En topología general y áreas relacionadas de las matemáticas , la unión disjunta (también llamada suma directa , unión libre , suma libre , suma topológica o coproducto ) de una familia de espacios topológicos es un espacio formado equipando la unión disjunta de los conjuntos subyacentes con una topología natural llamada topología de unión disjunta . En términos generales, en la unión disjunta los espacios dados se consideran parte de un único espacio nuevo donde cada uno parece como si estuviera solo y están aislados unos de otros.
El nombre coproducto proviene del hecho de que la unión disjunta es el dual categórico de la construcción del espacio del producto .
Sea { X i : i ∈ I } una familia de espacios topológicos indexados por I . Dejar
ser la unión disjunta de los conjuntos subyacentes. Para cada i en I , sea
ser la inyección canónica (definida por ). La topología de unión disjunta en X se define como la topología más fina en X para la cual todas las inyecciones canónicas son continuas (es decir: es la topología final en X inducida por las inyecciones canónicas).
Explícitamente, la topología de unión disjunta se puede describir de la siguiente manera. Un subconjunto U de X está abierto en X si y sólo si su preimagen está abierta en X i para cada i ∈ I . Otra formulación más es que un subconjunto V de X es abierto con respecto a X si su intersección con X i es abierta con respecto a X i para cada i .
El espacio de unión disjunto X , junto con las inyecciones canónicas, se puede caracterizar por la siguiente propiedad universal : Si Y es un espacio topológico, y f i : X i → Y es un mapa continuo para cada i ∈ I , entonces existe precisamente un mapa continuo f : X → Y tal que el siguiente conjunto de diagramas conmutan :
Esto muestra que la unión disjunta es el coproducto en la categoría de espacios topológicos . De la propiedad universal anterior se deduce que un mapa f : X → Y es continuo si y solo si f i = f o φ i es continuo para todo i en I .
Además de ser continuas, las inyecciones canónicas φ i : X i → X son aplicaciones abiertas y cerradas . De ello se deduce que las inyecciones son incrustaciones topológicas , de modo que cada Xi puede considerarse canónicamente como un subespacio de X.
Si cada X i es homeomorfo a un espacio fijo A , entonces la unión disjunta X es homeomorfa al espacio producto A × I donde I tiene la topología discreta .
