Teorema de Stone-von Neumann

En matemáticas y física teórica , el teorema de Stone-von Neumann se refiere a cualquiera de varias formulaciones diferentes de la unicidad de las relaciones de conmutación canónicas entre operadores de posición y momento . Recibe su nombre en honor a Marshall Stone y John von Neumann . ^{[1] [2] [3] [4]}

Cuestiones de representación de las relaciones de conmutación

En mecánica cuántica , los observables físicos se representan matemáticamente mediante operadores lineales en espacios de Hilbert .

Para una partícula individual que se mueve en la línea real , hay dos observables importantes: posición y momento . En la descripción cuántica de la representación de Schrödinger de dicha partícula, el operador de posición x y el operador de momento están dados respectivamente por en el dominio de funciones infinitamente diferenciables de soporte compacto en . Supóngase que es un número real fijo distinto de cero ; en la teoría cuántica es la constante de Planck reducida , que lleva unidades de acción (energía por tiempo). ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle p}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}[][x\psi ](x_{0})&=x_{0}\psi (x_{0})\\[][p\psi ](x_{0})&=-i\hbar {\frac {\partial \psi }{\partial x}}(x_{0})\end{aligned}}}$$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \hbar }$ ${\displaystyle \hbar }$

Los operadores , satisfacen la relación de conmutación canónica del álgebra de Lie, ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle p}$ $${\displaystyle [x,p]=xp-px=i\hbar .}$$

Ya en su libro clásico, ^[5] Hermann Weyl observó que esta ley de conmutación era imposible de satisfacer para operadores lineales p , x actuando en espacios de dimensión finita a menos que ħ se anule. Esto es evidente al tomar la traza sobre ambos lados de la última ecuación y usar la relación Trace( AB ) = Trace( BA ) ; el lado izquierdo es cero, el lado derecho es distinto de cero. Un análisis posterior muestra que dos operadores autoadjuntos cualesquiera que satisfagan la relación de conmutación anterior no pueden estar ambos acotados (de hecho, un teorema de Wielandt muestra que la relación no puede ser satisfecha por elementos de ningún álgebra normada ^{[nota 1]} ). Por conveniencia de notación, la raíz cuadrada no nula de ℏ puede ser absorbida en la normalización de p y x , de modo que, efectivamente, se reemplaza por 1. Suponemos esta normalización en lo que sigue.

La idea del teorema de Stone-von Neumann es que dos representaciones irreducibles cualesquiera de las relaciones de conmutación canónicas son unitariamente equivalentes. Sin embargo, dado que los operadores involucrados son necesariamente ilimitados (como se señaló anteriormente), existen cuestiones de dominio complicadas que permiten contraejemplos. ^{[6] : Ejemplo 14.5} Para obtener un resultado riguroso, uno debe requerir que los operadores satisfagan la forma exponencial de las relaciones de conmutación canónicas, conocidas como relaciones de Weyl. Los operadores exponenciales son acotados y unitarios. Aunque, como se señala a continuación, estas relaciones son formalmente equivalentes a las relaciones de conmutación canónicas estándar, esta equivalencia no es rigurosa, debido (de nuevo) a la naturaleza ilimitada de los operadores. (También existe un análogo discreto de las relaciones de Weyl, que puede cumplirse en un espacio de dimensión finita, ^{[6] : Capítulo 14, Ejercicio 5,} a saber, las matrices de reloj y desplazamiento de Sylvester en el grupo de Heisenberg finito, que se analizan a continuación).

Unicidad de la representación

Se desea clasificar las representaciones de la relación de conmutación canónica mediante dos operadores autoadjuntos que actúan sobre espacios de Hilbert separables, hasta la equivalencia unitaria . Por el teorema de Stone , existe una correspondencia biunívoca entre operadores autoadjuntos y grupos unitarios de un parámetro (fuertemente continuos).

Sean Q y P dos operadores autoadjuntos que satisfacen la relación de conmutación canónica, [ Q ,  P ] = i , y s y t dos parámetros reales. Introduzca e ^itQ y e ^isP , los grupos unitarios correspondientes dados por el cálculo funcional . (Para los operadores explícitos x y p definidos anteriormente, estos son la multiplicación por e ^itx y el pullback por traslación x → x + s .) Un cálculo formal ^{[6] : Sección 14.2} (utilizando un caso especial de la fórmula de Baker–Campbell–Hausdorff ) produce fácilmente $${\displaystyle e^{itQ}e^{isP}=e^{-ist}e^{isP}e^{itQ}.}$$

Por el contrario, dados dos grupos unitarios de un parámetro U ( t ) y V ( s ) que satisfacen la relación de trenzado

${\displaystyle U(t)V(s)=e^{-ist}V(s)U(t)\qquad \forall s,t,}$   ( E1 )

La diferenciación formal en 0 muestra que los dos generadores infinitesimales satisfacen la relación de conmutación canónica anterior. Esta formulación entrelazada de las relaciones de conmutación canónica (RCC) para grupos unitarios de un parámetro se denomina forma de Weyl de la RCC .

Es importante señalar que la derivación precedente es puramente formal. Dado que los operadores involucrados no están acotados, cuestiones técnicas impiden la aplicación de la fórmula de Baker–Campbell–Hausdorff sin suposiciones de dominio adicionales. De hecho, existen operadores que satisfacen la relación de conmutación canónica pero no las relaciones de Weyl ( E1 ). ^{[6] : Ejemplo 14.5} Sin embargo, en casos "buenos", esperamos que los operadores que satisfacen la relación de conmutación canónica también satisfagan las relaciones de Weyl.

El problema se convierte entonces en clasificar dos grupos unitarios de un parámetro irreducibles conjuntamente U ( t ) y V ( s ) que satisfacen la relación de Weyl en espacios de Hilbert separables. La respuesta es el contenido del teorema de Stone-von Neumann : todos estos pares de grupos unitarios de un parámetro son unitariamente equivalentes . ^{[6] : Teorema 14.8} En otras palabras, para cualesquiera dos de estos U ( t ) y V ( s ) que actúen conjuntamente de manera irreducible en un espacio de Hilbert H , existe un operador unitario W  : L ² ( R ) → H de modo que donde p y x son los operadores explícitos de posición y momento de antes. Cuando W es U en esta ecuación, entonces, en la representación x , es evidente que P es unitariamente equivalente a e ^{− itQ} P e ^itQ = P + t , y el espectro de P debe extenderse a lo largo de toda la línea real. El argumento análogo es válido para Q . $${\displaystyle W^{*}U(t)W=e^{itx}\quad {\text{and}}\quad W^{*}V(s)W=e^{isp},}$$  

También hay una extensión directa del teorema de Stone-von Neumann a n grados de libertad. ^{[6] : Teorema 14.8} Históricamente, este resultado fue significativo, porque fue un paso clave para demostrar que la mecánica matricial de Heisenberg , que presenta observables y dinámicas mecánicas cuánticas en términos de matrices infinitas, es unitariamente equivalente a la formulación mecánica ondulatoria de Schrödinger (ver la imagen de Schrödinger ), $${\displaystyle [U(t)\psi ](x)=e^{itx}\psi (x),\qquad [V(s)\psi ](x)=\psi (x+s).}$$

Formulación de la teoría de la representación

En términos de teoría de representaciones, el teorema de Stone-von Neumann clasifica ciertas representaciones unitarias del grupo de Heisenberg . Esto se analiza con más detalle en la sección sobre el grupo de Heisenberg, a continuación.

En términos informales, con ciertas suposiciones técnicas, cada representación del grupo de Heisenberg H _{2 n  + 1} es equivalente a los operadores de posición y de momento en R ⁿ . Alternativamente, todos ellos son equivalentes al álgebra de Weyl (o álgebra CCR ) en un espacio simpléctico de dimensión 2 n .

Más formalmente, existe una representación unitaria fuertemente continua central, única (a escala) y no trivial.

Esto fue generalizado posteriormente por la teoría de Mackey y fue la motivación para la introducción del grupo de Heisenberg en la física cuántica.

En detalle:

• El grupo continuo de Heisenberg es una extensión central del grupo de Lie abeliano R ^{2 n} mediante una copia de R ,
• El álgebra de Heisenberg correspondiente es una extensión central del álgebra de Lie abeliana R ^{2 n} (con corchete trivial ) mediante una copia de R ,
• El grupo discreto de Heisenberg es una extensión central del grupo abeliano libre Z ^{2 n} por una copia de Z , y
• El grupo de Heisenberg discreto módulo p es una extensión central del p -grupo abeliano libre ( Z / p Z ) ^{2 n} mediante una copia de Z / p Z .

En todos los casos, si uno tiene una representación H _{2 n  + 1} → A , donde A es un álgebra ^{[ aclaración necesaria ]} y el centro corresponde a cero, entonces uno simplemente tiene una representación del grupo abeliano o álgebra correspondiente, que es la teoría de Fourier . ^{[ aclaración necesaria ]}

Si el centro no corresponde a cero, se tiene una teoría más interesante, particularmente si uno se restringe a representaciones centrales .

En concreto, por representación central se entiende una representación tal que el centro del grupo de Heisenberg se proyecta en el centro del álgebra : por ejemplo, si se estudian representaciones matriciales o representaciones por operadores en un espacio de Hilbert, entonces el centro del álgebra matricial o del álgebra de operadores son las matrices escalares . Así, la representación del centro del grupo de Heisenberg está determinada por un valor de escala, llamado valor de cuantificación (en términos de física, la constante de Planck), y si este tiende a cero, se obtiene una representación del grupo abeliano (en términos de física, este es el límite clásico).

Más formalmente, el álgebra de grupo del grupo de Heisenberg sobre su cuerpo de escalares K , escrito K [ H ] , tiene centro K [ R ] , por lo que en lugar de simplemente pensar en el álgebra de grupo como un álgebra sobre el cuerpo K , uno puede pensar en ella como un álgebra sobre el álgebra conmutativa K [ R ] . Como el centro de un álgebra matricial o álgebra de operadores son las matrices escalares, una K [ R ] -estructura en el álgebra matricial es una elección de matriz escalar - una elección de escala. Dada tal elección de escala, una representación central del grupo de Heisenberg es una función de K [ R ] -álgebras K [ H ] → A , que es la forma formal de decir que envía el centro a una escala elegida.

Entonces el teorema de Stone-von Neumann es que, dada la escala mecánica cuántica estándar (efectivamente, el valor de ħ), toda representación unitaria fuertemente continua es unitariamente equivalente a la representación estándar con posición y momento.

Reformulación mediante transformada de Fourier

Sea G un grupo abeliano localmente compacto y G ^{^} el dual de Pontryagin de G . La transformada de Fourier-Plancherel definida por se extiende a un C*-isomorfismo del C*-álgebra de grupo C*( G ) de G y C ₀ ( G ^{^} ) , es decir, el espectro de C*( G ) es precisamente G ^{^} . Cuando G es la línea real R , este es el teorema de Stone que caracteriza a los grupos unitarios de un parámetro. El teorema de Stone–von Neumann también se puede reformular utilizando un lenguaje similar. $${\displaystyle f\mapsto {\hat {f}}(\gamma )=\int _{G}{\overline {\gamma (t)}}f(t)d\mu (t)}$$

El grupo G actúa sobre la C *-álgebra C ₀ ( G ) por traslación derecha ρ : para s en G y f en C ₀ ( G ) , $${\displaystyle (s\cdot f)(t)=f(t+s).}$$

Bajo el isomorfismo dado anteriormente, esta acción se convierte en la acción natural de G sobre C*( G ^{^} ) : $${\displaystyle {\widehat {(s\cdot f)}}(\gamma )=\gamma (s){\hat {f}}(\gamma ).}$$

Por lo tanto, una representación covariante correspondiente al producto cruzado C * es una representación unitaria U ( s ) de G y V ( γ ) de G ^{^} tal que $${\displaystyle C^{*}\left({\hat {G}}\right)\rtimes _{\hat {\rho }}G}$$ $${\displaystyle U(s)V(\gamma )U^{*}(s)=\gamma (s)V(\gamma ).}$$

Es un hecho general que las representaciones covariantes están en correspondencia uno a uno con la *-representación del producto cruzado correspondiente. Por otra parte, todas las representaciones irreducibles de son unitariamente equivalentes a los operadores compactos en L ² ( G )) . Por lo tanto, todos los pares { U ( s ),  V ( γ )} son unitariamente equivalentes. Especializando al caso donde G = R se obtiene el teorema de Stone–von Neumann. $${\displaystyle C_{0}(G)\rtimes _{\rho }G}$$ ${\displaystyle {\mathcal {K}}\left(L^{2}(G)\right)}$

Grupo de Heisenberg

Las relaciones de conmutación canónicas anteriores para P , Q son idénticas a las relaciones de conmutación que especifican el álgebra de Lie del grupo general de Heisenberg H _{2 n +1} para n un entero positivo. Este es el grupo de Lie de matrices cuadradas ( n  + 2) × ( n  + 2) de la forma $${\displaystyle \mathrm {M} (a,b,c)={\begin{bmatrix}1&a&c\\0&1_{n}&b\\0&0&1\end{bmatrix}}.}$$

De hecho, utilizando el grupo de Heisenberg, se puede reformular el teorema de Stone von Neumann en el lenguaje de la teoría de la representación.

Obsérvese que el centro de H _2n+1 consta de matrices M(0, 0,  c ) . Sin embargo, este centro no es el operador identidad en los CCR originales de Heisenberg. Los generadores del álgebra de Lie del grupo de Heisenberg, por ejemplo para n = 1 , son y el generador central z = log M (0, 0, 1) = exp( z ) − 1 no es la identidad. $${\displaystyle {\begin{aligned}P&={\begin{bmatrix}0&1&0\\0&0&0\\0&0&0\end{bmatrix}},&Q&={\begin{bmatrix}0&0&0\\0&0&1\\0&0&0\end{bmatrix}},&z&={\begin{bmatrix}0&0&1\\0&0&0\\0&0&0\end{bmatrix}},\end{aligned}}}$$

Teorema  —  Para cada número real h distinto de cero existe una representación irreducible U _h que actúa sobre el espacio de Hilbert L 2 ( R ⁿ ) por $${\displaystyle \left[U_{h}(\mathrm {M} (a,b,c))\right]\psi (x)=e^{i(b\cdot x+hc)}\psi (x+ha).}$$

Todas estas representaciones son unitariamente inequívocas ; y cualquier representación irreducible que no sea trivial en el centro de H _n es unitariamente equivalente a exactamente una de ellas.

Obsérvese que U _h es un operador unitario porque es la composición de dos operadores que se ven fácilmente como unitarios: la traslación a la izquierda por ha y la multiplicación por una función de valor absoluto 1. Demostrar que U _h es multiplicativo es un cálculo sencillo. La parte difícil del teorema es demostrar la unicidad; esta afirmación, sin embargo, se desprende fácilmente del teorema de Stone-von Neumann como se indicó anteriormente. A continuación esbozaremos una prueba del teorema de Stone-von Neumann correspondiente para ciertos grupos finitos de Heisenberg.

En particular, las representaciones irreducibles π , π′ del grupo de Heisenberg H _n que no son triviales en el centro de H _n son unitariamente equivalentes si y sólo si π ( z ) = π′ ( z ) para cualquier z en el centro de H _n .

Una representación del grupo de Heisenberg que es importante en la teoría de números y la teoría de formas modulares es la representación theta , llamada así porque la función theta de Jacobi es invariante bajo la acción del subgrupo discreto del grupo de Heisenberg.

Relación con la transformada de Fourier

Para cualquier h no nulo , la aplicación es un automorfismo de H _n que es la identidad en el centro de H _n . En particular, las representaciones U _h y U _h α son unitariamente equivalentes. Esto significa que hay un operador unitario W en L ² ( R ⁿ ) tal que, para cualquier g en H _n , $${\displaystyle \alpha _{h}:\mathrm {M} (a,b,c)\to \mathrm {M} \left(-h^{-1}b,ha,c-a\cdot b\right)}$$ $${\displaystyle WU_{h}(g)W^{*}=U_{h}\alpha (g).}$$

Además, por irreducibilidad de las representaciones U _h , se sigue que hasta un escalar , tal operador W es único (cf. Lema de Schur ). Como W es unitario, este múltiplo escalar está determinado de manera única y, por lo tanto, tal operador W es único.

Teorema  —  El operador W es la transformada de Fourier en L ² ( R ⁿ ) .

Esto significa que, ignorando el factor de (2 π ) ^{n /2} en la definición de la transformada de Fourier, $${\displaystyle \int _{\mathbf {R} ^{n}}e^{-ix\cdot p}e^{i(b\cdot x+hc)}\psi (x+ha)\ dx=e^{i(ha\cdot p+h(c-b\cdot a))}\int _{\mathbf {R} ^{n}}e^{-iy\cdot (p-b)}\psi (y)\ dy.}$$

Este teorema tiene la implicación inmediata de que la transformada de Fourier es unitaria , también conocida como teorema de Plancherel . Además, $${\displaystyle (\alpha _{h})^{2}\mathrm {M} (a,b,c)=\mathrm {M} (-a,-b,c).}$$

Teorema  —  El operador W ₁ tal que es el operador de reflexión $${\displaystyle W_{1}U_{h}W_{1}^{*}=U_{h}\alpha ^{2}(g)}$$ $${\displaystyle [W_{1}\psi ](x)=\psi (-x).}$$

De este hecho se deduce fácilmente la fórmula de inversión de Fourier .

Ejemplo: espacio de Segal-Bargmann

El espacio de Segal-Bargmann es el espacio de funciones holomorfas en C ⁿ que son integrables al cuadrado con respecto a una medida gaussiana. Fock observó en la década de 1920 que los operadores que actúan sobre funciones holomorfas satisfacen las mismas relaciones de conmutación que los operadores de aniquilación y creación habituales, a saber: $${\displaystyle a_{j}={\frac {\partial }{\partial z_{j}}},\qquad a_{j}^{*}=z_{j},}$$ $${\displaystyle \left[a_{j},a_{k}^{*}\right]=\delta _{j,k}.}$$

En 1961, Bargmann demostró que una^*
_jes en realidad el adjunto de una _j con respecto al producto interno que proviene de la medida gaussiana. Al tomar combinaciones lineales apropiadas de una _j y una^*
_j, se pueden obtener entonces operadores de "posición" y "momento" que satisfacen las relaciones de conmutación canónicas. No es difícil demostrar que las exponenciales de estos operadores satisfacen las relaciones de Weyl y que los operadores exponenciados actúan de manera irreducible. ^{[6] : Sección 14.4} Por lo tanto, se aplica el teorema de Stone-von Neumann e implica la existencia de una función unitaria desde L ² ( R ⁿ ) hasta el espacio de Segal-Bargmann que entrelaza los operadores de aniquilación y creación habituales con los operadores a _j y a^*
_jEste mapa unitario es la transformada de Segal-Bargmann .

Representaciones de grupos finitos de Heisenberg

El grupo de Heisenberg H _n ( K ) se define para cualquier anillo conmutativo K . En esta sección, especialicémonos en el campo K = Z / p Z para p un primo. Este campo tiene la propiedad de que hay una incrustación ω de K como un grupo aditivo en el grupo circular T . Nótese que H _n ( K ) es finito con cardinalidad | K | ^{2 n  + 1} . Para el grupo de Heisenberg finito H _n ( K ) se puede dar una prueba simple del teorema de Stone–von Neumann usando propiedades simples de funciones de caracteres de representaciones. Estas propiedades se deducen de las relaciones de ortogonalidad para caracteres de representaciones de grupos finitos.

Para cualquier h distinto de cero en K, defina la representación U _h en el espacio de producto interno de dimensión finita ℓ ² ( K ⁿ ) por $${\displaystyle \left[U_{h}\mathrm {M} (a,b,c)\psi \right](x)=\omega (b\cdot x+hc)\psi (x+ha).}$$

Teorema  —  Para un h fijo distinto de cero , la función de carácter χ de U _h viene dada por: $${\displaystyle \chi (\mathrm {M} (a,b,c))={\begin{cases}|K|^{n}\,\omega (hc)&{\text{if }}a=b=0\\0&{\text{otherwise}}\end{cases}}}$$

Resulta que $${\displaystyle {\frac {1}{\left|H_{n}(\mathbf {K} )\right|}}\sum _{g\in H_{n}(K)}|\chi (g)|^{2}={\frac {1}{|K|^{2n+1}}}|K|^{2n}|K|=1.}$$

Por las relaciones de ortogonalidad para caracteres de representaciones de grupos finitos este hecho implica el teorema de Stone-von Neumann correspondiente para grupos de Heisenberg H _n ( Z / p Z ) , en particular:

• Irreducibilidad de U _h
• Inequivalencia por pares de todas las representaciones U _h .

En realidad, todas las representaciones irreducibles de H _n ( K ) sobre las que el centro actúa de manera no trivial surgen de esta manera. ^{[6] : Capítulo 14, Ejercicio 5}

Generalizaciones

El teorema de Stone-von Neumann admite numerosas generalizaciones. Gran parte del trabajo inicial de George Mackey estuvo dirigido a obtener una formulación ^[7] de la teoría de representaciones inducidas desarrollada originalmente por Frobenius para grupos finitos en el contexto de representaciones unitarias de grupos topológicos localmente compactos.

Véase también

• Representación del oscilador
• Transformada de Wigner-Weyl
• Álgebras CCR y CAR (para bosones y fermiones respectivamente)
• Espacio de Segal-Bargmann
• Producto Moyal
• Álgebra de Weyl
• Teorema de Stone sobre grupos unitarios de un parámetro
• Teorema de Hille-Yosida
• Semigrupo C0

Notas

1. [ x ⁿ ,  p ] = i  ℏ  nx ^{n  − 1} , por lo tanto 2‖ p ‖ ‖ x ‖ ⁿ ≥ n  ℏ ‖ x ‖ ^{n  − 1} , de modo que, ∀ n : 2‖ p ‖ ‖ x ‖ ≥ n  ℏ .

Referencias

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2. von Neumann, J. (1932), "Ueber Einen Satz Von Herrn MH Stone", Annals of Mathematics , segunda serie (en alemán), 33 (3), Annals of Mathematics: 567–573, doi :10.2307/1968535, ISSN  0003-486X, JSTOR  1968535
3. Stone, MH (1930), "Transformaciones lineales en el espacio de Hilbert. III. Métodos operacionales y teoría de grupos", Actas de la Academia Nacional de Ciencias de los Estados Unidos de América , 16 (2), National Academy of Sciences: 172–175, Bibcode :1930PNAS...16..172S, doi : 10.1073/pnas.16.2.172 , ISSN  0027-8424, JSTOR  85485, PMC 1075964 , PMID  16587545 
4. Stone, MH (1932), "Sobre grupos unitarios de un parámetro en el espacio de Hilbert", Annals of Mathematics , 33 (3): 643–648, doi :10.2307/1968538, JSTOR  1968538
5. Weyl, H. (1927), "Quantenmechanik und Gruppentheorie", Zeitschrift für Physik , 46 (1927) págs. 1–46, doi :10.1007/BF02055756; Weyl, H., La teoría de los grupos y la mecánica cuántica , Publicaciones de Dover, 1950, ISBN 978-1-163-18343-4 . 
6. Hall, BC (2013), Teoría cuántica para matemáticos , Textos de posgrado en matemáticas, vol. 267, Springer, ISBN 978-1461471158
7. Mackey, GW (1976). La teoría de las representaciones de grupos unitarios , The University of Chicago Press, 1976.

• Kirillov, AA (1976), Elementos de la teoría de las representaciones , Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, vol. 220, Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-07476-4, Sr.  0407202
• Rosenberg, Jonathan (2004) "Una historia selectiva del teorema de Stone-von Neumann" Contemporary Mathematics 365 . Sociedad Matemática Americana.
• Summers, Stephen J. (2001). "Sobre el teorema de unicidad de Stone-von Neumann y sus ramificaciones". En John von Neumann y los fundamentos de la física cuántica , pp. 135-152. Springer, Dordrecht, 2001, en línea.