ISBN . 978-3-7643-6064-1. Sr.  1711612.
• Gelfand, Sergei I.; Manin, Yuri I. (2013). Métodos de álgebra homológica. Springer. ISBN 978-3-662-12492-5.
• Allegretti, Dylan GL "Conjuntos simpliciales y teorema de van Kampen" (PDF) . CiteSeerX  10.1.1.539.7411 . (Una introducción elemental a los conjuntos simpliciales) .
• Quillen, Daniel (1973). "Higher algebraic K-theory: I". En Bass, Hyman (ed.). Higher K-Theories. Apuntes de clase en matemáticas. Vol. 341. Springer-Verlag. págs. 85–147. ISBN 3-540-06434-6.
• Segal, Graeme B. (1974). "Categorías y teorías de cohomología". Topología . 13 (3): 293–312. doi :10.1016/0040-9383(74)90022-6.

Lectura adicional

• Riehl, Emily . "Una introducción relajada a los conjuntos simples" (PDF) .
• May, J. Peter . Objetos simples en topología algebraica, University of Chicago Press 1967
• conjunto simple en el laboratorio n