Subespacio del conmutador

En matemáticas, el subespacio conmutador de un ideal bilateral de operadores lineales acotados en un espacio de Hilbert separable es el subespacio lineal generado por conmutadores de operadores en el ideal con operadores acotados. La caracterización moderna del subespacio conmutador se realiza mediante la correspondencia de Calkin e implica la invariancia del espacio de secuencia de Calkin de un ideal de operadores para tomar medias de Cesàro . Esta caracterización espectral explícita reduce los problemas y las preguntas sobre conmutadores y trazas en ideales bilaterales a problemas y condiciones (más resolubles) en espacios de secuencia.

Historia

Los conmutadores de operadores lineales en espacios de Hilbert llegaron a la prominencia en la década de 1930 cuando aparecieron en la mecánica matricial , o formulación de Heisenberg, de la mecánica cuántica. Sin embargo, los subespacios conmutadores recibieron escasa atención hasta la década de 1970. El matemático estadounidense Paul Halmos en 1954 demostró que cada operador acotado en un espacio de Hilbert de dimensión infinita separable es la suma de dos conmutadores de operadores acotados. ^[1] En 1971, Carl Pearcy y David Topping revisaron el tema y estudiaron los subespacios conmutadores para los ideales de Schatten . ^[2] Como estudiante, el matemático estadounidense Gary Weiss comenzó a investigar las condiciones espectrales para los conmutadores de los operadores de Hilbert-Schmidt . ^{[3] [4]} El matemático británico Nigel Kalton , notando la condición espectral de Weiss, caracterizó todos los conmutadores de clase traza. ^[5] El resultado de Kalton constituye la base para la caracterización moderna del subespacio del conmutador. En 2004, Ken Dykema, Tadeusz Figiel , Gary Weiss y Mariusz Wodzicki publicaron la caracterización espectral de los operadores normales en el subespacio del conmutador para cada ideal bilateral de operadores compactos. ^[6]

Definición

El subespacio conmutador de un ideal bilateral J de los operadores lineales acotados B ( H ) en un espacio de Hilbert separable H es el espacio lineal de operadores en J de la forma [ A , B ] =  AB  −  BA para todos los operadores A de J y B de B ( H ).

El subespacio conmutador de J es un subespacio lineal de J denotado por Com( J ) o [ B ( H ), J ].

Caracterización espectral

La correspondencia de Calkin establece que un operador compacto A pertenece a un ideal bilateral J si y solo si los valores singulares μ( A ) de A pertenecen al espacio de secuencias de Calkin j asociado a J . Los operadores normales que pertenecen al subespacio conmutador Com( J ) pueden caracterizarse como aquellos A tales que μ( A ) pertenece a j y la media de Cesàro de la secuencia μ( A ) pertenece a j . ^[6] El siguiente teorema es una ligera extensión de las diferencias de operadores normales ^[7] (establecer B  = 0 en lo que sigue da el enunciado de la oración anterior).

Teorema. Supóngase que A,B son operadores normales compactos que pertenecen a un ideal bilateral J . Entonces A  −  B pertenece al subespacio conmutador Com( J ) si y solo si

${\displaystyle \left\{{\frac {1}{1+n}}\sum _{k=0}^{n}\left(\mu (k,A)-\mu (k,B)\right)\right\}_{n=0}^{\infty }\in j}$

donde j es el espacio de secuencia de Calkin correspondiente a J y μ ( A ), μ ( B ) son los valores singulares de A y B , respectivamente.

Siempre que las secuencias de valores propios de todos los operadores en J pertenezcan al espacio de secuencias de Calkin j, existe una caracterización espectral para operadores arbitrarios (no normales). No es válida para todos los ideales bilaterales, pero se conocen las condiciones necesarias y suficientes. Nigel Kalton y el matemático estadounidense Ken Dykema introdujeron la condición por primera vez para ideales generados de manera numerable. ^{[8] [9]} Los matemáticos uzbekos y australianos Fedor Sukochev y Dmitriy Zanin completaron la caracterización de valores propios. ^[10]

Teorema. Supóngase que J es un ideal bilateral tal que un operador acotado A pertenece a J siempre que exista un operador acotado B en J tal que

Si los operadores acotados A y B pertenecen a J entonces A  −  B pertenece al subespacio conmutador Com( J ) si y solo si

${\displaystyle \left\{{\frac {1}{1+n}}\sum _{k=0}^{n}\left(\lambda (k,A)-\lambda (k,B)\right)\right\}_{n=0}^{\infty }\in j}$

donde j es el espacio de secuencia de Calkin correspondiente a J y λ ( A ), λ ( B ) son la secuencia de valores propios de los operadores A y B , respectivamente, reordenados de modo que el valor absoluto de los valores propios sea decreciente.

La mayoría de los ideales bilaterales satisfacen la condición del Teorema, incluidos todos los ideales de Banach y cuasi-ideales de Banach.

Consecuencias de la caracterización

• Todo operador en J es una suma de conmutadores si y solo si el espacio de secuencias de Calkin correspondiente j es invariante tomando Cesàro como media . En símbolos, Com( J ) =  J es equivalente a C( j ) =  j , donde C denota el operador Cesàro en secuencias.
• En cualquier ideal bilateral, la diferencia entre un operador positivo y su diagonalización es una suma de conmutadores. Es decir, A  − diag( μ ( A )) pertenece a Com( J ) para cada operador positivo A en J donde diag( μ ( A )) es la diagonalización de A en una base ortonormal arbitraria del espacio de Hilbert separable H .
• En cualquier ideal bilateral que satisfaga ( 1 ), la diferencia entre un operador arbitrario y su diagonalización es una suma de conmutadores. Es decir, A  − diag( λ ( A )) pertenece a Com( J ) para cada operador A en J donde diag( λ ( A )) es la diagonalización de A en una base ortonormal arbitraria del espacio de Hilbert separable H y λ ( A ) es una secuencia de valores propios.
• Cada operador cuasi-nilpotente en un ideal bilateral que satisface ( 1 ) es una suma de conmutadores.

Aplicación a trazas

Una traza φ en un ideal bilateral J de B ( H) es una función lineal φ: J → que se desvanece en Com( J ). Las consecuencias anteriores implican ${\displaystyle \mathbb {C} }$

• El ideal bilateral J tiene una traza distinta de cero si y sólo si C( j ) ≠  j .
• φ ( A ) = φ  ∘ diag( μ ( A )) para cada operador positivo A en J donde diag( μ ( A )) es la diagonalización de A en una base ortonormal arbitraria del espacio de Hilbert separable H . Es decir, las trazas en J están en correspondencia directa con los funcionales simétricos en j .
• En cualquier ideal bilateral que satisfaga ( 1 ), φ ( A ) =  φ  ∘ diag( λ ( A )) para cada operador A en J donde diag( λ ( A )) es la diagonalización de A en una base ortonormal arbitraria del espacio de Hilbert separable H y λ ( A ) es una secuencia de valores propios.
• En cualquier ideal bilateral que satisfaga ( 1 ), φ ( Q ) = 0 para cada operador cuasi-nilpotente Q de J y cada traza φ en J .

Ejemplos

Supongamos que H es un espacio de Hilbert de dimensión infinita separable.

• Operadores compactos. Los operadores lineales compactos K ( H ) corresponden al espacio de sucesiones convergentes a cero, c ₀ . Para una sucesión convergente a cero los medios de Cesàro convergen a cero. Por lo tanto, C( c ₀ ) = c ₀ y Com( K ( H )) =  K ( H ).
• Operadores de rango finito. Los operadores de rango finito F ( H ) corresponden al espacio de sucesiones con términos finitos distintos de cero, c ₀₀ . La condición

${\displaystyle \left\{{\frac {a_{1}+a_{2}+\cdots +a_{n}}{n}}\right\}_{n=1}^{\infty }\in c_{00}}$

ocurre si y sólo si

${\displaystyle a_{1}+a_{2}+\cdots +a_{N}=0}$

para la secuencia ( a ₁ , a ₂ , ... , a _N , 0, 0 , ...) en c ₀₀ . El núcleo de la traza del operador Tr en F ( H ) y el subespacio conmutador de los operadores de rango finito son iguales, ker Tr = Com( F ( H )) ⊊  F ( H ).

• Operadores de la clase de traza. Los operadores de la clase de traza L ₁ corresponden a las secuencias sumables . La condición

${\displaystyle \left\{{\frac {a_{1}+a_{2}+\cdots +a_{n}}{n}}\right\}_{n=1}^{\infty }\in \ell _{1}}$

es más fuerte que la condición de que a ₁ + a ₂ ... = 0. Un ejemplo es la secuencia con

${\displaystyle a_{n}={\frac {1}{n\log ^{2}(n)}},\quad n\geq 2.}$

y

${\displaystyle a_{1}=-\sum _{n=2}^{\infty }a_{n}.}$

que tiene suma cero pero no tiene una secuencia sumable de medias de Cesàro. Por lo tanto Com( L ₁ ) ⊊ ker Tr ⊊  L ₁ .

• Operadores de clase de traza débil . Los operadores de clase de traza débil L _1,∞ corresponden al espacio de secuencia débil -l _1. A partir de la condición

${\displaystyle \left\{{\frac {a_{1}+a_{2}+\cdots +a_{n}}{n}}\right\}_{n=1}^{\infty }\in \ell _{1,\infty }}$

o equivalentemente

${\displaystyle \left\{a_{1}+a_{2}+\cdots +a_{n}\right\}_{n=1}^{\infty }=O(1)}$

es inmediato que Com( L _{1 ,∞} ) ₊  = ( L ₁ ) ₊ . El subespacio conmutador de los operadores de la clase traza débil contiene los operadores de la clase traza. La secuencia armónica 1,1/2,1/3,...,1/ n ,... pertenece a l _1,∞ y tiene una serie divergente, y por lo tanto las medias de Cesàro de la secuencia armónica no pertenecen a l _1,∞ . En resumen, L ₁ ⊊ Com( L _1,∞ ) ⊊  L _1,∞ .

Notas

1. P. Halmos (1954). "Conmutadores de operadores. II". Revista Americana de Matemáticas . 76 (1): 191–198. doi :10.2307/2372409. JSTOR  2372409.
2. C. Pearcy; D. Topping (1971). "Sobre conmutadores en ideales de operadores compactos". Michigan Mathematical Journal . 18 (3): 247–252. doi : 10.1307/mmj/1029000686 .
3. G. Weiss (1980). "Conmutadores de operadores de Hilbert–Schmidt, II". Ecuaciones integrales y teoría de operadores . 3 (4): 574–600. doi :10.1007/BF01702316. S2CID  189875793.
4. G. Weiss (1986). "Conmutadores de operadores de Hilbert–Schmidt, I". Ecuaciones integrales y teoría de operadores . 9 (6): 877–892. doi :10.1007/bf01202521. S2CID  122936389.
5. NJ Kalton (1989). "Operadores y conmutadores de clase traza". Journal of Functional Analysis . 86 : 41–74. doi : 10.1016/0022-1236(89)90064-5 .
6. K. Dykema; ​​T. Figiel; G. Weiss; M. Wodzicki (2004). "Estructura del conmutador de ideales de operador" (PDF) . Avances en Matemáticas . 185 : 1–79. doi : 10.1016/s0001-8708(03)00141-5 .
7. NJ Kalton; S. Lord; D. Potapov; F. Sukochev (2013). "Rastros de operadores compactos y el residuo no conmutativo". Avances en Matemáticas . 235 : 1–55. arXiv : 1210.3423 . doi : 10.1016/j.aim.2012.11.007 .
8. NJ Kalton (1998). "Caracterización espectral de sumas de conmutadores, I". J. Reine Angew. Matemáticas . 1998 (504): 115–125. arXiv : math/9709209 . doi :10.1515/crll.1998.102. S2CID  119124949.
9. K. Dykema; ​​NJ Kalton (1998). "Caracterización espectral de sumas de conmutadores, II". J. Reine Angew. Matemáticas . 504 : 127–137.
10. ^{[ cita requerida ]}

Referencias

• K. Dykema; ​​T. Figiel; G. Weiss; M. Wodzicki (2004). "Estructura del conmutador de ideales de operador" (PDF) . Avances en Matemáticas . 185 : 1–79. doi : 10.1016/s0001-8708(03)00141-5 .

• G. Weiss (2005), " B ( H )-conmutadores: un estudio histórico", en Dumitru Gaşpar; Dan Timotin; László Zsidó; Israel Gohberg; Florian-Horia Vasilescu (eds.), Avances recientes en teoría de operadores, álgebras de operadores y sus aplicaciones , Teoría de operadores: avances y aplicaciones, vol. 153, Berlín: Birkhäuser Basel, págs. 307–320, ISBN 978-3-7643-7127-2

• T. Figiel; N. Kalton (2002), "Funcionales lineales simétricos en espacios funcionales", en M. Cwikel; M. Englis; A. Kufner; L.-E. Persson; G. Sparr (eds.), Function Spaces, Interpolation Theory, and Related Topics: Proceedings of the International Conference in Honour of Jaak Peetre on His 65th Birthday : Lund, Suecia, 17-22 de agosto de 2000 , De Gruyter: Proceedings in Mathematics, Berlín: De Gruyter, pp. 311-332, ISBN 978-3-11-019805-8

• S. Lord, FA Sukochev, D. Zanin (2012). Rastros singulares: teoría y aplicaciones. Berlín: De Gruyter. doi :10.1515/9783110262551. ISBN 978-3-11-026255-1.