En teoría de operadores , se dice que un operador acotado T en un espacio de Banach es nilpotente si T n = 0 para algún entero positivo n . [1] Se dice que es cuasinilpotente o topológicamente nilpotente si su espectro σ ( T ) = {0}.
En el caso de dimensión finita, es decir cuando T es una matriz cuadrada ( matriz nilpotente ) con elementos complejos, σ ( T ) = {0} si y solo si T es similar a una matriz cuyas únicas entradas distintas de cero están en la superdiagonal [2] (este hecho se utiliza para demostrar la existencia de la forma canónica de Jordan ). A su vez, esto es equivalente a T n = 0 para algún n . Por lo tanto, para matrices, la cuasinilpotencia coincide con la nilpotencia.
Esto no es cierto cuando H es de dimensión infinita. Consideremos el operador Volterra , definido de la siguiente manera: considere el cuadrado unitario X = [0,1] × [0,1] ⊂ R 2 , con la medida de Lebesgue m . En X , defina la función kernel K por
El operador de Volterra es el operador integral correspondiente T en el espacio de Hilbert L 2 (0,1) dado por
El operador T no es nilpotente: tomemos f como la función que es 1 en todas partes y el cálculo directo muestra que T n f ≠ 0 (en el sentido de L 2 ) para todo n . Sin embargo, T es cuasinilpotente. Primero note que K está en L 2 ( X , m ), por lo tanto T es compacto . Por las propiedades espectrales de los operadores compactos, cualquier λ distinto de cero en σ ( T ) es un valor propio. Pero se puede demostrar que T no tiene valores propios distintos de cero, por lo tanto T es cuasinilpotente.
