Correspondencia de Calkin

En matemáticas, la correspondencia de Calkin , llamada así por el matemático John Williams Calkin , es una correspondencia biyectiva entre ideales bilaterales de operadores lineales acotados de un espacio de Hilbert de dimensión infinita separable y espacios de secuencias de Calkin (también llamados espacios de secuencias invariantes de reordenamiento). La correspondencia se implementa asignando un operador a su secuencia de valores singulares .

Se originó a partir del estudio de John von Neumann sobre normas simétricas en álgebras matriciales . ^[1] Proporciona una clasificación fundamental y una herramienta para el estudio de ideales bilaterales de operadores compactos y sus trazas , al reducir problemas sobre espacios de operadores a problemas (más resolubles) sobre espacios de secuencias.

Definiciones

Un ideal bilateral J de los operadores lineales acotados B ( H ) en un espacio de Hilbert separable H es un subespacio lineal tal que AB y BA pertenecen a J para todos los operadores A de J y B de B ( H ).

Un espacio de secuencia j dentro de l _∞ se puede incrustar en B ( H ) usando una base ortonormal arbitraria { e _n } _{n = 0} ^∞ . Asociar a una secuencia a de j el operador acotado

${\displaystyle {\rm {diag}}(a)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}|e_{n}\rangle \langle e_{n}|,}$

donde se ha utilizado la notación bra-ket para las proyecciones unidimensionales sobre los subespacios generados por vectores base individuales. La secuencia de valores absolutos de las entradas de a en orden decreciente se denomina reordenamiento decreciente de  a . El reordenamiento decreciente se puede denotar μ( n , a ), n  = 0, 1, 2, ... Nótese que es idéntico a los valores singulares del operador diag( a ). Otra notación para el reordenamiento decreciente es  a *.

Un espacio de secuencia de Calkin (o invariante de reordenamiento) es un subespacio lineal j de las secuencias acotadas l _∞ tal que si a es una secuencia acotada y μ( n , a ) ≤ μ( n , b ), n  = 0, 1, 2, ..., para algún b en j , entonces a pertenece a  j .

Correspondencia

Asociar a un ideal bilateral J el espacio de sucesiones j dado por

${\displaystyle j=\{a\in l_{\infty }:{\rm {diag}}(\mu (a))\in J\}.}$

Asociar a un espacio de sucesiones j el ideal bilateral J dado por

${\displaystyle J=\{A\in B(H):\mu (A)\in j\}.}$

Aquí μ( A ) y μ( a ) son los valores singulares de los operadores A y diag( a ), respectivamente. El teorema de Calkin ^[2] establece que las dos funciones son inversas entre sí. Obtenemos,

Correspondencia de Calkin: Los ideales bilaterales de los operadores acotados en un espacio de Hilbert separable de dimensión infinita y los espacios de secuencias de Calkin están en correspondencia biyectiva.

Es suficiente conocer la asociación sólo entre operadores positivos y secuencias positivas, por lo tanto, la función μ: J ₊  →  j ₊ de un operador positivo a sus valores singulares implementa la correspondencia de Calkin.

Otra forma de interpretar la correspondencia de Calkin, dado que el espacio de secuencia j es equivalente como espacio de Banach a los operadores en el ideal de operadores J que son diagonales con respecto a una base ortonormal arbitraria, es que los ideales bilaterales están completamente determinados por sus operadores diagonales.

Ejemplos

Supongamos que H es un espacio de Hilbert de dimensión infinita separable.

• Operadores acotados . El ideal bilateral impropio B ( H ) corresponde a l _∞ .
• Operadores compactos . El ideal bilateral propio y normal cerrado K ( H ) corresponde a c ₀ , el espacio de sucesiones que convergen a cero .
• Operadores de rango finito . El ideal bilateral más pequeño F ( H ) de los operadores de rango finito corresponde a c ₀₀ , el espacio de secuencias con términos finitos distintos de cero.
• P -ideales de Schatten . Los p -ideales de Schatten L _p , p  ≥ 1, corresponden a los espacios de secuencia l p . En particular, los operadores de clase de traza corresponden a l ₁ y los operadores de Hilbert-Schmidt corresponden a l ₂ .
• Ideales débiles -L _p . Los ideales débiles -L _p L _{p ,∞} , p  ≥ 1, corresponden a los espacios de secuencias débiles -l _p .
• ψ-ideales de Lorentz. Los ψ-ideales de Lorentz para una función cóncava creciente ψ : [0,∞) → [0,∞) corresponden a los espacios de secuencias de Lorentz .

Notas

1. J. von Neumann (1937). "Algunas desigualdades matriciales y metrización del espacio matricial". Tomsk. University Review . 1 : 286–300.
2. JW Calkin (1941). "Ideales bilaterales y congruencias en el anillo de operadores acotados en el espacio de Hiulbert". Ann. Math . 2. 42 (4): 839–873. doi :10.2307/1968771. JSTOR  1968771.

Referencias

• B. Simon (2005). Ideales de trazas y sus aplicaciones . Providence, Rhode Island: Amer. Math. Soc. ISBN 978-0-8218-3581-4.

• S. Señor, FA Sukochev. D. Zanin (2012). Huellas singulares: teoría y aplicaciones. Berlín: De Gruyter. ISBN 978-3-11-026255-1.