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Topología coherente

En topología , una topología coherente es una topología que está determinada únicamente por una familia de subespacios . En términos generales, un espacio topológico es coherente con una familia de subespacios si es una unión topológica de esos subespacios. A veces también se la denomina topología débil generada por la familia de subespacios, una noción que es bastante diferente de la noción de una topología débil generada por un conjunto de funciones. [1]

Definición

Sea un espacio topológico y sea una familia de subconjuntos de cada uno con su topología de subespacio inducida. (Normalmente será una cubierta de ). Entonces se dice que es coherente con (o está determinado por ) [2] si la topología de se recupera como la que proviene de la topología final coinducida por los mapas de inclusión. Por definición, esta es la topología más fina en (el conjunto subyacente de) para el cual los mapas de inclusión son continuos . es coherente con si se cumple cualquiera de las dos condiciones equivalentes siguientes:

Dado un espacio topológico y cualquier familia de subespacios, existe una topología única en (el conjunto subyacente de) que es coherente con Esta topología será, en general, más fina que la topología dada en

Ejemplos

Unión topológica

Sea una familia de espacios topológicos (no necesariamente disjuntos ) tales que las topologías inducidas concuerdan en cada intersección. Supongamos además que es cerrado en para cada Entonces la unión topológica es la unión de teoría de conjuntos dotada con la topología final coinducida por los mapas de inclusión . Los mapas de inclusión serán entonces incrustaciones topológicas y serán coherentes con los subespacios.

Por el contrario, si es un espacio topológico y es coherente con una familia de subespacios que lo cubren entonces es homeomorfo a la unión topológica de la familia.

Se puede formar la unión topológica de una familia arbitraria de espacios topológicos como se indicó anteriormente, pero si las topologías no concuerdan en las intersecciones, entonces las inclusiones no necesariamente serán incrustaciones.

También se puede describir la unión topológica mediante la unión disjunta . En concreto, si es una unión topológica de la familia entonces es homeomorfa al cociente de la unión disjunta de la familia por la relación de equivalencia para todo ; es decir,

Si los espacios son todos disjuntos entonces la unión topológica es simplemente la unión disjunta.

Supongamos ahora que el conjunto A está dirigido , de una manera compatible con la inclusión: siempre que . Entonces hay una función única de a que es de hecho un homeomorfismo. Aquí está el límite directo (inductivo) ( colímite ) de en la categoría Top .

Propiedades

Sea coherente con una familia de subespacios Una función de un espacio topológico es continua si y solo si las restricciones son continuas para cada Esta propiedad universal caracteriza a las topologías coherentes en el sentido de que un espacio es coherente con si y solo si esta propiedad se cumple para todos los espacios y todas las funciones.

Sea determinado por una cubierta Entonces

Sea una función sobreyectiva y supongamos que está determinada por Para cada sea la restricción de a Entonces

Dado un espacio topológico y una familia de subespacios existe una topología única en que es coherente con La topología es más fina que la topología original y estrictamente más fina si no era coherente con Pero las topologías y inducen la misma topología de subespacio en cada uno de los en la familia Y la topología siempre es coherente con

Como ejemplo de esta última construcción, si es la colección de todos los subespacios compactos de un espacio topológico la topología resultante define la k-ificación de los espacios y tienen los mismos conjuntos compactos, con las mismas topologías de subespacios inducidas sobre ellos. Y la k-ificación se genera de forma compacta.

Véase también

Notas

  1. ^ Willard, pág. 69
  2. ^ también se dice que tiene la topología débil generada por Este es un nombre potencialmente confuso ya que los adjetivos débil y fuerte se utilizan con significados opuestos por diferentes autores. En el uso moderno, el término topología débil es sinónimo de topología inicial y topología fuerte es sinónimo de topología final . Es la topología final la que se está discutiendo aquí.

Referencias