La suma de Ramanujan

Función en la teoría de números dada por Srinivasa Ramanujan

En teoría de números , la suma de Ramanujan , usualmente denotada c _q ( n ), es una función de dos variables enteras positivas q y n definidas por la fórmula

${\displaystyle c_{q}(n)=\sum _{1\leq a\leq q \atop (a,q)=1}e^{2\pi i{\tfrac {a}{q}}n},}$

donde ( a , q ) = 1 significa que a sólo toma valores coprimos con q .

Srinivasa Ramanujan mencionó las sumas en un artículo de 1918. ^[1] Además de las expansiones analizadas en este artículo, las sumas de Ramanujan se utilizan en la prueba del teorema de Vinogradov de que todo número impar suficientemente grande es la suma de tres primos . ^[2]

Notación

Para los números enteros a y b , se lee " a divide a b " y significa que existe un número entero c tal que De manera similar, se lee " a no divide a b ". El símbolo de suma ${\displaystyle a\mid b}$ ${\displaystyle {\frac {b}{a}}=c.}$ ${\displaystyle a\nmid b}$

${\displaystyle \sum _{d\,\mid \,m}f(d)}$

significa que d pasa por todos los divisores positivos de m , por ejemplo

${\displaystyle \sum _{d\,\mid \,12}f(d)=f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(6)+f(12).}$

${\displaystyle (a,\,b)}$es el máximo común divisor ,

${\displaystyle \phi (n)}$es la función totiente de Euler ,

${\displaystyle \mu (n)}$es la función de Möbius , y

${\displaystyle \zeta (s)}$es la función zeta de Riemann .

Fórmulas paradoq(norte)

Trigonometría

Estas fórmulas provienen de la definición, la fórmula de Euler y las identidades trigonométricas elementales. ${\displaystyle e^{ix}=\cos x+i\sin x,}$

${\displaystyle {\begin{aligned}c_{1}(n)&=1\\c_{2}(n)&=\cos n\pi \\c_{3}(n)&=2\cos {\tfrac {2}{3}}n\pi \\c_{4}(n)&=2\cos {\tfrac {1}{2}}n\pi \\c_{5}(n)&=2\cos {\tfrac {2}{5}}n\pi +2\cos {\tfrac {4}{5}}n\pi \\c_{6}(n)&=2\cos {\tfrac {1}{3}}n\pi \\c_{7}(n)&=2\cos {\tfrac {2}{7}}n\pi +2\cos {\tfrac {4}{7}}n\pi +2\cos {\tfrac {6}{7}}n\pi \\c_{8}(n)&=2\cos {\tfrac {1}{4}}n\pi +2\cos {\tfrac {3}{4}}n\pi \\c_{9}(n)&=2\cos {\tfrac {2}{9}}n\pi +2\cos {\tfrac {4}{9}}n\pi +2\cos {\tfrac {8}{9}}n\pi \\c_{10}(n)&=2\cos {\tfrac {1}{5}}n\pi +2\cos {\tfrac {3}{5}}n\pi \\\end{aligned}}}$

y así sucesivamente ( OEIS : A000012 , OEIS : A033999 , OEIS : A099837 , OEIS : A176742 ,..., OEIS : A100051 ,...). c _q ( n ) siempre es un entero.

Kluyver

Sea entonces ζ _q una raíz de la ecuación x ^q − 1 = 0 . Cada una de sus potencias, ${\displaystyle \zeta _{q}=e^{\frac {2\pi i}{q}}.}$

${\displaystyle \zeta _{q},\zeta _{q}^{2},\ldots ,\zeta _{q}^{q-1},\zeta _{q}^{q}=\zeta _{q}^{0}=1}$

es también una raíz. Por lo tanto, como hay q de ellos, todos son raíces. Los números donde 1 ≤ n ≤ q se llaman raíces q - ésimas de la unidad . ζ _q se llama raíz q -ésima primitiva de la unidad porque el valor más pequeño de n que hace es q . Las otras raíces q -ésimas primitivas de la unidad son los números donde ( a , q ) = 1. Por lo tanto, hay φ( q ) raíces q -ésimas primitivas de la unidad. ${\displaystyle \zeta _{q}^{n}}$ ${\displaystyle \zeta _{q}^{n}=1}$ ${\displaystyle \zeta _{q}^{a}}$

Por lo tanto, la suma de Ramanujan c _q ( n ) es la suma de las n -ésimas potencias de las q -ésimas raíces primitivas de la unidad.

Es un hecho ^[3] que las potencias de ζ _q son precisamente las raíces primitivas de todos los divisores de q .

Ejemplo. Sea q = 12. Entonces

${\displaystyle \zeta _{12},\zeta _{12}^{5},\zeta _{12}^{7},}$y son las duodécimas raíces primitivas de la unidad, ${\displaystyle \zeta _{12}^{11}}$

${\displaystyle \zeta _{12}^{2}}$y son las sextas raíces primitivas de la unidad, ${\displaystyle \zeta _{12}^{10}}$

${\displaystyle \zeta _{12}^{3}=i}$y son las cuartas raíces primitivas de la unidad, ${\displaystyle \zeta _{12}^{9}=-i}$

${\displaystyle \zeta _{12}^{4}}$y son las raíces primitivas terceras de la unidad, ${\displaystyle \zeta _{12}^{8}}$

${\displaystyle \zeta _{12}^{6}=-1}$es la segunda raíz primitiva de la unidad, y

${\displaystyle \zeta _{12}^{12}=1}$es la raíz primitiva primera de la unidad.

Por lo tanto, si

${\displaystyle \eta _{q}(n)=\sum _{k=1}^{q}\zeta _{q}^{kn}}$

es la suma de las n -ésimas potencias de todas las raíces, primitivas e imprimitivas,

${\displaystyle \eta _{q}(n)=\sum _{d\mid q}c_{d}(n),}$

y por inversión de Möbius ,

${\displaystyle c_{q}(n)=\sum _{d\mid q}\mu \left({\frac {q}{d}}\right)\eta _{d}(n).}$

De la identidad x ^q − 1 = ( x − 1)( x ^{q −1} + x ^{q −2} + ... + x + 1) se deduce que

${\displaystyle \eta _{q}(n)={\begin{cases}0&q\nmid n\\q&q\mid n\\\end{cases}}}$

y esto nos lleva a la fórmula

${\displaystyle c_{q}(n)=\sum _{d\mid (q,n)}\mu \left({\frac {q}{d}}\right)d,}$

publicado por Kluyver en 1906. ^[4]

Esto demuestra que c _q ( n ) siempre es un entero. Compárelo con la fórmula

${\displaystyle \phi (q)=\sum _{d\mid q}\mu \left({\frac {q}{d}}\right)d.}$

de Sterneck

Se demuestra fácilmente a partir de la definición que c _q ( n ) es multiplicativa cuando se considera como una función de q para un valor fijo de n : ^[5] es decir

${\displaystyle {\mbox{If }}\;(q,r)=1\;{\mbox{ then }}\;c_{q}(n)c_{r}(n)=c_{qr}(n).}$

A partir de la definición (o fórmula de Kluyver) es sencillo demostrar que, si p es un número primo,

${\displaystyle c_{p}(n)={\begin{cases}-1&{\mbox{ if }}p\nmid n\\\phi (p)&{\mbox{ if }}p\mid n\\\end{cases}},}$

y si p ^k es una potencia prima donde k > 1,

${\displaystyle c_{p^{k}}(n)={\begin{cases}0&{\mbox{ if }}p^{k-1}\nmid n\\-p^{k-1}&{\mbox{ if }}p^{k-1}\mid n{\mbox{ and }}p^{k}\nmid n\\\phi (p^{k})&{\mbox{ if }}p^{k}\mid n\\\end{cases}}.}$

Este resultado y la propiedad multiplicativa se pueden utilizar para demostrar

${\displaystyle c_{q}(n)=\mu \left({\frac {q}{(q,n)}}\right){\frac {\phi (q)}{\phi \left({\frac {q}{(q,n)}}\right)}}.}$

Esta se llama función aritmética de von Sterneck. ^[6] La equivalencia de esta y la suma de Ramanujan se debe a Hölder. ^{[7] [8]}

Otras propiedades dedoq(norte)

Para todos los números enteros positivos q ,

${\displaystyle {\begin{aligned}c_{1}(q)&=1\\c_{q}(1)&=\mu (q)\\c_{q}(q)&=\phi (q)\\c_{q}(m)&=c_{q}(n)&&{\text{for }}m\equiv n{\pmod {q}}\\\end{aligned}}}$

Para un valor fijo de q, el valor absoluto de la secuencia está acotado por φ( q ), y para un valor fijo de n, el valor absoluto de la secuencia está acotado por n . ${\displaystyle \{c_{q}(1),c_{q}(2),\ldots \}}$ ${\displaystyle \{c_{1}(n),c_{2}(n),\ldots \}}$

Si q > 1

${\displaystyle \sum _{n=a}^{a+q-1}c_{q}(n)=0.}$

Sea m ₁ , m ₂ > 0, m = mcm( m ₁ , m ₂ ). Entonces ^[9] las sumas de Ramanujan satisfacen una propiedad de ortogonalidad :

${\displaystyle {\frac {1}{m}}\sum _{k=1}^{m}c_{m_{1}}(k)c_{m_{2}}(k)={\begin{cases}\phi (m)&m_{1}=m_{2}=m,\\0&{\text{otherwise}}\end{cases}}}$

Sea n , k > 0. Entonces ^[10]

${\displaystyle \sum _{\stackrel {d\mid n}{\gcd(d,k)=1}}d\;{\frac {\mu ({\tfrac {n}{d}})}{\phi (d)}}={\frac {\mu (n)c_{n}(k)}{\phi (n)}},}$

conocida como la identidad Brauer - Rademacher .

Si n > 0 y a es cualquier número entero, también tenemos ^[11]

${\displaystyle \sum _{\stackrel {1\leq k\leq n}{\gcd(k,n)=1}}c_{n}(k-a)=\mu (n)c_{n}(a),}$

debido a Cohen.

Mesa

Expansiones de Ramanujan

Si f ( n ) es una función aritmética (es decir, una función de valor complejo de los números enteros o naturales), entonces una serie infinita convergente de la forma:

${\displaystyle f(n)=\sum _{q=1}^{\infty }a_{q}c_{q}(n)}$

o de la forma:

${\displaystyle f(q)=\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}c_{q}(n)}$

donde a _k ∈ C , se llama una expansión de Ramanujan ^[12] de f ( n ).

Ramanujan encontró desarrollos de algunas de las funciones más conocidas de la teoría de números. Todos estos resultados se demostraron de manera "elemental" (es decir, utilizando únicamente manipulaciones formales de series y los resultados más simples sobre convergencia). ^{[13] [14] [15]}

La expansión de la función cero depende de un resultado de la teoría analítica de los números primos, a saber, que la serie

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\mu (n)}{n}}}$

converge a 0, y los resultados para r ( n ) y r ′( n ) dependen de teoremas de un artículo anterior. ^[16]

Todas las fórmulas de esta sección proceden del artículo de Ramanujan de 1918.

Funciones generadoras

Las funciones generadoras de las sumas de Ramanujan son series de Dirichlet :

${\displaystyle \zeta (s)\sum _{\delta \,\mid \,q}\mu \left({\frac {q}{\delta }}\right)\delta ^{1-s}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {c_{q}(n)}{n^{s}}}}$

es una función generadora para la secuencia c _q (1), c _q (2), ... donde q se mantiene constante, y

${\displaystyle {\frac {\sigma _{r-1}(n)}{n^{r-1}\zeta (r)}}=\sum _{q=1}^{\infty }{\frac {c_{q}(n)}{q^{r}}}}$

es una función generadora para la secuencia c ₁ ( n ), c _​​2 ( n ), ... donde n se mantiene constante.

También existe la doble serie de Dirichlet.

${\displaystyle {\frac {\zeta (s)\zeta (r+s-1)}{\zeta (r)}}=\sum _{q=1}^{\infty }\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {c_{q}(n)}{q^{r}n^{s}}}.}$

El polinomio con sumas de Ramanujan como coeficientes se puede expresar con un polinomio ciclotómico ^[17]

${\displaystyle \sum _{n=1}^{q}c_{q}(n)x^{n-1}=(x^{q}-1){\frac {\Phi _{q}'(x)}{\Phi _{q}(x)}}=\Phi _{q}'(x)\prod _{\begin{array}{c}d\mid q\\[-4pt]d\neq q\end{array}}\Phi _{d}(x)}$.

σa(norte)

σ _k ( n ) es la función divisor (es decir, la suma de las k -ésimas potencias de los divisores de n , incluidos 1 y n ). σ ₀ ( n ), el número de divisores de n , se escribe habitualmente d ( n ) y σ ₁ ( n ), la suma de los divisores de n , se escribe habitualmente σ( n ).

Si s > 0,

${\displaystyle {\begin{aligned}\sigma _{s}(n)&=n^{s}\zeta (s+1)\left({\frac {c_{1}(n)}{1^{s+1}}}+{\frac {c_{2}(n)}{2^{s+1}}}+{\frac {c_{3}(n)}{3^{s+1}}}+\cdots \right)\\\sigma _{-s}(n)&=\zeta (s+1)\left({\frac {c_{1}(n)}{1^{s+1}}}+{\frac {c_{2}(n)}{2^{s+1}}}+{\frac {c_{3}(n)}{3^{s+1}}}+\cdots \right)\end{aligned}}}$

El ajuste s = 1 da

${\displaystyle \sigma (n)={\frac {\pi ^{2}}{6}}n\left({\frac {c_{1}(n)}{1}}+{\frac {c_{2}(n)}{4}}+{\frac {c_{3}(n)}{9}}+\cdots \right).}$

Si la hipótesis de Riemann es verdadera, y ${\displaystyle -{\tfrac {1}{2}}<s<{\tfrac {1}{2}},}$

${\displaystyle \sigma _{s}(n)=\zeta (1-s)\left({\frac {c_{1}(n)}{1^{1-s}}}+{\frac {c_{2}(n)}{2^{1-s}}}+{\frac {c_{3}(n)}{3^{1-s}}}+\cdots \right)=n^{s}\zeta (1+s)\left({\frac {c_{1}(n)}{1^{1+s}}}+{\frac {c_{2}(n)}{2^{1+s}}}+{\frac {c_{3}(n)}{3^{1+s}}}+\cdots \right).}$

d(norte)

d ( n ) = σ ₀ ( n ) es el número de divisores de n , incluyendo 1 y n mismo.

${\displaystyle {\begin{aligned}-d(n)&={\frac {\log 1}{1}}c_{1}(n)+{\frac {\log 2}{2}}c_{2}(n)+{\frac {\log 3}{3}}c_{3}(n)+\cdots \\-d(n)(2\gamma +\log n)&={\frac {\log ^{2}1}{1}}c_{1}(n)+{\frac {\log ^{2}2}{2}}c_{2}(n)+{\frac {\log ^{2}3}{3}}c_{3}(n)+\cdots \end{aligned}}}$

donde γ = 0,5772... es la constante de Euler-Mascheroni .

φ(norte)

La función totiente de Euler φ( n ) es el número de números enteros positivos menores que n y coprimos con n . Ramanujan define una generalización de la misma, si

${\displaystyle n=p_{1}^{a_{1}}p_{2}^{a_{2}}p_{3}^{a_{3}}\cdots }$

es la factorización prima de n , y s es un número complejo, sea

${\displaystyle \varphi _{s}(n)=n^{s}(1-p_{1}^{-s})(1-p_{2}^{-s})(1-p_{3}^{-s})\cdots ,}$

de modo que φ ₁ ( n ) = φ ( n ) es la función de Euler. ^[18]

Él demuestra que

${\displaystyle {\frac {\mu (n)n^{s}}{\varphi _{s}(n)\zeta (s)}}=\sum _{\nu =1}^{\infty }{\frac {\mu (n\nu )}{\nu ^{s}}}}$

y usa esto para demostrar que

${\displaystyle {\frac {\varphi _{s}(n)\zeta (s+1)}{n^{s}}}={\frac {\mu (1)c_{1}(n)}{\varphi _{s+1}(1)}}+{\frac {\mu (2)c_{2}(n)}{\varphi _{s+1}(2)}}+{\frac {\mu (3)c_{3}(n)}{\varphi _{s+1}(3)}}+\cdots .}$

Dejando s = 1,

${\displaystyle \varphi (n)={\frac {6}{\pi ^{2}}}n\left(c_{1}(n)-{\frac {c_{2}(n)}{2^{2}-1}}-{\frac {c_{3}(n)}{3^{2}-1}}-{\frac {c_{5}(n)}{5^{2}-1}}+{\frac {c_{6}(n)}{(2^{2}-1)(3^{2}-1)}}-{\frac {c_{7}(n)}{7^{2}-1}}+{\frac {c_{10}(n)}{(2^{2}-1)(5^{2}-1)}}-\cdots \right).}$

Nótese que la constante es la inversa ^[19] de la de la fórmula para σ( n ).

La(norte)

La función de von Mangoldt Λ( n ) = 0 a menos que n = p ^k sea una potencia de un número primo, en cuyo caso es el logaritmo natural log p .

${\displaystyle -\Lambda (m)=c_{m}(1)+{\frac {1}{2}}c_{m}(2)+{\frac {1}{3}}c_{m}(3)+\cdots }$

Cero

Para todo n > 0,

${\displaystyle 0=c_{1}(n)+{\frac {1}{2}}c_{2}(n)+{\frac {1}{3}}c_{3}(n)+\cdots .}$

Esto es equivalente al teorema de los números primos . ^{[20] [21]}

a2 segundos(norte) (sumas de cuadrados)

r _{2 s} ( n ) es el número de formas de representar n como la suma de 2 s cuadrados , contando diferentes órdenes y signos como diferentes (por ejemplo, r ₂ (13) = 8, ya que 13 = (±2) ² + (±3) ² = (±3) ² + (±2) ² .)

Ramanujan define una función δ _{2 s} ( n ) y hace referencia a un artículo ^[22] en el que demostró que r _{2 s} ( n ) = δ _{2 s} ( n ) para s = 1, 2, 3 y 4. Para s > 4, demuestra que δ _{2 s} ( n ) es una buena aproximación a r _{2 s} ( n ).

s = 1 tiene una fórmula especial:

${\displaystyle \delta _{2}(n)=\pi \left({\frac {c_{1}(n)}{1}}-{\frac {c_{3}(n)}{3}}+{\frac {c_{5}(n)}{5}}-\cdots \right).}$

En las siguientes fórmulas los signos se repiten con un periodo de 4.

${\displaystyle {\begin{aligned}\delta _{2s}(n)&={\frac {\pi ^{s}n^{s-1}}{(s-1)!}}\left({\frac {c_{1}(n)}{1^{s}}}+{\frac {c_{4}(n)}{2^{s}}}+{\frac {c_{3}(n)}{3^{s}}}+{\frac {c_{8}(n)}{4^{s}}}+{\frac {c_{5}(n)}{5^{s}}}+{\frac {c_{12}(n)}{6^{s}}}+{\frac {c_{7}(n)}{7^{s}}}+{\frac {c_{16}(n)}{8^{s}}}+\cdots \right)&&s\equiv 0{\pmod {4}}\\[6pt]\delta _{2s}(n)&={\frac {\pi ^{s}n^{s-1}}{(s-1)!}}\left({\frac {c_{1}(n)}{1^{s}}}-{\frac {c_{4}(n)}{2^{s}}}+{\frac {c_{3}(n)}{3^{s}}}-{\frac {c_{8}(n)}{4^{s}}}+{\frac {c_{5}(n)}{5^{s}}}-{\frac {c_{12}(n)}{6^{s}}}+{\frac {c_{7}(n)}{7^{s}}}-{\frac {c_{16}(n)}{8^{s}}}+\cdots \right)&&s\equiv 2{\pmod {4}}\\[6pt]\delta _{2s}(n)&={\frac {\pi ^{s}n^{s-1}}{(s-1)!}}\left({\frac {c_{1}(n)}{1^{s}}}+{\frac {c_{4}(n)}{2^{s}}}-{\frac {c_{3}(n)}{3^{s}}}+{\frac {c_{8}(n)}{4^{s}}}+{\frac {c_{5}(n)}{5^{s}}}+{\frac {c_{12}(n)}{6^{s}}}-{\frac {c_{7}(n)}{7^{s}}}+{\frac {c_{16}(n)}{8^{s}}}+\cdots \right)&&s\equiv 1{\pmod {4}}{\text{ and }}s>1\\[6pt]\delta _{2s}(n)&={\frac {\pi ^{s}n^{s-1}}{(s-1)!}}\left({\frac {c_{1}(n)}{1^{s}}}-{\frac {c_{4}(n)}{2^{s}}}-{\frac {c_{3}(n)}{3^{s}}}-{\frac {c_{8}(n)}{4^{s}}}+{\frac {c_{5}(n)}{5^{s}}}-{\frac {c_{12}(n)}{6^{s}}}-{\frac {c_{7}(n)}{7^{s}}}-{\frac {c_{16}(n)}{8^{s}}}+\cdots \right)&&s\equiv 3{\pmod {4}}\\\end{aligned}}}$

y por lo tanto,

${\displaystyle {\begin{aligned}r_{2}(n)&=\pi \left({\frac {c_{1}(n)}{1}}-{\frac {c_{3}(n)}{3}}+{\frac {c_{5}(n)}{5}}-{\frac {c_{7}(n)}{7}}+{\frac {c_{11}(n)}{11}}-{\frac {c_{13}(n)}{13}}+{\frac {c_{15}(n)}{15}}-{\frac {c_{17}(n)}{17}}+\cdots \right)\\[6pt]r_{4}(n)&=\pi ^{2}n\left({\frac {c_{1}(n)}{1}}-{\frac {c_{4}(n)}{4}}+{\frac {c_{3}(n)}{9}}-{\frac {c_{8}(n)}{16}}+{\frac {c_{5}(n)}{25}}-{\frac {c_{12}(n)}{36}}+{\frac {c_{7}(n)}{49}}-{\frac {c_{16}(n)}{64}}+\cdots \right)\\[6pt]r_{6}(n)&={\frac {\pi ^{3}n^{2}}{2}}\left({\frac {c_{1}(n)}{1}}-{\frac {c_{4}(n)}{8}}-{\frac {c_{3}(n)}{27}}-{\frac {c_{8}(n)}{64}}+{\frac {c_{5}(n)}{125}}-{\frac {c_{12}(n)}{216}}-{\frac {c_{7}(n)}{343}}-{\frac {c_{16}(n)}{512}}+\cdots \right)\\[6pt]r_{8}(n)&={\frac {\pi ^{4}n^{3}}{6}}\left({\frac {c_{1}(n)}{1}}+{\frac {c_{4}(n)}{16}}+{\frac {c_{3}(n)}{81}}+{\frac {c_{8}(n)}{256}}+{\frac {c_{5}(n)}{625}}+{\frac {c_{12}(n)}{1296}}+{\frac {c_{7}(n)}{2401}}+{\frac {c_{16}(n)}{4096}}+\cdots \right)\end{aligned}}}$

a"2s(n) (sumas de triángulos)

${\displaystyle r'_{2s}(n)}$es el número de formas en que n puede representarse como la suma de 2 números triangulares (es decir, los números 1, 3 = 1 + 2, 6 = 1 + 2 + 3, 10 = 1 + 2 + 3 + 4, 15, ...; el n -ésimo número triangular está dado por la fórmula n ( n + 1)/2.)

El análisis aquí es similar al de los cuadrados. Ramanujan hace referencia al mismo artículo que hizo para los cuadrados, donde demostró que existe una función tal que para s = 1, 2, 3 y 4, y que para s > 4, es una buena aproximación a ${\displaystyle \delta '_{2s}(n)}$ ${\displaystyle r'_{2s}(n)=\delta '_{2s}(n)}$ ${\displaystyle \delta '_{2s}(n)}$ ${\displaystyle r'_{2s}(n).}$

Nuevamente, s = 1 requiere una fórmula especial:

${\displaystyle \delta '_{2}(n)={\frac {\pi }{4}}\left({\frac {c_{1}(4n+1)}{1}}-{\frac {c_{3}(4n+1)}{3}}+{\frac {c_{5}(4n+1)}{5}}-{\frac {c_{7}(4n+1)}{7}}+\cdots \right).}$

Si s es múltiplo de 4,

${\displaystyle {\begin{aligned}\delta '_{2s}(n)&={\frac {({\frac {\pi }{2}})^{s}}{(s-1)!}}\left(n+{\frac {s}{4}}\right)^{s-1}\left({\frac {c_{1}(n+{\frac {s}{4}})}{1^{s}}}+{\frac {c_{3}(n+{\frac {s}{4}})}{3^{s}}}+{\frac {c_{5}(n+{\frac {s}{4}})}{5^{s}}}+\cdots \right)&&s\equiv 0{\pmod {4}}\\[6pt]\delta '_{2s}(n)&={\frac {({\frac {\pi }{2}})^{s}}{(s-1)!}}\left(n+{\frac {s}{4}}\right)^{s-1}\left({\frac {c_{1}(2n+{\frac {s}{2}})}{1^{s}}}+{\frac {c_{3}(2n+{\frac {s}{2}})}{3^{s}}}+{\frac {c_{5}(2n+{\frac {s}{2}})}{5^{s}}}+\cdots \right)&&s\equiv 2{\pmod {4}}\\[6pt]\delta '_{2s}(n)&={\frac {({\frac {\pi }{2}})^{s}}{(s-1)!}}\left(n+{\frac {s}{4}}\right)^{s-1}\left({\frac {c_{1}(4n+s)}{1^{s}}}-{\frac {c_{3}(4n+s)}{3^{s}}}+{\frac {c_{5}(4n+s)}{5^{s}}}-\cdots \right)&&s\equiv 1{\pmod {2}}{\text{ and }}s>1\end{aligned}}}$

Por lo tanto,

${\displaystyle {\begin{aligned}r'_{2}(n)&={\frac {\pi }{4}}\left({\frac {c_{1}(4n+1)}{1}}-{\frac {c_{3}(4n+1)}{3}}+{\frac {c_{5}(4n+1)}{5}}-{\frac {c_{7}(4n+1)}{7}}+\cdots \right)\\[6pt]r'_{4}(n)&=\left({\frac {\pi }{2}}\right)^{2}\left(n+{\frac {1}{2}}\right)\left({\frac {c_{1}(2n+1)}{1}}+{\frac {c_{3}(2n+1)}{9}}+{\frac {c_{5}(2n+1)}{25}}+\cdots \right)\\[6pt]r'_{6}(n)&={\frac {({\frac {\pi }{2}})^{3}}{2}}\left(n+{\frac {3}{4}}\right)^{2}\left({\frac {c_{1}(4n+3)}{1}}-{\frac {c_{3}(4n+3)}{27}}+{\frac {c_{5}(4n+3)}{125}}-\cdots \right)\\[6pt]r'_{8}(n)&={\frac {({\frac {\pi }{2}})^{4}}{6}}(n+1)^{3}\left({\frac {c_{1}(n+1)}{1}}+{\frac {c_{3}(n+1)}{81}}+{\frac {c_{5}(n+1)}{625}}+\cdots \right)\end{aligned}}}$

Sumas

Dejar

${\displaystyle {\begin{aligned}T_{q}(n)&=c_{q}(1)+c_{q}(2)+\cdots +c_{q}(n)\\U_{q}(n)&=T_{q}(n)+{\tfrac {1}{2}}\phi (q)\end{aligned}}}$

Entonces, para s > 1 ,

${\displaystyle {\begin{aligned}\sigma _{-s}(1)+\cdots +\sigma _{-s}(n)&=\zeta (s+1)\left(n+{\frac {T_{2}(n)}{2^{s+1}}}+{\frac {T_{3}(n)}{3^{s+1}}}+{\frac {T_{4}(n)}{4^{s+1}}}+\cdots \right)\\&=\zeta (s+1)\left(n+{\tfrac {1}{2}}+{\frac {U_{2}(n)}{2^{s+1}}}+{\frac {U_{3}(n)}{3^{s+1}}}+{\frac {U_{4}(n)}{4^{s+1}}}+\cdots \right)-{\tfrac {1}{2}}\zeta (s)\\d(1)+\cdots +d(n)&=-{\frac {T_{2}(n)\log 2}{2}}-{\frac {T_{3}(n)\log 3}{3}}-{\frac {T_{4}(n)\log 4}{4}}-\cdots \\d(1)\log 1+\cdots +d(n)\log n&=-{\frac {T_{2}(n)(2\gamma \log 2-\log ^{2}2)}{2}}-{\frac {T_{3}(n)(2\gamma \log 3-\log ^{2}3)}{3}}-{\frac {T_{4}(n)(2\gamma \log 4-\log ^{2}4)}{4}}-\cdots \\r_{2}(1)+\cdots +r_{2}(n)&=\pi \left(n-{\frac {T_{3}(n)}{3}}+{\frac {T_{5}(n)}{5}}-{\frac {T_{7}(n)}{7}}+\cdots \right)\end{aligned}}}$

Véase también

• Periodo gaussiano
• Suma de Kloosterman

Notas

1. Ramanujan, Sobre ciertas sumas trigonométricas...

   Estas sumas son evidentemente de gran interés y ya se han discutido algunas de sus propiedades, pero, hasta donde yo sé, nunca se las ha considerado desde el punto de vista que adopto en este artículo, y creo que todos los resultados que contiene son nuevos.

   ( Artículos , p. 179). En una nota a pie de página se citan las páginas 360-370 de Dirichlet-Dedekind Vorlesungen über Zahlentheorie , 4ª ed.
2. Nathanson, cap. 8.
3. Hardy y Wright, THM 65, 66
4. GH Hardy, PV Seshu Aiyar y BM Wilson, notas sobre ciertas sumas trigonométricas... , Ramanujan, Papers , pág. 343
5. Schwarz y Spilken (1994) p.16
6. B. Berndt, comentario a Sobre ciertas sumas trigonométricas... , Ramanujan, Papers , p. 371
7. Knopfmacher, pág. 196
8. Hardy y Wright, pág. 243
9. Tóth, enlaces externos, ec. 6
10. Tóth, enlaces externos, ecuación 17.
11. Tóth, enlaces externos, ecuación 8.
12. B. Berndt, comentario a Sobre ciertas sumas trigonométricas... , Ramanujan, Papers , págs. 369–371
13. Ramanujan, Sobre ciertas sumas trigonométricas...

    La mayoría de mis fórmulas son "elementales" en el sentido técnico de la palabra: pueden (es decir) demostrarse mediante una combinación de procesos que involucran solo álgebra finita y teoremas generales simples sobre series infinitas.

    ( Documentos , pág. 179)
14. La teoría de las series formales de Dirichlet se analiza en Hardy & Wright, § 17.6 y en Knopfmacher.
15. Knopfmacher, cap. 7, analiza las expansiones de Ramanujan como un tipo de expansión de Fourier en un espacio de producto interno que tiene c _q como base ortogonal.
16. Ramanujan, Sobre ciertas funciones aritméticas
17. Nicol, pág. 1
18. Esta es la función totient de Jordan , J _s ( n ).
19. Cf. Hardy & Wright, Thm. 329, que afirma que ${\displaystyle \;{\frac {6}{\pi ^{2}}}<{\frac {\sigma (n)\phi (n)}{n^{2}}}<1.}$
20. Hardy, Ramanujan , pág. 141
21. B. Berndt, comentario a Sobre ciertas sumas trigonométricas... , Ramanujan, Papers , p. 371
22. Ramanujan, Sobre ciertas funciones aritméticas

Referencias

• Hardy, GH (1999). Ramanujan: Doce conferencias sobre temas sugeridos por su vida y obra . Providence RI: AMS / Chelsea. ISBN 978-0-8218-2023-0.

• Hardy, GH ; Wright, EM (1979) [1938]. Introducción a la teoría de números (quinta edición). Oxford: Clarendon Press. ISBN 0-19-853171-0.MR  0568909.Zbl 0423.10001  .​
• Knopfmacher, John (1990) [1975]. Teoría analítica abstracta de números (2.ª ed.). Nueva York: Dover. ISBN 0-486-66344-2.Zbl 0743.11002  .

• Nathanson, Melvyn B. (1996). Teoría de números aditivos: las bases clásicas . Textos de posgrado en matemáticas. Vol. 164. Springer-Verlag. Sección A.7. ISBN 0-387-94656-X.Zbl 0859.11002  ..

• Nicol, CA (1962). "Algunas fórmulas que implican sumas de Ramanujan". Can. J. Math . 14 : 284–286. doi : 10.4153/CJM-1962-019-8 .

• Ramanujan, Srinivasa (1918). "Sobre ciertas sumas trigonométricas y sus aplicaciones en la teoría de números". Transactions of the Cambridge Philosophical Society . 22 (15): 259–276.(págs. 179-199 de sus Documentos Recopilados )

• Ramanujan, Srinivasa (1916). "Sobre ciertas funciones aritméticas". Transactions of the Cambridge Philosophical Society . 22 (9): 159–184.(págs. 136-163 de sus Documentos Recopilados )

• Ramanujan, Srinivasa (2000). Documentos recopilados . Providence RI: AMS / Chelsea. ISBN 978-0-8218-2076-6.

• Schwarz, Wolfgang; Spilker, Jürgen (1994). Funciones aritméticas. Introducción a las propiedades elementales y analíticas de las funciones aritméticas y a algunas de sus propiedades casi periódicas . Serie de notas de conferencias de la London Mathematical Society. Vol. 184. Cambridge University Press . ISBN 0-521-42725-8.Zbl 0807.11001  .

Enlaces externos

• Tóth, László (2011). "Sumas de productos de sumas de Ramanujan". Annali dell'universita' di Ferrara . 58 : 183-197. arXiv : 1104.1906 . doi :10.1007/s11565-011-0143-3. S2CID  119134250.