En teoría algebraica de números , el teorema del ideal primo es la generalización del campo numérico del teorema de los números primos . Proporciona una fórmula asintótica para contar el número de ideales primos de un campo numérico K , con norma como máximo X.
Ya se puede ver qué esperar de los enteros gaussianos . Allí, para cualquier número primo p de la forma 4 n + 1, p se factoriza como producto de dos primos gaussianos de norma p . Los primos de la forma 4 n + 3 siguen siendo primos, dando un primo gaussiano de norma p 2 . Por lo tanto, debemos estimar
donde r cuenta los primos en la progresión aritmética 4 n + 1, y r ′ en la progresión aritmética 4 n + 3. Según la forma cuantitativa del teorema de Dirichlet sobre los primos , cada uno de r ( Y ) y r ′( Y ) es asintóticamente
Por lo tanto, el término 2 r ( X ) domina y es asintóticamente
Este patrón general es válido para los campos numéricos en general, de modo que el teorema del ideal primo está dominado por los ideales de la norma de un número primo. Como demostró Edmund Landau en Landau 1903, para la norma como máximo X la misma fórmula asintótica
siempre se mantiene. Heurísticamente esto se debe a que la derivada logarítmica de la función zeta de Dedekind de K siempre tiene un polo simple con residuo −1 en s = 1.
Al igual que con el teorema de los números primos, se puede dar una estimación más precisa en términos de la función integral logarítmica . El número de ideales primos de norma ≤ X es
donde c K es una constante que depende de K .
