En matemáticas , especialmente en las áreas del álgebra abstracta conocidas como álgebra universal , teoría de grupos , teoría de anillos y teoría de módulos , un producto subdirecto es una subálgebra de un producto directo que depende completamente de todos sus factores sin que necesariamente sea el producto directo completo. La noción fue introducida por Birkhoff en 1944 y ha demostrado ser una poderosa generalización de la noción de producto directo. [ cita requerida ]
Definición
Un producto subdirecto es una subálgebra (en el sentido del álgebra universal ) A de un producto directo Π i A i tal que cada proyección inducida (la proyección compuesta p j s : A → A j de una proyección p j : Π i A i → A j con la inclusión de subálgebra s : A → Π i A i ) es sobreyectiva .
Una representación directa ( subdirecta ) de un álgebra A es un producto directo (subdirecto ) isomorfo a A.
Se dice que un álgebra es subdirectamente irreducible si no es subdirectamente representable mediante álgebras "más simples". Los irreducibles subdirectos son al producto subdirecto de álgebras aproximadamente lo que los primos son a la multiplicación de números enteros.
Ejemplos
- Cualquier red distributiva L es subdirectamente representable como una subálgebra de una potencia directa de la red distributiva de dos elementos. Esto puede verse como una formulación algebraica de la representabilidad de L como un conjunto de conjuntos cerrados bajo las operaciones binarias de unión e intersección, a través de la interpretación de la potencia directa misma como un conjunto potencia. En el caso finito, tal representación es directa (es decir, la potencia directa completa) si y solo si L es una red complementada , es decir, un álgebra de Boole.
- Lo mismo se aplica a cualquier semirretículo cuando se sustituye "semilretículo" por "retículo distributivo" y "subsemilretículo" por "subretículo" en el ejemplo anterior. Es decir, cada semirretículo se puede representar como una potencia subdirecta del semirretículo de dos elementos.
- La cadena de números naturales junto con el infinito, como álgebra de Heyting , es subdirectamente representable como una subálgebra del producto directo de las álgebras de Heyting finitas ordenadas linealmente. La situación con otras álgebras de Heyting se trata con más detalle en el artículo sobre irreducibles subdirectos .
- El grupo de números enteros bajo adición es subdirectamente representable por cualquier familia (necesariamente infinita) de grupos cíclicos finitos arbitrariamente grandes . En esta representación, 0 es la secuencia de elementos de identidad de los grupos que representan, 1 es una secuencia de generadores elegidos del grupo apropiado y la adición y negación de números enteros son las operaciones de grupo correspondientes en cada grupo aplicadas coordinadamente. La representación es fiel (no hay dos números enteros representados por la misma secuencia) debido al requisito de tamaño, y las proyecciones son sobre porque cada coordenada eventualmente agota su grupo.
- Todo espacio vectorial sobre un cuerpo dado es subdirectamente representable por el espacio unidimensional sobre ese cuerpo, siendo los espacios de dimensión finita directamente representables de esta manera. (Para los espacios vectoriales, como para los grupos abelianos , el producto directo con un número finito de factores es sinónimo de suma directa con un número finito de factores, de donde el producto subdirecto y la suma subdirecta también son sinónimos para un número finito de factores).
- Los productos subdirectos se utilizan para representar muchos grupos perfectos pequeños en (Holt y Plesken 1989).
Véase también
Referencias
- Birkhoff, Garrett (1944), "Uniones subdirectas en álgebra universal", Boletín de la Sociedad Matemática Americana , 50 (10): 764–768, doi : 10.1090/S0002-9904-1944-08235-9 , ISSN 0002-9904, MR 0010542
- Holt, Derek F.; Plesken, W. (1989), Grupos perfectos , Monografías matemáticas de Oxford, The Clarendon Press Oxford University Press, ISBN 978-0-19-853559-1, Sr. 1025760
