Teoría de conjuntos de Ackermann

Teoría de conjuntos axiomáticos propuesta por Wilhelm Ackermann

En matemáticas y lógica , la teoría de conjuntos de Ackermann (AST, también conocida como ^{[1] ) es una} teoría de conjuntos axiomática propuesta por Wilhelm Ackermann en 1956. ^[2] ${\displaystyle A^{*}/V}$

La AST se diferencia de la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel (ZF) en que permite clases propias , es decir, objetos que no son conjuntos, incluida una clase de todos los conjuntos. Reemplaza varios de los axiomas estándar de ZF para construir nuevos conjuntos con un principio conocido como esquema de Ackermann. Intuitivamente, el esquema permite construir un nuevo conjunto si se puede definir mediante una fórmula que no se refiera a la clase de todos los conjuntos. En su uso de clases, la AST se diferencia de otras teorías de conjuntos alternativas como la teoría de conjuntos de Morse-Kelley y la teoría de conjuntos de Von Neumann-Bernays-Gödel en que una clase puede ser un elemento de otra clase.

William N. Reinhardt estableció en 1970 que el AST es efectivamente equivalente en resistencia al ZF, lo que lo coloca sobre bases iguales. En particular, el AST es consistente si y solo si el ZF es consistente.

Preliminares

La AST está formulada en lógica de primer orden . El lenguaje de la AST contiene una relación binaria que denota la pertenencia a un conjunto y una constante que denota la clase de todos los conjuntos . Ackermann utilizó un predicado en lugar de ; esto es equivalente ya que cada uno de y puede definirse en términos del otro. ^[3] ${\displaystyle L_{\{\in ,V\}}}$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle V}$

Nos referiremos a los elementos de como conjuntos y a los objetos generales como clases . Una clase que no es un conjunto se denomina clase propia. ${\displaystyle V}$

Axiomas

La siguiente formulación se debe a Reinhardt. ^[4] Los cinco axiomas incluyen dos esquemas axiomáticos . La formulación original de Ackermann incluía solo los primeros cuatro de estos, omitiendo el axioma de regularidad . ^{[5] [6] [7] [nota 1]}

1. Axioma de extensionalidad

Si dos clases tienen los mismos elementos, entonces son iguales.

${\displaystyle \forall x\;(x\in A\leftrightarrow x\in B)\to A=B.}$

Este axioma es idéntico al axioma de extensionalidad que se encuentra en muchas otras teorías de conjuntos, incluida ZF.

2. Herencia

Cualquier elemento o subconjunto de un conjunto es un conjunto.

${\displaystyle (x\in y\lor x\subseteq y)\land y\in V\to x\in V.}$

3. Esquema de comprensión

Para cualquier propiedad, podemos formar la clase de conjuntos que satisfacen esa propiedad. Formalmente, para cualquier fórmula donde no es libre : ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle X}$

${\displaystyle \exists X\;\forall x\;(x\in X\leftrightarrow x\in V\land \phi ).}$

Es decir, la única restricción es que la comprensión está restringida a los objetos en . Pero el objeto resultante no es necesariamente un conjunto. ${\displaystyle V}$

4. Esquema de Ackermann

Para cualquier fórmula con variables libres y sin ocurrencias de : ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle a_{1},\ldots ,a_{n},x}$ ${\displaystyle V}$

${\displaystyle a_{1},\ldots ,a_{n}\in V\land \forall x\;(\phi \to x\in V)\to \exists X{\in }V\;\forall x\;(x\in X\leftrightarrow \phi ).}$

El esquema de Ackermann es una forma de comprensión de conjuntos exclusiva de AST. Permite construir un nuevo conjunto (no solo una clase) siempre que podamos definirlo mediante una propiedad que no haga referencia al símbolo . Este es el principio que reemplaza a los axiomas de ZF como el emparejamiento, la unión y el conjunto potencia. ${\displaystyle V}$

5. Regularidad

Cualquier conjunto no vacío contiene un elemento disjunto de sí mismo:

${\displaystyle \forall x\in V\;(x=\varnothing \lor \exists y(y\in x\land y\cap x=\varnothing )).}$

Aquí, es la abreviatura de . Este axioma es idéntico al axioma de regularidad en ZF. ${\displaystyle y\cap x=\varnothing }$ ${\displaystyle \not \exists z\;(z\in x\land z\in y)}$

Este axioma es conservador en el sentido de que sin él, podemos simplemente usar la comprensión (esquema de axioma 3) para restringir nuestra atención a la subclase de conjuntos que son regulares. ^[4]

Formulaciones alternativas

Los axiomas originales de Ackermann no incluían regularidad y utilizaban un símbolo de predicado en lugar del símbolo de constante . ^[2] Seguimos a Lévy y Reinhardt al reemplazar las instancias de con . Esto es equivalente porque se puede dar una definición como , y a la inversa, el conjunto se puede obtener en la formulación original de Ackermann aplicando la comprensión al predicado . ^[3] ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle Mx}$ ${\displaystyle x\in V}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle x\in V}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \phi ={\text{True}}}$

En la teoría de conjuntos axiomáticos, Ralf Schindler reemplaza el esquema de Ackermann (esquema de axioma 4) con el siguiente principio de reflexión : para cualquier fórmula con variables libres , ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle a_{1},\ldots ,a_{n}}$

${\displaystyle a_{1},\ldots ,a_{n}{\in }V\to (\phi \leftrightarrow \phi ^{V}).}$

Aquí, denota la relativización de a , que reemplaza todos los cuantificadores en de la forma y por y , respectivamente. ^[8] ${\displaystyle \phi ^{V}}$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle \forall x}$ ${\displaystyle \exists x}$ ${\displaystyle \forall x{\in }V}$ ${\displaystyle \exists x{\in }V}$

Relación con la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel

Sea el lenguaje de las fórmulas que no mencionan . ${\displaystyle L_{\{\in \}}}$ ${\displaystyle V}$

En 1959, Azriel Lévy demostró que si es una fórmula de y AST demuestra , entonces ZF demuestra . ^[3] ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle L_{\{\in \}}}$ ${\displaystyle \phi ^{V}}$ ${\displaystyle \phi }$

En 1970, William N. Reinhardt demostró que si es una fórmula de y ZF demuestra , entonces AST demuestra . ^[4] ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle L_{\{\in \}}}$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle \phi ^{V}}$

Por lo tanto, AST y ZF son mutuamente interpretables en extensiones conservativas entre sí. Por lo tanto, son equiconsistentes .

Una característica notable de AST es que, a diferencia de NBG y sus variantes, una clase propia puede ser un elemento de otra clase propia. ^[7]

Extensiones

FA Muller desarrolló una extensión de la AST para la teoría de categorías llamada ARC. Muller afirmó que ARC "funda la teoría de conjuntos de Cantoria así como la teoría de categorías y, por lo tanto, puede pasar como una teoría fundadora de toda la matemática". ^[9]

Véase también

• Fundamentos de las matemáticas
• Lista de teorías de conjuntos alternativas
• Teoría de conjuntos de Zermelo

Notas

1. Reinhardt usa A para referirse a los cuatro axiomas originales y A* a los cinco.

Referencias

1. A. Lévy, Una jerarquía de fórmulas en la teoría de conjuntos (1974), pág. 69. Memorias de la Sociedad Matemática Americana n.º 57
2. Ackermann, Wilhelm (agosto de 1956). "Zur Axiomatik der Mengenlehre". Annalen Matemáticas . 131 (4): 336–345. doi :10.1007/BF01350103. S2CID  120876778 . Consultado el 9 de septiembre de 2022 .
3. Lévy, Azriel (junio de 1959). "Sobre la teoría de conjuntos de Ackermann". The Journal of Symbolic Logic . 24 (2): 154–166. doi :10.2307/2964757. JSTOR  2964757. S2CID  31382168 . Consultado el 9 de septiembre de 2022 .
4. Reinhardt, William N. (octubre de 1970). "La teoría de conjuntos de Ackermann es igual a ZF". Anales de lógica matemática . 2 (2): 189–249. doi :10.1016/0003-4843(70)90011-2.
5. Kanamori, Akihiro (julio de 2006). "Levy y la teoría de conjuntos". Anales de lógica pura y aplicada . 140 (1): 233–252. doi :10.1016/j.apal.2005.09.009.
6. Holmes, M. Randall (21 de septiembre de 2021). «Teorías de conjuntos axiomáticos alternativos». Stanford Encyclopedia of Philosophy . Metaphysics Research Lab, Stanford University . Consultado el 8 de septiembre de 2022 .
7. Fraenkel, Abraham A. ; Bar-Hillel, Yehoshua ; Levy, Azriel (1 de diciembre de 1973). "7.7. El sistema de Ackermann". Fundamentos de la teoría de conjuntos. Estudios de lógica y fundamentos de las matemáticas. Vol. 67. págs. 148-153. ISBN 9780080887050.
8. Schindler, Ralf (23 de mayo de 2014). "Capítulo 2: Teoría de conjuntos axiomática". Teoría de conjuntos: exploración de la independencia y la verdad. Springer, Cham. pp. 20-21. doi :10.1007/978-3-319-06725-4_2. ISBN 978-3-319-06724-7.
9. Muller, FA (septiembre de 2001). «Conjuntos, clases y categorías». The British Journal for the Philosophy of Science . 52 (3): 539–573. doi :10.1093/bjps/52.3.539. JSTOR  3541928 . Consultado el 9 de septiembre de 2022 .