Fibración Kan

Mapa entre conjuntos simpliciales con propiedad de elevación

En matemáticas, los complejos Kan y las fibraciones Kan forman parte de la teoría de conjuntos simpliciales . Las fibraciones Kan son las fibraciones de la estructura de categorías del modelo estándar sobre conjuntos simpliciales y, por lo tanto, son de importancia fundamental. Los complejos Kan son los objetos fibrantes de esta categoría del modelo. El nombre es en honor a Daniel Kan .

Definiciones

Definición del n-simplex estándar

El símplex azul rayado en el dominio tiene que existir para que este mapa sea una fibración Kan.

Para cada n  ≥ 0, recuerde que el -símplex estándar ${\displaystyle n}$ , , es el conjunto simplicial representable ${\displaystyle \Delta ^{n}}$

${\displaystyle \Delta ^{n}(i)=\mathrm {Hom} _{\mathbf {\Delta } }([i],[n])}$

La aplicación del funtor de realización geométrica a este conjunto simplicial da como resultado un espacio homeomorfo al estándar topológico -simplex ${\displaystyle n}$ : el subespacio convexo de que consiste en todos los puntos tales que las coordenadas son no negativas y suman 1. ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n+1}}$ ${\displaystyle (t_{0},\dots ,t_{n})}$

Definición de cuerno

Para cada k  ≤  n , esto tiene un subcomplejo , el k -ésimo cuerno dentro de , correspondiente al límite del n -símplex, con la k -ésima cara eliminada. Esto se puede definir formalmente de varias maneras, como por ejemplo la unión de las imágenes de las n aplicaciones correspondientes a todas las otras caras de . ^[1] Los cuernos de la forma que se encuentran dentro se parecen a la V negra en la parte superior de la imagen adyacente. Si es un conjunto simplicial, entonces las aplicaciones ${\displaystyle \Lambda _{k}^{n}}$ ${\displaystyle \Delta ^{n}}$ ${\displaystyle \Delta ^{n-1}\rightarrow \Delta ^{n}}$ ${\displaystyle \Delta ^{n}}$ ${\displaystyle \Lambda _{k}^{2}}$ ${\displaystyle \Delta ^{2}}$ ${\displaystyle X}$

${\displaystyle s:\Lambda _{k}^{n}\to X}$

corresponden a colecciones de -simples que satisfacen una condición de compatibilidad, una para cada . Explícitamente, esta condición se puede escribir de la siguiente manera. Escriba los -simples como una lista y exija que ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle (n-1)}$ ${\displaystyle 0\leq k\leq n-1}$ ${\displaystyle (n-1)}$ ${\displaystyle (s_{0},\dots ,s_{k-1},s_{k+1},\dots ,s_{n})}$

${\displaystyle d_{i}s_{j}=d_{j-1}s_{i}\,}$para todos con . ^[2] ${\displaystyle i<j}$ ${\displaystyle i,j\neq k}$

Estas condiciones se cumplen para la simpleza de sentarse en el interior . ${\displaystyle (n-1)}$ ${\displaystyle \Lambda _{k}^{n}}$ ${\displaystyle \Delta ^{n}}$

Definición de fibración Kan

Diagrama de elevación para una fibración Kan

Una función de conjuntos simpliciales es una fibración de Kan si, para cualquier función y , y para cualquier función y tal que (donde es la inclusión de en ), existe una función tal que y . Expresada de esta manera, la definición es muy similar a la de fibraciones en topología (véase también propiedad de elevación de homotopía ), de ahí el nombre "fibración". ${\displaystyle f:X\rightarrow Y}$ ${\displaystyle n\geq 1}$ ${\displaystyle 0\leq k\leq n}$ ${\displaystyle s:\Lambda _{k}^{n}\rightarrow X}$ ${\displaystyle y:\Delta ^{n}\rightarrow Y\,}$ ${\displaystyle f\circ s=y\circ i}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle \Lambda _{k}^{n}}$ ${\displaystyle \Delta ^{n}}$ ${\displaystyle x:\Delta ^{n}\rightarrow X}$ ${\displaystyle s=x\circ i}$ ${\displaystyle y=f\circ x}$

Observaciones técnicas

Utilizando la correspondencia entre -símplices de un conjunto simplicial y morfismos (una consecuencia del lema de Yoneda ), esta definición puede escribirse en términos de símplices. La imagen de la función puede pensarse como un cuerno como el descrito anteriormente. Pedir que los factores a través de correspondan a exigir que exista un -símplice en cuyas caras se forme el cuerno de (junto con otra cara). Entonces la función requerida corresponde a un símplice en cuyas caras se incluya el cuerno de . El diagrama de la derecha es un ejemplo en dos dimensiones. Dado que la V negra en el diagrama inferior está rellena por el -símplice azul, si la V negra de arriba se asigna a ella, entonces el -símplice azul rayado tiene que existir, junto con el -símplice azul punteado, asignándose hacia abajo de la manera obvia. ^[3] ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \Delta ^{n}\to X}$ ${\displaystyle fs:\Lambda _{k}^{n}\to Y}$ ${\displaystyle fs}$ ${\displaystyle yi}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle fs}$ ${\displaystyle x:\Delta ^{n}\to X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle 1}$

Complejos Kan definidos a partir de fibraciones Kan

Un conjunto simplicial se denomina complejo Kan si la función de , el conjunto simplicial de un punto, es una fibración Kan. En la categoría de modelo para conjuntos simpliciales, es el objeto terminal y, por lo tanto, un complejo Kan es exactamente lo mismo que un objeto fibrante . De manera equivalente, esto podría expresarse como: si cada función de un cuerno tiene una extensión a , lo que significa que hay una elevación tal que ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X\to \{*\}}$ ${\displaystyle \{*\}}$ ${\displaystyle \alpha :\Lambda _{k}^{n}\to X}$ ${\displaystyle \Delta ^{n}}$ ${\displaystyle {\tilde {\alpha }}:\Delta ^{n}\to X}$

${\displaystyle \alpha ={\tilde {\alpha }}\circ \iota }$

para el mapa de inclusión , entonces es un complejo Kan. Por el contrario, cada complejo Kan tiene esta propiedad, por lo tanto da una condición técnica simple para un complejo Kan. ${\displaystyle \iota :\Lambda _{k}^{n}\hookrightarrow \Delta ^{n}}$ ${\displaystyle X}$

Ejemplos

Conjuntos simpliciales de homología singular

Un ejemplo importante proviene de la construcción de simples singulares utilizados para definir la homología singular , llamado functor singular ^{[4] pág. 7}

${\displaystyle S:{\text{Top}}\to s{\text{Sets}}}$.

Dado un espacio , defina un -símplex singular de X como una función continua del -símplex topológico estándar (como se describió anteriormente) a , ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle X}$

${\displaystyle f:\Delta _{n}\to X}$

Tomando el conjunto de estos mapas para todos los no negativos se obtiene un conjunto graduado, ${\displaystyle n}$

${\displaystyle S(X)=\coprod _{n}S_{n}(X)}$.

Para convertir esto en un conjunto simple, defina los mapas de caras mediante ${\displaystyle d_{i}:S_{n}(X)\to S_{n-1}(X)}$

${\displaystyle (d_{i}f)(t_{0},\dots ,t_{n-1})=f(t_{0},\dots ,t_{i-1},0,t_{i},\dots ,t_{n-1})\,}$

y mapas de degeneración por ${\displaystyle s_{i}:S_{n}(X)\to S_{n+1}(X)}$

${\displaystyle (s_{i}f)(t_{0},\dots ,t_{n+1})=f(t_{0},\dots ,t_{i-1},t_{i}+t_{i+1},t_{i+2},\dots ,t_{n+1})\,}$.

Dado que la unión de cualquier cara de es una fuerte retracción de deformación de , cualquier función continua definida en estas caras se puede extender a , lo que demuestra que es un complejo Kan. ^[5] ${\displaystyle n+1}$ ${\displaystyle \Delta _{n+1}}$ ${\displaystyle \Delta _{n+1}}$ ${\displaystyle \Delta _{n+1}}$ ${\displaystyle S(X)}$

Relación con la realización geométrica

Vale la pena señalar que el funtor singular es adjunto derecho al funtor de realización geométrica.

${\displaystyle |\cdot |:s{\text{Sets}}\to {\text{Top}}}$

dando el isomorfismo

${\displaystyle {\text{Hom}}_{\text{Top}}(|X|,Y)\cong {\text{Hom}}_{s{\text{Sets}}}(X,S(Y))}$

Conjuntos simpliciales subyacentes a grupos simpliciales

Se puede demostrar que el conjunto simplicial subyacente a un grupo simplicial es siempre fibrante ^{[4] pg 12} . En particular, para un grupo abeliano simplicial , su realización geométrica es homotópicamente equivalente a un producto de espacios de Eilenberg-Maclane

${\displaystyle \prod _{i\in I}K(A_{i},n_{i})}$

En particular, esto incluye la clasificación de espacios . Por lo tanto, los espacios , , y los espacios de lentes infinitos corresponden a complejos Kan de algún conjunto simplicial. De hecho, este conjunto se puede construir explícitamente utilizando la correspondencia Dold–Kan de un complejo de cadena y tomando el conjunto simplicial subyacente del grupo abeliano simplicial. ${\displaystyle S^{1}\simeq K(\mathbb {Z} ,1)}$ ${\displaystyle \mathbb {CP} ^{\infty }\simeq K(\mathbb {Z} ,2)}$ ${\displaystyle L_{q}^{\infty }\simeq K(\mathbb {Z} /q,2)}$

Realizaciones geométricas de pequeños grupoides

Otra fuente importante de ejemplos son los conjuntos simpliciales asociados a un pequeño grupoide . Este se define como la realización geométrica del conjunto simplicial y se denota típicamente como . También podríamos haberlo reemplazado por un grupoide infinito. Se conjetura que la categoría de homotopía de las realizaciones geométricas de los grupoides infinitos es equivalente a la categoría de homotopía de los tipos de homotopía. Esto se llama hipótesis de homotopía. ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$ ${\displaystyle [\Delta ^{op},{\mathcal {G}}]}$ ${\displaystyle B{\mathcal {G}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$

Ejemplo no estándar: n-simplex

Resulta que el -símplex estándar no es un complejo Kan ^{[6] pág. 38.} La construcción de un contraejemplo en general se puede encontrar observando un ejemplo de baja dimensión, por ejemplo . Tomando el mapa que envía ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \Delta ^{n}}$ ${\displaystyle \Delta ^{1}}$ ${\displaystyle \Lambda _{0}^{2}\to \Delta ^{1}}$

${\displaystyle {\begin{matrix}[0,2]\mapsto [0,0]&[0,1]\mapsto [0,1]\end{matrix}}}$

da un contraejemplo, ya que no se puede extender a un mapa porque los mapas tienen que preservar el orden. Si hubiera un mapa, tendría que enviar ${\displaystyle \Delta ^{2}\to \Delta ^{1}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}0\mapsto 0\\1\mapsto 1\\2\mapsto 0\end{aligned}}}$

pero este no es un mapa de conjuntos simples.

Propiedades categóricas

Enriquecimiento simplicial y complejos funcionales

Para los conjuntos simpliciales existe un conjunto simplicial asociado llamado función compleja , donde los simplices se definen como ${\displaystyle X,Y}$ ${\displaystyle {\textbf {Hom}}(X,Y)}$

${\displaystyle {\textbf {Hom}}_{n}(X,Y)={\text{Hom}}_{s{\text{Sets}}}(X\times \Delta ^{n},Y)}$

y para una función ordinal existe una función inducida ${\displaystyle \theta :[m]\to [n]}$

${\displaystyle \theta ^{*}:{\textbf {Hom}}(X,Y)_{n}\to {\textbf {Hom}}(X,Y)_{m}}$

(ya que el primer factor de Hom es contravariante) definido enviando un mapa a la composición ${\displaystyle f:X\times \Delta ^{n}\to Y}$

${\displaystyle X\times \Delta ^{m}\xrightarrow {1\times \theta } X\times \Delta ^{n}\xrightarrow {f} Y}$

Ley exponencial

Este complejo tiene la siguiente ley exponencial de conjuntos simpliciales

${\displaystyle {\text{ev}}_{*}:{\text{Hom}}_{s{\text{Sets}}}(K,{\textbf {Hom}}(X,Y))\to {\text{Hom}}_{s{\text{Sets}}}(X\times K,Y)}$

que envía un mapa al mapa compuesto ${\displaystyle f:K\to {\textbf {Hom}}(X,Y)}$

${\displaystyle X\times K\xrightarrow {1\times g} X\times {\textbf {Hom}}(X,Y)\xrightarrow {ev} Y}$

donde para elevado al n-simplex . ^ ${\displaystyle ev(x,f)=f(x,\iota _{n})}$ ${\displaystyle \iota _{n}\in {\text{Hom}}_{\Delta }([n],[n])}$ ${\displaystyle \Delta ^{n}}$

Fibraciones Kan y retrocesos

Dada una fibración (Kan) y una inclusión de conjuntos simpliciales , existe una fibración ^{[4] pág. 21} ${\displaystyle p:X\to Y}$ ${\displaystyle i:K\hookrightarrow L}$

${\displaystyle {\textbf {Hom}}(L,X)\xrightarrow {(i^{*},p_{*})} {\textbf {Hom}}(K,X)\times _{{\textbf {Hom}}(K,Y)}{\textbf {Hom}}(L,Y)}$

(donde está en la función compleja en la categoría de conjuntos simpliciales) inducida a partir del diagrama conmutativo ${\displaystyle {\textbf {Hom}}}$

${\displaystyle {\begin{matrix}{\textbf {Hom}}(L,X)&\xrightarrow {p_{*}} &{\textbf {Hom}}(L,Y)\\i^{*}\downarrow &&\downarrow i^{*}\\{\textbf {Hom}}(K,X)&\xrightarrow {p_{*}} &{\textbf {Hom}}(K,Y)\end{matrix}}}$

donde es la función pull-back dada por la precomposición y es la función push-forward dada por la postcomposición. En particular, la fibración previa implica y son fibraciones. ${\displaystyle i^{*}}$ ${\displaystyle p_{*}}$ ${\displaystyle p_{*}:{\textbf {Hom}}(L,X)\to {\textbf {Hom}}(L,Y)}$ ${\displaystyle i^{*}:{\textbf {Hom}}(L,Y)\to {\textbf {Hom}}(K,Y)}$

Aplicaciones

Grupos de homotopía de complejos Kan

Los grupos de homotopía de un conjunto simplicial fibrante pueden definirse combinatoriamente, utilizando cuernos, de manera que concuerden con los grupos de homotopía del espacio topológico que lo realiza. Para un complejo Kan y un vértice , un conjunto se define como el conjunto de aplicaciones de conjuntos simpliciales que encajan en un cierto diagrama conmutativo: ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x:\Delta ^{0}\to X}$ ${\displaystyle \pi _{n}(X,x)}$ ${\displaystyle \alpha :\Delta ^{n}\to X}$

${\displaystyle \pi _{n}(X,x)=\left\{\alpha :\Delta ^{n}\to X:{\begin{matrix}\Delta ^{n}&{\overset {\alpha }{\to }}&X\\\uparrow &&\uparrow x\\\partial \Delta ^{n}&\to &\Delta ^{0}\end{matrix}}\right\}}$

Nótese que el hecho de que se asigne a un punto es equivalente a la definición de la esfera como cociente de la unidad estándar de bola. ${\displaystyle \partial \Delta ^{n}}$ ${\displaystyle S^{n}}$ ${\displaystyle B^{n}/\partial B^{n}}$

${\displaystyle B^{n}=\{x\in \mathbb {R} ^{n}:||x||_{eu}\leq 1\}}$

Definir la estructura del grupo requiere un poco más de trabajo. Básicamente, dados dos mapas hay un -simplece asociado tal que da su adición. Este mapa está bien definido hasta las clases de homotopía simpliciales de mapas, dando la estructura del grupo. Además, los grupos son abelianos para . Para , se define como las clases de homotopía de los mapas de vértices . ${\displaystyle \alpha ,\beta :\Delta ^{n}\to X}$ ${\displaystyle (n+1)}$ ${\displaystyle \omega :\Delta ^{n+1}\to X}$ ${\displaystyle d_{n}\omega :\Delta ^{n}\to X}$ ${\displaystyle \pi _{n}(X,x)}$ ${\displaystyle n\geq 2}$ ${\displaystyle \pi _{0}(X)}$ ${\displaystyle [x]}$ ${\displaystyle x:\Delta ^{0}\to X}$

Grupos de homotopía de conjuntos simpliciales

Utilizando categorías de modelos, cualquier conjunto simplicial tiene un reemplazo fibrante que es homotópicamente equivalente a en la categoría de homotopía de conjuntos simpliciales. Entonces, los grupos de homotopía de pueden definirse como ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\hat {X}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$

${\displaystyle \pi _{n}(X,x):=\pi _{n}({\hat {X}},{\hat {x}})}$

donde es una elevación de a . Estos reemplazos fibrantes pueden considerarse un análogo topológico de las resoluciones de un complejo de cadena (como una resolución proyectiva o una resolución plana ). ${\displaystyle {\hat {x}}}$ ${\displaystyle x:\Delta ^{0}\to X}$ ${\displaystyle {\hat {X}}}$

Véase también

• Categoría de modelo
• Teoría de la homotopía simplicial
• Categoría simplemente enriquecida
• Complejo Kan débil (también llamado cuasiconstitución, ∞-constitución)
• ∞-grupoide
• Fibración de conjuntos simpliciales

Referencias

1. Véase Goerss y Jardine, página 7
2. Véase mayo, página 2
3. May utiliza esta definición simplista; véase la página 25
4. Goerss, Paul G.; Jardine, John F. (2009). Teoría de la homotopía simplicial. Birkhäuser Basel. ISBN 978-3-0346-0188-7.OCLC 837507571  .
5. Véase mayo, página 3
6. Friedman, Greg (3 de octubre de 2016). "Introducción ilustrada elemental a los conjuntos simpliciales". arXiv : 0809.4221 [math.AT].

• Una introducción ilustrada elemental a los conjuntos simpliciales

Bibliografía

• Goerss, Paul G.; Jardine, John F. (1999). Teoría de la homotopía simplicial . Basilea: Birkhäuser Basel. doi :10.1007/978-3-0348-8707-6. ISBN 978-3-0348-9737-2. Sr.  1711612.
• May, J. Peter (1992) [1967]. Objetos simpliciales en topología algebraica . Chicago Lectures in Mathematics. Chicago, IL: University of Chicago Press . ISBN 0-226-51180-4.Señor 1206474  .