El juego de suma cero es una representación matemática en la teoría de juegos y la teoría económica de una situación que involucra dos entidades competidoras, donde el resultado es una ventaja para un lado y una pérdida equivalente para el otro. [1] En otras palabras, la ganancia del jugador uno es equivalente a la pérdida del jugador dos, con el resultado de que la mejora neta en el beneficio del juego es cero. [2]
Si se suman las ganancias totales de los participantes y se restan las pérdidas totales, suman cero. Por lo tanto, cortar un pastel , donde tomar una porción más significativa reduce la cantidad de pastel disponible para otros tanto como aumenta la cantidad disponible para ese tomador, es un juego de suma cero si todos los participantes valoran cada unidad de pastel por igual . Otros ejemplos de juegos de suma cero en la vida diaria incluyen juegos como el póquer , el ajedrez y el bridge , donde una persona gana y otra pierde, lo que resulta en un beneficio neto cero para cada jugador. [3] En los mercados y en los instrumentos financieros, los contratos de futuros y las opciones también son juegos de suma cero. [4]
Por el contrario, la suma distinta de cero describe una situación en la que las ganancias y pérdidas agregadas de las partes que interactúan pueden ser menores o mayores que cero. Un juego de suma cero también se denomina juego estrictamente competitivo , mientras que los juegos de suma distinta de cero pueden ser competitivos o no competitivos. Los juegos de suma cero se resuelven con mayor frecuencia con el teorema minimax , que está estrechamente relacionado con la dualidad de la programación lineal , [5] o con el equilibrio de Nash . El dilema del prisionero es un clásico juego de suma distinta de cero. [6]
La propiedad de suma cero (si uno gana, otro pierde) significa que cualquier resultado de una situación de suma cero es óptimo de Pareto . Generalmente, cualquier juego en el que todas las estrategias sean óptimas de Pareto se denomina juego de conflicto. [7] [8]
Los juegos de suma cero son un ejemplo específico de juegos de suma constante donde la suma de cada resultado es siempre cero. [9] Estos juegos son distributivos, no integradores; el pastel no puede ampliarse mediante una buena negociación.
En una situación en la que la ganancia (o pérdida) de uno de los tomadores de decisiones no necesariamente resulta en la pérdida (o ganancia) de los otros tomadores de decisiones, se las conoce como suma distinta de cero. [10] Por lo tanto, un país con un exceso de plátanos que comercia con otro país por su exceso de manzanas, donde ambos se benefician de la transacción, se encuentra en una situación de suma distinta de cero. Otros juegos de suma distinta de cero son juegos en los que la suma de las ganancias y pérdidas de los jugadores a veces es mayor o menor que su valor inicial.
La idea del pago óptimo de Pareto en un juego de suma cero da lugar a un estándar de racionalidad relativamente egoísta generalizado, el estándar de castigar al oponente, donde ambos jugadores siempre buscan minimizar el pago del oponente a un costo favorable para ellos mismos en lugar de preferir más. sobre menos. El estándar de castigar al oponente se puede utilizar tanto en juegos de suma cero (por ejemplo, juegos de guerra, ajedrez) como en juegos de suma distinta de cero (por ejemplo, juegos de selección de grupos). [11] El jugador en el juego tiene un deseo bastante simple de maximizar el beneficio para él, y el oponente desea minimizarlo. [12]
Para juegos finitos de suma cero de dos jugadores, los diferentes conceptos de solución de la teoría de juegos de equilibrio de Nash , minimax y maximin dan todos la misma solución. Si a los jugadores se les permite jugar una estrategia mixta , el juego siempre tiene un equilibrio.
La matriz de pagos de un juego es una representación conveniente. Considere estas situaciones como ejemplo, el juego de suma cero para dos jugadores que se muestra a la derecha o arriba.
El orden de juego es el siguiente: El primer jugador (rojo) elige en secreto una de las dos acciones 1 o 2; el segundo jugador (azul), sin darse cuenta de la elección del primer jugador, elige en secreto una de las tres acciones A, B o C. Luego, las elecciones se revelan y el total de puntos de cada jugador se ve afectado de acuerdo con la recompensa de esas elecciones.
Ejemplo: Rojo elige la acción 2 y Azul elige la acción B. Cuando se asigna el pago, Rojo gana 20 puntos y Azul pierde 20 puntos.
En este juego de ejemplo, ambos jugadores conocen la matriz de pagos e intentan maximizar la cantidad de puntos. Red podría razonar de la siguiente manera: "Con la acción 2, puedo perder hasta 20 puntos y ganar sólo 20, y con la acción 1 puedo perder sólo 10 pero puedo ganar hasta 30, por lo que la acción 1 se ve mucho mejor". Con un razonamiento similar, Azul elegiría la acción C. Si ambos jugadores realizan estas acciones, Rojo ganará 20 puntos. Si Azul anticipa el razonamiento de Rojo y la elección de la acción 1, Azul puede elegir la acción B, para ganar 10 puntos. Si Red, a su vez, anticipa este truco y realiza la acción 2, Red gana 20 puntos.
Émile Borel y John von Neumann tuvieron la idea fundamental de que la probabilidad proporciona una salida a este enigma. En lugar de decidir una acción concreta a realizar, los dos jugadores asignan probabilidades a sus respectivas acciones y luego utilizan un dispositivo aleatorio que, de acuerdo con estas probabilidades, elige una acción para ellos. Cada jugador calcula las probabilidades para minimizar la máxima pérdida de puntos esperada independientemente de la estrategia del oponente. Esto lleva a un problema de programación lineal con las estrategias óptimas para cada jugador. Este método minimax puede calcular estrategias probablemente óptimas para todos los juegos de suma cero de dos jugadores.
Para el ejemplo anterior, resulta que Rojo debería elegir la acción 1 con probabilidad4/7y acción 2 con probabilidad3/7, y Azul debería asignar las probabilidades 0,4/7, y3/7a las tres acciones A, B y C. El rojo ganará20/7puntos de media por partido.
El equilibrio de Nash para un juego de suma cero entre dos jugadores se puede encontrar resolviendo un problema de programación lineal . Supongamos que un juego de suma cero tiene una matriz de pagos M donde el elemento Mi , j es el pago obtenido cuando el jugador que minimiza elige la estrategia pura i y el jugador que maximiza elige la estrategia pura j (es decir , el jugador que intenta minimizar el pago elige la fila y el jugador que intenta maximizar el pago elige la columna). Suponga que cada elemento de M es positivo. El juego tendrá al menos un equilibrio de Nash. El equilibrio de Nash se puede encontrar (Raghavan 1994, p. 740) resolviendo el siguiente programa lineal para encontrar un vector u :
Sujeto a las restricciones:
La primera restricción dice que cada elemento del vector u debe ser no negativo, y la segunda restricción dice que cada elemento del vector M u debe ser al menos 1. Para el vector u resultante , la inversa de la suma de sus elementos es el valor de el juego. Multiplicar u por ese valor da un vector de probabilidad, que da la probabilidad de que el jugador maximizador elija cada estrategia pura posible.
Si la matriz del juego no tiene todos los elementos positivos, agrega una constante a cada elemento que sea lo suficientemente grande como para que todos sean positivos. Eso aumentará el valor del juego en esa constante y no afectará las estrategias mixtas de equilibrio para el equilibrio.
La estrategia mixta de equilibrio para el jugador minimizador se puede encontrar resolviendo el dual del programa lineal dado. Alternativamente, se puede encontrar usando el procedimiento anterior para resolver una matriz de pagos modificada que es la transpuesta y la negación de M (agregando una constante para que sea positiva) y luego resolviendo el juego resultante.
Si se encuentran todas las soluciones del programa lineal, constituirán todos los equilibrios de Nash del juego. Por el contrario, cualquier programa lineal se puede convertir en un juego de suma cero para dos jugadores mediante el uso de un cambio de variables que lo pone en la forma de las ecuaciones anteriores y, por lo tanto, dichos juegos son equivalentes a programas lineales, en general. [13]
Si evitar un juego de suma cero es una opción de acción con cierta probabilidad para los jugadores, evitarlo es siempre una estrategia de equilibrio para al menos un jugador en un juego de suma cero. Para cualquier juego de suma cero para dos jugadores en el que un empate cero-cero es imposible o no creíble una vez iniciado el juego, como el póquer, no existe otra estrategia de equilibrio de Nash que evitar el juego. Incluso si hay un empate cero-cero creíble después de que se inicia un juego de suma cero, no es mejor que la estrategia de evasión. En este sentido, es interesante encontrar que la recompensa sobre la marcha en el cálculo de la elección óptima prevalecerá sobre los juegos de suma cero de dos jugadores en cuanto a iniciar o no el juego. [14]
El ejemplo más común o sencillo del subcampo de la psicología social es el concepto de " trampas sociales ". En algunos casos, perseguir el interés personal individual puede mejorar el bienestar colectivo del grupo, pero en otras situaciones, todas las partes que persiguen el interés personal dan como resultado un comportamiento mutuamente destructivo.
La revisión de Copeland señala que un juego de suma cero de n jugadores se puede convertir en un juego de suma cero de (n+1) jugadores, donde el n+1er jugador, denominado jugador ficticio , recibe el negativo de la suma de las ganancias de los otros n jugadores (la ganancia/pérdida global). [15]
Está claro que existen múltiples relaciones entre los jugadores en un juego de suma cero entre tres personas; en un juego de suma cero entre dos personas, todo lo que gana un jugador necesariamente lo pierde el otro y viceversa; por tanto, siempre hay un antagonismo absoluto de intereses, y eso es similar en el juego de tres personas. [16] Se asumiría que un movimiento particular de un jugador en un juego de suma cero entre tres personas es claramente beneficioso para él y puede perjudicar a los demás jugadores, o beneficiar a uno y perjudicar al otro oponente. [16] En particular, el paralelismo de intereses entre dos actores hace que la cooperación sea deseable; puede suceder que un jugador pueda elegir entre varias políticas: entrar en un paralelismo con otro jugador ajustando su conducta, o lo contrario; que puede elegir con cuál de los otros dos jugadores prefiere construir tal paralelismo y en qué medida. [16] La imagen de la izquierda muestra un ejemplo típico de un juego de suma cero entre tres personas. Si el jugador 1 elige defender, pero los jugadores 2 y 3 eligen atacar, ambos ganarán un punto. Al mismo tiempo, el jugador 1 perderá dos puntos porque otros jugadores le quitan puntos, y es evidente que los jugadores 2 y 3 tienen paralelismo de intereses.
Los estudios muestran que la entrada de aerolíneas de bajo costo en el mercado de Hong Kong generó 671 millones de dólares en ingresos y resultó en una salida de 294 millones de dólares.
Por lo tanto, se debe considerar el efecto de reemplazo al introducir un nuevo modelo, lo que conducirá a fugas e inyección económicas. Por tanto, la introducción de nuevos modelos requiere precaución. Por ejemplo, si el número de nuevas aerolíneas que salen y llegan al aeropuerto es el mismo, la contribución económica a la ciudad anfitriona puede ser un juego de suma cero. Porque para Hong Kong, el consumo de los turistas extranjeros en Hong Kong es un ingreso, mientras que el consumo de los residentes de Hong Kong en las ciudades opuestas es una salida. Además, la introducción de nuevas aerolíneas también puede tener un impacto negativo en las aerolíneas existentes.
En consecuencia, cuando se introduce un nuevo modelo de aviación, es necesario realizar pruebas de viabilidad en todos los aspectos, teniendo en cuenta los efectos de entrada, salida y desplazamiento económicos causados por el modelo.
La negociación de derivados puede considerarse un juego de suma cero, ya que cada dólar ganado por una parte en una transacción debe ser perdido por la otra, lo que produce una transferencia neta de riqueza de cero. [18]
Un contrato de opciones (por el cual un comprador compra un contrato de derivados que le otorga el derecho de comprar un activo subyacente a un vendedor a un precio de ejercicio específico antes de una fecha de vencimiento específica) es un ejemplo de juego de suma cero. Un contrato de futuros (en el que un comprador compra un contrato de derivados para comprar un activo subyacente al vendedor por un precio específico en una fecha específica) también es un ejemplo de juego de suma cero. [19] Esto se debe a que el principio fundamental de estos contratos es que son acuerdos entre dos partes, y cualquier ganancia obtenida por una de las partes debe ir acompañada de una pérdida sufrida por la otra.
Si el precio del activo subyacente aumenta antes de la fecha de vencimiento, el comprador puede ejercer/cerrar el contrato de opciones/futuros. La ganancia del comprador y la correspondiente pérdida del vendedor será la diferencia entre el precio de ejercicio y el valor del activo subyacente en ese momento. Por tanto, la transferencia neta de riqueza es cero.
Los swaps , que implican el intercambio de flujos de efectivo de dos instrumentos financieros diferentes, también se consideran un juego de suma cero. [20] Consideremos un swap de tipos de interés estándar mediante el cual la empresa A paga un tipo fijo y recibe un tipo flotante; en consecuencia, la empresa B paga un tipo flotante y recibe un tipo fijo. Si las tasas aumentan, entonces la empresa A ganará y la empresa B perderá por el diferencial de tasas (tasa flotante – tasa fija). Si las tasas disminuyen, entonces la empresa A perderá y la empresa B ganará por el diferencial de tasas (tasa fija – tasa flotante).
Si bien el comercio de derivados puede considerarse un juego de suma cero, es importante recordar que esto no es una verdad absoluta. Los mercados financieros son complejos y multifacéticos, con una variedad de participantes que participan en una variedad de actividades. Si bien algunas transacciones pueden resultar en una simple transferencia de riqueza de una parte a otra, el mercado en su conjunto no es puramente competitivo y muchas transacciones cumplen importantes funciones económicas.
El mercado de valores es un excelente ejemplo de juego de suma positiva, a menudo etiquetado erróneamente como juego de suma cero. Se trata de una falacia de suma cero: la percepción de que un operador en el mercado de valores sólo puede aumentar el valor de sus tenencias si otro operador las reduce. [21]
El objetivo principal del mercado de valores es hacer coincidir a compradores y vendedores, pero el precio predominante es el que equilibra la oferta y la demanda. Los precios de las acciones generalmente se mueven de acuerdo con cambios en las expectativas futuras, como anuncios de adquisiciones, sorpresas al alza en las ganancias o mejores orientaciones. [22]
Por ejemplo, si la empresa C anuncia un acuerdo para adquirir la empresa D y los inversores creen que la adquisición generará sinergias y, por tanto, una mayor rentabilidad para la empresa C, habrá una mayor demanda de acciones de la empresa C. En este escenario, todos los tenedores existentes de acciones de la Compañía C disfrutarán de ganancias sin incurrir en pérdidas mensurables correspondientes para otros jugadores.
Además, a largo plazo, el mercado de valores es un juego de suma positiva. A medida que se produce el crecimiento económico, la demanda aumenta, la producción aumenta, las empresas crecen y las valoraciones de las empresas aumentan, lo que lleva a la creación de valor y la adición de riqueza en el mercado.
Robert Wright ha teorizado en su libro Nonzero: The Logic of Human Destiny que la sociedad se vuelve cada vez más distinta de cero a medida que se vuelve más compleja, especializada e interdependiente.
En 1944, John von Neumann y Oskar Morgenstern demostraron que cualquier juego de suma distinta de cero para n jugadores es equivalente a un juego de suma cero con n + 1 jugadores; el ( n + 1)ésimo jugador que representa la ganancia o pérdida global. [23]
Los críticos de la teoría de juegos comúnmente malinterpretan los juegos de suma cero y particularmente sus soluciones , generalmente con respecto a la independencia y racionalidad de los jugadores, así como a la interpretación de las funciones de utilidad [ se necesita más explicación ] . Además, la palabra "juego" no implica que el modelo sea válido únicamente para juegos recreativos . [5]
A la política a veces se le llama suma cero [24] [25] [26] porque en el uso común la idea de un punto muerto se percibe como "suma cero"; Sin embargo, la política y la macroeconomía no son juegos de suma cero porque no constituyen sistemas conservados . [ cita necesaria ]
En psicología, el pensamiento de suma cero se refiere a la percepción de que una situación determinada es como un juego de suma cero, donde la ganancia de una persona es igual a la pérdida de otra.
