grupo de personajes

En matemáticas , un grupo de caracteres es el grupo de representaciones de un grupo mediante funciones de valores complejos . Estas funciones pueden considerarse como representaciones matriciales unidimensionales y también lo son casos especiales de caracteres grupales que surgen en el contexto relacionado de la teoría de los caracteres . Siempre que un grupo está representado por matrices, la función definida por la traza de las matrices se llama carácter; sin embargo, estas huellas no forman en general un grupo. Algunas propiedades importantes de estos personajes unidimensionales se aplican a los personajes en general:

• Los caracteres son invariantes en las clases de conjugación .
• Los caracteres de las representaciones irreductibles son ortogonales.

La importancia principal del grupo de caracteres para los grupos abelianos finitos está en la teoría de números , donde se utiliza para construir caracteres de Dirichlet . El grupo de caracteres del grupo cíclico también aparece en la teoría de la transformada discreta de Fourier . Para los grupos abelianos localmente compactos , el grupo de caracteres (con un supuesto de continuidad) es fundamental para el análisis de Fourier .

Preliminares

Sea un grupo abeliano. Una función que asigna el grupo a números complejos distintos de cero se llama carácter de si es un homomorfismo de grupo de a , es decir, si para todos . ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle f:G\to \mathbb {C} \setminus \{0\}}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{\times }}$ ${\displaystyle f(g_{1}g_{2})=f(g_{1})f(g_{2})}$ ${\displaystyle g_{1},g_{2}\in G}$

Si es un carácter de un grupo finito , entonces cada valor de función es una raíz de la unidad , ya que para cada uno existe tal que , y por tanto . ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle f(g)}$ ${\displaystyle g\in G}$ ${\displaystyle k\in \mathbb {N} }$ ${\displaystyle g^{k}=e}$ ${\displaystyle f(g)^{k}=f(g^{k})=f(e)=1}$

Cada carácter f es una constante en las clases de conjugación de G , es decir, f ( hgh ⁻¹ ) = f ( g ). Por esta razón, a un carácter a veces se le llama función de clase .

Un grupo abeliano finito de orden n tiene exactamente n caracteres distintos. Estos se denotan por f ₁ , ..., f _n . La función f ₁ es la representación trivial, que viene dada por para todos . Se le llama el personaje principal de G ; los demás se llaman personajes no principales . ${\displaystyle f_{1}(g)=1}$ ${\displaystyle g\in G}$

Definición

Si G es un grupo abeliano, entonces el conjunto de caracteres f _k forma un grupo abeliano bajo multiplicación puntual. Es decir, es producto de caracteres y está definido por para todos . Este grupo es el grupo de caracteres de G y a veces se indica como . El elemento identidad de es el carácter principal f ₁ , y el inverso de un carácter f _k es su recíproco 1/ f _k . Si es finito de orden n , entonces también lo es de orden n . En este caso, ya que para todos , el inverso de un carácter es igual al conjugado complejo . ${\displaystyle f_{j}}$ ${\displaystyle f_{k}}$ ${\displaystyle (f_{j}f_{k})(g)=f_{j}(g)f_{k}(g)}$ ${\displaystyle g\in G}$ ${\displaystyle {\hat {G}}}$ ${\displaystyle {\hat {G}}}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle {\hat {G}}}$ ${\displaystyle |f_{k}(g)|=1}$ ${\displaystyle g\in G}$

Definición alternativa

Hay otra definición de grupo de caracteres ^{[1] página 29} que utiliza como objetivo en lugar de solo . Esto es útil al estudiar toros complejos porque el grupo de caracteres de la red en un toro complejo es canónicamente isomorfo al toro dual mediante el teorema de Appell-Humbert . Eso es, ${\displaystyle U(1)=\{z\in \mathbb {C} ^{*}:|z|=1\}}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{*}}$ ${\displaystyle V/\Lambda }$

${\displaystyle {\text{Hom}}(\Lambda ,U(1))\cong V^{\vee }/\Lambda ^{\vee }=X^{\vee }}$

Podemos expresar elementos explícitos en el grupo de caracteres de la siguiente manera: recuerde que los elementos en se pueden expresar como ${\displaystyle U(1)}$

${\displaystyle e^{2\pi ix}}$

para . Si consideramos la red como un subgrupo del espacio vectorial real subyacente de , entonces un homomorfismo ${\displaystyle x\in \mathbb {R} }$ ${\displaystyle V}$

${\displaystyle \phi :\Lambda \to U(1)}$

se puede factorizar como un mapa

${\displaystyle \phi :\Lambda \to \mathbb {R} \xrightarrow {\exp({2\pi i\cdot })} U(1)}$

Esto se desprende de las propiedades elementales de los homomorfismos. Tenga en cuenta que

${\displaystyle {\begin{aligned}\phi (x+y)&=\exp({2\pi i}f(x+y))\\&=\phi (x)+\phi (y)\\&=\exp(2\pi if(x))\exp(2\pi if(y))\end{aligned}}}$

dándonos la factorización deseada. como el grupo

${\displaystyle {\text{Hom}}(\Lambda ,\mathbb {R} )\cong {\text{Hom}}(\mathbb {Z} ^{2n},\mathbb {R} )}$

tenemos el isomorfismo del grupo de caracteres, como grupo, con el grupo de homomorfismos de a . Dado que para cualquier grupo abeliano , tenemos ${\displaystyle \mathbb {Z} ^{2n}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle {\text{Hom}}(\mathbb {Z} ,G)\cong G}$ ${\displaystyle G}$

${\displaystyle {\text{Hom}}(\mathbb {Z} ^{2n},\mathbb {R} )\cong \mathbb {R} ^{2n}}$

después de componer con la exponencial compleja, encontramos que

${\displaystyle {\text{Hom}}(\mathbb {Z} ^{2n},U(1))\cong \mathbb {R} ^{2n}/\mathbb {Z} ^{2n}}$

cual es el resultado esperado.

Ejemplos

Grupos abelianos finitamente generados

Dado que todo grupo abeliano generado finitamente es isomorfo a

${\displaystyle G\cong \mathbb {Z} ^{n}\oplus \bigoplus _{i=1}^{m}\mathbb {Z} /a_{i}}$

el grupo de caracteres se puede calcular fácilmente en todos los casos generados de forma finita. A partir de las propiedades universales y del isomorfismo entre productos finitos y coproductos, tenemos los grupos de caracteres de es isomorfo a ${\displaystyle G}$

${\displaystyle {\text{Hom}}(\mathbb {Z} ,\mathbb {C} ^{*})^{\oplus n}\oplus \bigoplus _{i=1}^{k}{\text{Hom}}(\mathbb {Z} /n_{i},\mathbb {C} ^{*})}$

para el primer caso, esto es isomorfo a , el segundo se calcula observando los mapas que envían el generador a las distintas potencias de las raíces -ésimas de la unidad . ${\displaystyle (\mathbb {C} ^{*})^{\oplus n}}$ ${\displaystyle 1\in \mathbb {Z} /n_{i}}$ ${\displaystyle n_{i}}$ ${\displaystyle \zeta _{n_{i}}=\exp(2\pi i/n_{i})}$

Ortogonalidad de caracteres.

Considere la matriz A = A ( G ) cuyos elementos de la matriz son donde está el k ésimo elemento de G . ${\displaystyle n\times n}$ ${\displaystyle A_{jk}=f_{j}(g_{k})}$ ${\displaystyle g_{k}}$

La suma de las entradas en la j- ésima fila de A está dada por

${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}A_{jk}=\sum _{k=1}^{n}f_{j}(g_{k})=0}$si y ${\displaystyle j\neq 1}$

${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}A_{1k}=n}$.

La suma de las entradas en la k- ésima columna de A está dada por

${\displaystyle \sum _{j=1}^{n}A_{jk}=\sum _{j=1}^{n}f_{j}(g_{k})=0}$si y ${\displaystyle k\neq 1}$

${\displaystyle \sum _{j=1}^{n}A_{j1}=\sum _{j=1}^{n}f_{j}(e)=n}$.

Denotemos la transpuesta conjugada de A . Entonces ${\displaystyle A^{\ast }}$

${\displaystyle AA^{\ast }=A^{\ast }A=nI}$.

Esto implica la relación de ortogonalidad deseada para los caracteres: es decir,

${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}{f_{k}}^{*}(g_{i})f_{k}(g_{j})=n\delta _{ij}}$,

donde es el delta de Kronecker y es el conjugado complejo de . ${\displaystyle \delta _{ij}}$ ${\displaystyle f_{k}^{*}(g_{i})}$ ${\displaystyle f_{k}(g_{i})}$

Ver también

• Dualidad de Pontryagin

Referencias

1. Birkenhake, Cristina; H. Lange (2004). Variedades abelianas complejas (segunda edición aumentada). Berlín: Springer. ISBN 3-540-20488-1. OCLC  54475368.

• Véase el capítulo 6 de Apostol, Tom M. (1976), Introducción a la teoría analítica de números , Textos de pregrado en matemáticas, Nueva York-Heidelberg: Springer-Verlag, ISBN. 978-0-387-90163-3, SEÑOR  0434929, Zbl  0335.10001