Teorema de Appell-Humbert

Describe los haces de líneas en un toro complejo o una variedad abeliana compleja

En matemáticas , el teorema de Appell-Humbert describe los fibrados lineales de un toro complejo o de una variedad abeliana compleja . Fue demostrado para toros bidimensionales por Appell  (1891) y Humbert  (1893), y en general por Lefschetz  (1921).

Declaración

Supóngase que es un toro complejo dado por donde es una red en un espacio vectorial complejo . Si es una forma hermítica en cuya parte imaginaria es integral en , y es una función de al círculo unitario , llamado semicarácter , tal que ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle V/\Lambda }$ ${\displaystyle \Lambda }$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle E={\text{Im}}(H)}$ ${\displaystyle \Lambda \times \Lambda }$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \Lambda }$ ${\displaystyle U(1)=\{z\in \mathbb {C} :|z|=1\}}$

${\displaystyle \alpha (u+v)=e^{i\pi E(u,v)}\alpha (u)\alpha (v)\ }$

entonces

${\displaystyle \alpha (u)e^{\pi H(z,u)+H(u,u)\pi /2}\ }$

es un cociclo de 1 que define un fibrado lineal en . Para la forma hermítica trivial, esto simplemente se reduce a un carácter . Nótese que el espacio de morfismos de caracteres es isomorfo con un toro real ${\displaystyle \Lambda }$ ${\displaystyle T}$

${\displaystyle {\text{Hom}}_{\textbf {Ab}}(\Lambda ,U(1))\cong \mathbb {R} ^{2n}/\mathbb {Z} ^{2n}}$

si, dado que cualquier carácter de este tipo se factoriza a través de la función exponencial, es decir, un carácter es una función de la forma ${\displaystyle \Lambda \cong \mathbb {Z} ^{2n}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$

${\displaystyle {\text{exp}}(2\pi i\langle l^{*},-\rangle )}$

para algún covector . La periodicidad de para un lineal da el isomorfismo del grupo de caracteres con el toro real dado anteriormente. De hecho, este toro puede estar equipado con una estructura compleja, dando el toro complejo dual . ${\displaystyle l^{*}\in V^{*}}$ ${\displaystyle {\text{exp}}(2\pi if(x))}$ ${\displaystyle f(x)}$

Explícitamente, un fibrado lineal en puede construirse por descendencia a partir de un fibrado lineal en (que es necesariamente trivial) y un dato de descendencia , es decir, una colección compatible de isomorfismos , uno para cada . Dichos isomorfismos pueden presentarse como funciones holomorfas no nulas en , y para cada una la expresión anterior es una función holomorfa correspondiente. ${\displaystyle T=V/\Lambda }$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle u^{*}{\mathcal {O}}_{V}\to {\mathcal {O}}_{V}}$ ${\displaystyle u\in \Lambda }$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle u}$

El teorema de Appell-Humbert (Mumford 2008) dice que cada fibrado lineal puede construirse de esta manera para una elección única de y satisfaciendo las condiciones anteriores. ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle \alpha }$

Amplios paquetes de líneas

Lefschetz demostró que el fibrado lineal , asociado a la forma hermítica es amplio si y sólo si es definido positivo, y en este caso es muy amplio. Una consecuencia es que el toro complejo es algebraico si y sólo si existe una forma hermítica definida positiva cuya parte imaginaria es integral en ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle L^{\otimes 3}}$ ${\displaystyle \Lambda \times \Lambda }$

Véase también

• Toro complejo para un tratamiento del teorema con ejemplos

Referencias

• Appell, P. (1891), "Sur les functiones périodiques de deux variables", Journal de Mathématiques Pures et Appliquées , Série IV, 7 : 157–219
• Humbert, G. (1893), "Théorie générale des technologies hyperelliptiques", Journal de Mathématiques Pures et Appliquées , Série IV, 9 : 29–170, 361–475
• Lefschetz, Solomon (1921), "Sobre ciertas invariantes numéricas de variedades algebraicas con aplicación a variedades abelianas", Transactions of the American Mathematical Society , 22 (3), Providence, RI: American Mathematical Society : 327–406, doi : 10.2307/1988897 , ISSN  0002-9947, JSTOR  1988897
• Lefschetz, Solomon (1921), "Sobre ciertas invariantes numéricas de variedades algebraicas con aplicación a variedades abelianas", Transactions of the American Mathematical Society , 22 (4), Providence, RI: American Mathematical Society : 407–482, doi :10.2307/1988964, ISSN  0002-9947, JSTOR  1988964
• Mumford, David (2008) [1970], Variedades abelianas , Tata Institute of Fundamental Research Studies in Mathematics, vol. 5, Providence, RI: American Mathematical Society , ISBN 978-81-85931-86-9, MR  0282985, OCLC  138290