Teoría analítica abstracta de números

La teoría analítica abstracta de números es una rama de las matemáticas que toma las ideas y técnicas de la teoría analítica clásica de números y las aplica a una variedad de campos matemáticos diferentes. El teorema clásico de los números primos sirve como ejemplo prototípico y el énfasis está en los resultados abstractos de la distribución asintótica . La teoría fue inventada y desarrollada por matemáticos como John Knopfmacher y Arne Beurling en el siglo XX.

Semigrupos aritméticos

La noción fundamental implicada es la de semigrupo aritmético , que es un monoide conmutativo G que satisface las siguientes propiedades:

• Existe un subconjunto contable (finito o contablemente infinito) P de G , tal que cada elemento a ≠ 1 en G tiene una factorización única de la forma

${\displaystyle a=p_{1}^{\alpha _{1}}p_{2}^{\alpha _{2}}\cdots p_{r}^{\alpha _{r}}}$

donde los p _i son elementos distintos de P , los α _i son números enteros positivos , r puede depender de a , y dos factorizaciones se consideran iguales si difieren sólo por el orden de los factores indicados. Los elementos de P se llaman primos de G.

• Existe una aplicación de normas de valor real en G tal que ${\displaystyle |{\mbox{ }}|}$
  1. ${\displaystyle |1|=1}$
  2. ${\displaystyle |p|>1{\mbox{ for all }}p\in P}$
  3. ${\displaystyle |ab|=|a||b|{\mbox{ for all }}a,b\in G}$
  4. El número total de elementos de norma es finito, para cada real . ${\displaystyle N_{G}(x)}$ ${\displaystyle a\in G}$ ${\displaystyle |a|\leq x}$ ${\displaystyle x>0}$

Sistemas numéricos aditivos

Un sistema numérico aditivo es un semigrupo aritmético en el que el monoide subyacente G es abeliano libre . La función norma se puede escribir de forma aditiva. ^[1]

Si la norma tiene un valor entero, asociamos las funciones de conteo a ( n ) y p ( n ) con G donde p cuenta el número de elementos de P de la norma n y a cuenta el número de elementos de G de la norma n . Sean A ( x ) y P ( x ) las series de potencias formales correspondientes . Tenemos la identidad fundamental ^[2]

${\displaystyle A(x)=\sum _{n}a(n)x^{n}=\prod _{n}(1-x^{n})^{-p(n)}\ }$

que codifica formalmente la expresión única de cada elemento de G como producto de elementos de P . El radio de convergencia de G es el radio de convergencia de la serie de potencias A ( x ). ^[3]

La identidad fundamental tiene la forma alternativa ^[4]

${\displaystyle A(x)=\exp \left({\sum _{m\geq 1}{\frac {P(x^{m})}{m}}}\right)\ .}$

Ejemplos

• El ejemplo prototípico de un semigrupo aritmético es el semigrupo multiplicativo de números enteros positivos G = Z ^{+ = {1, 2, 3, ...}, con subconjunto de} primos racionales P = {2, 3, 5, ...}. Aquí, la norma de un número entero es simplemente , de modo que , el mayor número entero no excede x . ${\displaystyle |n|=n}$ ${\displaystyle N_{G}(x)=\lfloor x\rfloor }$

• Si K es un cuerpo numérico algebraico , es decir , una extensión finita del cuerpo de números racionales Q , entonces el conjunto G de todos los ideales distintos de cero en el anillo de números enteros OK de _K forma un semigrupo aritmético con elemento de identidad _OK y la norma de un I ideal viene dado por la cardinalidad del anillo cociente O _K / I . En este caso , la generalización apropiada del teorema de los números primos es el teorema del ideal primo de Landau , que describe la distribución asintótica de los ideales en O _K.

• Se pueden considerar varias categorías aritméticas que satisfacen un teorema del tipo Krull-Schmidt. En todos estos casos, los elementos de G son clases de isomorfismo en una categoría apropiada , y P consta de todas las clases de isomorfismo de objetos indescomponibles , es decir, objetos que no pueden descomponerse como un producto directo de objetos distintos de cero. Algunos ejemplos típicos son los siguientes.
  • La categoría de todos los grupos abelianos finitos bajo la operación de producto directo habitual y el mapeo de normas. Los objetos indescomponibles son los grupos cíclicos de orden de potencia prima. ${\displaystyle |A|=\operatorname {card} (A).}$
  • La categoría de todas las variedades riemannianas globalmente simétricas compactas y simplemente conectadas bajo el producto riemanniano de variedades y mapeo de normas donde c > 1 es fijo y tenue M denota la dimensión múltiple de M . Los objetos indescomponibles son los espacios simétricos irreducibles , compactos, simplemente conectados . ${\displaystyle |M|=c^{\dim M},}$
  • La categoría de todos los espacios topológicos finitos pseudometrizables bajo la suma topológica y el mapeo de normas. Los objetos indescomponibles son los espacios conectados . ${\displaystyle |X|=2^{\operatorname {card} (X)}.}$

Métodos y técnicas.

El uso de funciones aritméticas y funciones zeta es extenso. La idea es extender los diversos argumentos y técnicas de funciones aritméticas y funciones zeta en la teoría analítica de números clásica al contexto de un semigrupo aritmético arbitrario que puede satisfacer uno o más axiomas adicionales. Un axioma típico es el siguiente, normalmente llamado "Axioma A" en la literatura:

• Axioma A. Existen constantes positivas A y , y una constante con , tal que ^[5] ${\displaystyle \delta }$ ${\displaystyle \nu }$ ${\displaystyle 0\leq \nu <\delta }$ ${\displaystyle N_{G}(x)=Ax^{\delta }+O(x^{\nu }){\mbox{ as }}x\rightarrow \infty .}$

Para cualquier semigrupo aritmético que satisfaga el axioma A , tenemos el siguiente teorema abstracto de los números primos : ^[6]

${\displaystyle \pi _{G}(x)\sim {\frac {x^{\delta }}{\delta \log x}}{\mbox{ as }}x\rightarrow \infty }$

donde π _G ( x ) = número total de elementos p en P de norma | pag | ≤x .​

formación aritmética

La noción de formación aritmética proporciona una generalización del grupo de clases ideal en la teoría algebraica de números y permite resultados abstractos de distribución asintótica bajo restricciones. En el caso de los cuerpos numéricos, por ejemplo, se trata del teorema de densidad de Chebotarev . Una formación aritmética es un semigrupo aritmético G con una relación de equivalencia ≡ tal que el cociente G /≡ es un grupo abeliano finito A. Este cociente es el grupo de clases de la formación y las clases de equivalencia son progresiones aritméticas generalizadas o clases ideales generalizadas. Si χ es un carácter de A entonces podemos definir una serie de Dirichlet

${\displaystyle \sum _{g\in G}\chi ([g])|g|^{-s}}$

lo que proporciona una noción de función zeta para semigrupos aritméticos. ^[7]

Ver también

• Axioma A , una propiedad de los sistemas dinámicos.
• Función zeta de Beurling

Referencias

1. Burris (2001) p.20
2. Burris (2001) p.26
3. Burris (2001) p.31
4. Burris (2001) p.34
5. Knopfmacher (1990) p.75
6. Knopfmacher (1990) p.154
7. Knopfmacher (1990) págs. 250-264

• Burris, Stanley N. (2001). Densidad teórica de números y leyes de límites lógicos . Encuestas y monografías matemáticas. vol. 86. Providence, RI: Sociedad Matemática Estadounidense . ISBN 0-8218-2666-2. Zbl  0995.11001.
• Knopfmacher, John (1990) [1975]. Teoría analítica abstracta de números (2ª ed.). Nueva York, Nueva York: Dover Publishing. ISBN 0-486-66344-2. Zbl  0743.11002.
• Montgomery, Hugh L .; Vaughan, Robert C. (2007). Teoría de los números multiplicativos I. Teoría clásica . Estudios de Cambridge en matemáticas avanzadas. vol. 97. pág. 278.ISBN​ 978-0-521-84903-6. Zbl  1142.11001.