Flujo de Stokes

Tipo de flujo de fluido

Un objeto que se mueve a través de un gas o líquido experimenta una fuerza en dirección opuesta a su movimiento. La velocidad terminal se alcanza cuando la fuerza de arrastre es igual en magnitud pero opuesta en dirección a la fuerza que impulsa el objeto. Se muestra una esfera en flujo de Stokes, con un número de Reynolds muy bajo .

El flujo de Stokes (llamado así por George Gabriel Stokes ), también llamado flujo reptante o movimiento reptante , ^[1] es un tipo de flujo de fluido donde las fuerzas inerciales advectivas son pequeñas en comparación con las fuerzas viscosas . ^[2] El número de Reynolds es bajo, es decir . Esta es una situación típica en flujos donde las velocidades del fluido son muy lentas, las viscosidades son muy grandes o las escalas de longitud del flujo son muy pequeñas. El flujo reptante se estudió por primera vez para comprender la lubricación . En la naturaleza, este tipo de flujo ocurre en la natación de microorganismos y espermatozoides . ^[3] En tecnología, ocurre en pintura , dispositivos MEMS y en el flujo de polímeros viscosos en general. ${\displaystyle \mathrm {Re} \ll 1}$

Las ecuaciones de movimiento para el flujo de Stokes, llamadas ecuaciones de Stokes, son una linealización de las ecuaciones de Navier-Stokes y, por lo tanto, se pueden resolver mediante varios métodos bien conocidos para ecuaciones diferenciales lineales. ^[4] La función de Green principal del flujo de Stokes es la Stokeslet , que está asociada con una fuerza puntual singular incrustada en un flujo de Stokes. A partir de sus derivadas, se pueden obtener otras soluciones fundamentales . ^[5] La Stokeslet fue derivada por primera vez por Oseen en 1927, aunque no fue nombrada como tal hasta 1953 por Hancock. ^{[6] Las} soluciones fundamentales de forma cerrada para los flujos de Stokes y Oseen inestables generalizados asociados con movimientos de traslación y rotación arbitrarios dependientes del tiempo se han derivado para los fluidos newtonianos ^[7] y micropolares ^[8] .

Ecuaciones de Stokes

La ecuación de movimiento para el flujo de Stokes se puede obtener linealizando las ecuaciones de Navier-Stokes en estado estacionario . Se supone que las fuerzas inerciales son despreciables en comparación con las fuerzas viscosas, y la eliminación de los términos inerciales del equilibrio de momento en las ecuaciones de Navier-Stokes lo reduce al equilibrio de momento en las ecuaciones de Stokes: ^[1]

${\displaystyle {\boldsymbol {\nabla }}\cdot \sigma +\mathbf {f} ={\boldsymbol {0}}}$

donde es la tensión (suma de las tensiones viscosas y de presión), ^{[9] [10]} y una fuerza corporal aplicada. Las ecuaciones de Stokes completas también incluyen una ecuación para la conservación de la masa , comúnmente escrita en la forma: ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle \mathbf {f} }$

${\displaystyle {\frac {\partial \rho }{\partial t}}+\nabla \cdot (\rho \mathbf {u} )=0}$

donde es la densidad del fluido y la velocidad del fluido. Para obtener las ecuaciones de movimiento para flujo incompresible, se supone que la densidad, , es constante. ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle \mathbf {u} }$ ${\displaystyle \rho }$

Además, ocasionalmente se podrían considerar las ecuaciones de Stokes inestables, en las que el término se agrega al lado izquierdo de la ecuación de equilibrio de momento. ^[1] ${\displaystyle \rho {\frac {\partial \mathbf {u} }{\partial t}}}$

Propiedades

Las ecuaciones de Stokes representan una simplificación considerable de las ecuaciones completas de Navier-Stokes , especialmente en el caso newtoniano incompresible. ^{[2] [4] [9] [10]} Son la simplificación de primer orden de las ecuaciones completas de Navier-Stokes, válidas en el límite distinguido ${\displaystyle \mathrm {Re} \to 0.}$

Instantaneidad

Un flujo de Stokes no depende del tiempo, salvo a través de condiciones de contorno dependientes del tiempo . Esto significa que, dadas las condiciones de contorno de un flujo de Stokes, el flujo se puede encontrar sin saber si existe flujo en ningún otro momento.

Reversibilidad temporal

Una consecuencia inmediata de la instantaneidad, la reversibilidad temporal, significa que un flujo de Stokes invertido en el tiempo resuelve las mismas ecuaciones que el flujo de Stokes original. Esta propiedad a veces se puede utilizar (junto con la linealidad y la simetría en las condiciones de contorno) para derivar resultados sobre un flujo sin resolverlo por completo. La reversibilidad temporal significa que es difícil mezclar dos fluidos utilizando un flujo progresivo.

Reversibilidad temporal de los flujos de Stokes: se ha inyectado un colorante en un fluido viscoso intercalado entre dos cilindros concéntricos (panel superior). A continuación, se hace girar el cilindro central para cortar el colorante en una espiral, como se ve desde arriba. El colorante parece estar mezclado con el fluido visto desde un lado (panel central). A continuación, se invierte la rotación para llevar el cilindro a su posición original. El colorante se "desmezcla" (panel inferior). La inversión no es perfecta porque se produce cierta difusión del colorante. ^{[11] [12]}

Si bien estas propiedades son verdaderas para los flujos de Stokes newtonianos incompresibles, la naturaleza no lineal y a veces dependiente del tiempo de los fluidos no newtonianos significa que no se cumplen en el caso más general.

Paradoja de Stokes

Una propiedad interesante del flujo de Stokes se conoce como la paradoja de Stokes : no puede haber flujo de Stokes de un fluido alrededor de un disco en dos dimensiones; o, equivalentemente, el hecho de que no existe una solución no trivial para las ecuaciones de Stokes alrededor de un cilindro infinitamente largo. ^[13]

Demostración de reversibilidad temporal

Un sistema de Taylor-Couette puede crear flujos laminares en los que cilindros concéntricos de fluido se mueven uno al lado del otro en una espiral aparente. ^[14] Un fluido como el jarabe de maíz con alta viscosidad llena el espacio entre dos cilindros, con regiones coloreadas del fluido visibles a través del cilindro exterior transparente. Los cilindros giran uno con respecto al otro a baja velocidad, lo que junto con la alta viscosidad del fluido y la delgadez del espacio da como resultado un número de Reynolds bajo , de modo que la mezcla aparente de colores es en realidad laminar y luego se puede revertir a aproximadamente el estado inicial. Esto crea una demostración dramática de la aparente mezcla de un fluido y luego su desmezcla invirtiendo la dirección del mezclador. ^{[15] [16] [17]}

Flujo incompresible de fluidos newtonianos

En el caso común de un fluido newtoniano incompresible , las ecuaciones de Stokes toman la forma (vectorizada):

${\displaystyle {\begin{aligned}\mu \nabla ^{2}\mathbf {u} -{\boldsymbol {\nabla }}p+\mathbf {f} &={\boldsymbol {0}}\\{\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {u} &=0\end{aligned}}}$

donde es la velocidad del fluido, es el gradiente de presión , es la viscosidad dinámica y es una fuerza aplicada al cuerpo. Las ecuaciones resultantes son lineales en velocidad y presión y, por lo tanto, pueden aprovechar una variedad de solucionadores de ecuaciones diferenciales lineales. ^[4] ${\displaystyle \mathbf {u} }$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\nabla }}p}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \mathbf {f} }$

Coordenadas cartesianas

Con el vector de velocidad expandido como y de manera similar el vector de fuerza del cuerpo , podemos escribir la ecuación vectorial explícitamente, ${\displaystyle \mathbf {u} =(u,v,w)}$ ${\displaystyle \mathbf {f} =(f_{x},f_{y},f_{z})}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\mu \left({\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}u}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}u}{\partial z^{2}}}\right)-{\frac {\partial p}{\partial x}}+f_{x}&=0\\\mu \left({\frac {\partial ^{2}v}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}v}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}v}{\partial z^{2}}}\right)-{\frac {\partial p}{\partial y}}+f_{y}&=0\\\mu \left({\frac {\partial ^{2}w}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}w}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}w}{\partial z^{2}}}\right)-{\frac {\partial p}{\partial z}}+f_{z}&=0\\{\partial u \over \partial x}+{\partial v \over \partial y}+{\partial w \over \partial z}&=0\end{aligned}}}$

Llegamos a estas ecuaciones suponiendo que y la densidad es constante. ^[9] ${\displaystyle \mathbb {P} =\mu \left({\boldsymbol {\nabla }}\mathbf {u} +({\boldsymbol {\nabla }}\mathbf {u} )^{\mathsf {T}}\right)-p\mathbb {I} }$ ${\displaystyle \rho }$

Métodos de solución

Por función de flujo

La ecuación para un flujo de Stokes newtoniano incompresible se puede resolver mediante el método de la función de corriente en casos planos o axisimétricos tridimensionales.

Por la función de Green: el Stokeslet

La linealidad de las ecuaciones de Stokes en el caso de un fluido newtoniano incompresible significa que existe una función de Green , . La función de Green se obtiene resolviendo las ecuaciones de Stokes con el término de fuerza reemplazado por una fuerza puntual que actúa en el origen y las condiciones de contorno que se desvanecen en el infinito: ${\displaystyle \mathbb {J} (\mathbf {r} )}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\mu \nabla ^{2}\mathbf {u} -{\boldsymbol {\nabla }}p&=-\mathbf {F} \cdot \mathbf {\delta } (\mathbf {r} )\\{\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {u} &=0\\|\mathbf {u} |,p&\to 0\quad {\mbox{as}}\quad r\to \infty \end{aligned}}}$

donde es la función delta de Dirac y representa una fuerza puntual que actúa en el origen. La solución para la presión p y la velocidad u con | u | y p desvaneciéndose en el infinito está dada por ^[1] ${\displaystyle \mathbf {\delta } (\mathbf {r} )}$ ${\displaystyle \mathbf {F} \cdot \delta (\mathbf {r} )}$

${\displaystyle \mathbf {u} (\mathbf {r} )=\mathbf {F} \cdot \mathbb {J} (\mathbf {r} ),\qquad p(\mathbf {r} )={\frac {\mathbf {F} \cdot \mathbf {r} }{4\pi |\mathbf {r} |^{3}}}}$

dónde

${\displaystyle \mathbb {J} (\mathbf {r} )={1 \over 8\pi \mu }\left({\frac {\mathbb {I} }{|\mathbf {r} |}}+{\frac {\mathbf {r} \mathbf {r} }{|\mathbf {r} |^{3}}}\right)}$

es un tensor de segundo rango (o más precisamente, un campo tensorial ) conocido como tensor de Oseen (en honor a Carl Wilhelm Oseen ). Aquí, r r es una cantidad tal que . ^{[ aclaración necesaria ]} ${\displaystyle \mathbf {F} \cdot (\mathbf {r} \mathbf {r} )=(\mathbf {F} \cdot \mathbf {r} )\mathbf {r} }$

Los términos solución de Stokeslet y solución de fuerza puntual se utilizan para describir . De manera análoga a la carga puntual en electrostática , la solución de Stokeslet no tiene fuerza en ningún lugar excepto en el origen, donde contiene una fuerza de intensidad . ${\displaystyle \mathbf {F} \cdot \mathbb {J} (\mathbf {r} )}$ ${\displaystyle \mathbf {F} }$

Para una distribución de fuerza continua (densidad), la solución (que nuevamente desaparece en el infinito) puede construirse por superposición: ${\displaystyle \mathbf {f} (\mathbf {r} )}$

${\displaystyle \mathbf {u} (\mathbf {r} )=\int \mathbf {f} \left(\mathbf {r'} \right)\cdot \mathbb {J} \left(\mathbf {r} -\mathbf {r'} \right)\mathrm {d} \mathbf {r'} ,\qquad p(\mathbf {r} )=\int {\frac {\mathbf {f} \left(\mathbf {r'} \right)\cdot \left(\mathbf {r} -\mathbf {r'} \right)}{4\pi \left|\mathbf {r} -\mathbf {r'} \right|^{3}}}\,\mathrm {d} \mathbf {r'} }$

Esta representación integral de la velocidad puede verse como una reducción de la dimensionalidad: de la ecuación diferencial parcial tridimensional a una ecuación integral bidimensional para densidades desconocidas. ^[1]

Por la solución Papkovich-Neuber

La solución de Papkovich-Neuber representa los campos de velocidad y presión de un flujo de Stokes newtoniano incompresible en términos de dos potenciales armónicos .

Por el método de elementos de contorno

Ciertos problemas, como la evolución de la forma de una burbuja en un flujo de Stokes, son susceptibles de solución numérica mediante el método de elementos de contorno . Esta técnica puede aplicarse tanto a flujos bidimensionales como tridimensionales.

Algunas geometrías

Flujo de Hele-Shaw

El flujo de Hele-Shaw es un ejemplo de una geometría en la que las fuerzas de inercia son despreciables. Se define por dos placas paralelas dispuestas muy juntas, con el espacio entre ellas ocupado en parte por fluido y en parte por obstáculos en forma de cilindros con generadores normales a las placas. ^[9]

Teoría del cuerpo esbelto

La teoría de cuerpos esbeltos en el flujo de Stokes es un método aproximado simple para determinar el campo de flujo irrotacional alrededor de cuerpos cuya longitud es grande en comparación con su ancho. La base del método es elegir una distribución de singularidades de flujo a lo largo de una línea (ya que el cuerpo es esbelto) de modo que su flujo irrotacional en combinación con una corriente uniforme satisfaga aproximadamente la condición de velocidad normal cero. ^[9]

Coordenadas esféricas

La solución general de Lamb surge del hecho de que la presión satisface la ecuación de Laplace y puede expandirse en una serie de armónicos esféricos sólidos en coordenadas esféricas. Como resultado, la solución de las ecuaciones de Stokes puede escribirse: ${\displaystyle p}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {u} &=\sum _{n=-\infty ,n\neq -1}^{n=\infty }\left[{\frac {(n+3)r^{2}\nabla p_{n}}{2\mu (n+1)(2n+3)}}-{\frac {n\mathbf {x} p_{n}}{\mu (n+1)(2n+3)}}\right]+...\\\sum _{n=-\infty }^{n=\infty }[\nabla \Phi _{n}+\nabla \times (\mathbf {x} \chi _{n})]\\p&=\sum _{n=-\infty }^{n=\infty }p_{n}\end{aligned}}}$

donde y son armónicos esféricos sólidos de orden : ${\displaystyle p_{n},\Phi _{n},}$ ${\displaystyle \chi _{n}}$ ${\displaystyle n}$

${\displaystyle {\begin{aligned}p_{n}&=r^{n}\sum _{m=0}^{m=n}P_{n}^{m}(\cos \theta )(a_{mn}\cos m\phi +{\tilde {a}}_{mn}\sin m\phi )\\\Phi _{n}&=r^{n}\sum _{m=0}^{m=n}P_{n}^{m}(\cos \theta )(b_{mn}\cos m\phi +{\tilde {b}}_{mn}\sin m\phi )\\\chi _{n}&=r^{n}\sum _{m=0}^{m=n}P_{n}^{m}(\cos \theta )(c_{mn}\cos m\phi +{\tilde {c}}_{mn}\sin m\phi )\end{aligned}}}$

y son los polinomios de Legendre asociados . La solución de Lamb se puede utilizar para describir el movimiento de un fluido tanto dentro como fuera de una esfera. Por ejemplo, se puede utilizar para describir el movimiento de un fluido alrededor de una partícula esférica con un flujo superficial prescrito, un llamado squirmer , o para describir el flujo dentro de una gota esférica de fluido. Para los flujos interiores, se eliminan los términos con , mientras que para los flujos exteriores se eliminan los términos con (a menudo se asume la convención para los flujos exteriores para evitar la indexación por números negativos). ^[1] ${\displaystyle P_{n}^{m}}$ ${\displaystyle n<0}$ ${\displaystyle n>0}$ ${\displaystyle n\to -n-1}$

Teoremas

Solución de Stokes y teorema de Helmholtz relacionado

En este artículo se resume la resistencia de arrastre de una esfera en movimiento, también conocida como solución de Stokes. Dada una esfera de radio , que se desplaza a una velocidad , en un fluido de Stokes con viscosidad dinámica , la fuerza de arrastre viene dada por: ^[9] ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle F_{D}}$

${\displaystyle F_{D}=6\pi \mu aU}$

La solución de Stokes disipa menos energía que cualquier otro campo vectorial solenoidal con las mismas velocidades límite: esto se conoce como el teorema de disipación mínima de Helmholtz . ^[1]

Teorema recíproco de Lorentz

El teorema recíproco de Lorentz establece una relación entre dos flujos de Stokes en la misma región. Considere una región llena de fluido delimitada por la superficie . Sean los campos de velocidad y resuelva las ecuaciones de Stokes en el dominio , cada una con los campos de tensión correspondientes y . Entonces se cumple la siguiente igualdad: ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \mathbf {u} }$ ${\displaystyle \mathbf {u} '}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \mathbf {\sigma } }$ ${\displaystyle \mathbf {\sigma } '}$

${\displaystyle \int _{S}\mathbf {u} \cdot ({\boldsymbol {\sigma }}'\cdot \mathbf {n} )dS=\int _{S}\mathbf {u} '\cdot ({\boldsymbol {\sigma }}\cdot \mathbf {n} )dS}$

¿Dónde está la unidad normal en la superficie ? El teorema recíproco de Lorentz se puede utilizar para demostrar que el flujo de Stokes "transmite" sin cambios la fuerza total y el par de torsión desde una superficie cerrada interna a una superficie envolvente externa. ^[1] El teorema recíproco de Lorentz también se puede utilizar para relacionar la velocidad de nado de un microorganismo, como una cianobacteria , con la velocidad de la superficie que está prescrita por deformaciones de la forma del cuerpo a través de cilios o flagelos . ^[19] El teorema recíproco de Lorentz también se ha utilizado en el contexto de la teoría elastohidrodinámica para derivar la fuerza de sustentación ejercida sobre un objeto sólido que se mueve tangente a la superficie de una interfaz elástica a números de Reynolds bajos . ^{[20] [21]} ${\displaystyle \mathbf {n} }$ ${\displaystyle S}$

Leyes de Faxén

Las leyes de Faxén son relaciones directas que expresan los momentos multipolares en función del flujo ambiental y sus derivadas. Desarrolladas por primera vez por Hilding Faxén para calcular la fuerza, y el par, sobre una esfera, tienen la siguiente forma: ${\displaystyle \mathbf {F} }$ ${\displaystyle \mathbf {T} }$

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {F} &=6\pi \mu a\left(1+{\frac {a^{2}}{6}}\nabla ^{2}\right)\mathbf {v} ^{\infty }(\mathbf {x} )|_{x=0}-6\pi \mu a\mathbf {U} \\\mathbf {T} &=8\pi \mu a^{3}(\mathbf {\Omega } ^{\infty }(\mathbf {x} )-\mathbf {\omega } )|_{x=0}\end{aligned}}}$

donde es la viscosidad dinámica, es el radio de la partícula, es el flujo ambiental, es la velocidad de la partícula, es la velocidad angular del flujo de fondo y es la velocidad angular de la partícula. ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle \mathbf {v} ^{\infty }}$ ${\displaystyle \mathbf {U} }$ ${\displaystyle \mathbf {\Omega } ^{\infty }}$ ${\displaystyle \mathbf {\omega } }$

Las leyes de Faxén pueden generalizarse para describir los momentos de otras formas, como elipsoides, esferoides y gotas esféricas. ^[1]

Véase también

• Ley de Stokes
• Teorema de disipación mínima de Helmholtz
• Ley de Darcy
• Flujo de Hele-Shaw
• Flujo de raspado de Taylor
• Flujo laminar
• Teoría de la lubricación
• Ecuaciones de Oseen
• Poiseuille
• Teoría del cuerpo esbelto
• Caudal volumétrico
• Ley de Faxén

Referencias

1. Kim, S. y Karrila, SJ (2005) Microhidrodinámica: principios y aplicaciones seleccionadas , Dover. ISBN  0-486-44219-5 .
2. Kirby, BJ (2010). Mecánica de fluidos a escala micro y nanométrica: transporte en dispositivos microfluídicos. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-11903-0Archivado desde el original el 28 de abril de 2019. Consultado el 15 de enero de 2010 .
3. Dusenbery, David B. (2009). Vivir a escala micro . Harvard University Press, Cambridge, Massachusetts ISBN 978-0-674-03116-6 
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5. Chwang, A. y Wu, T. (1974). "Hidromecánica del flujo con bajo número de Reynolds. Parte 2. Método de singularidad para flujos de Stokes" Archivado el 7 de marzo de 2012 en Wayback Machine . J. Fluid Mech. 62 (6), parte 4, 787–815.
6. Brennen, Christopher E. "Singularities in Stokes' Flow" (PDF) . caltech.edu . p. 1. Archivado desde el original (PDF) el 10 de septiembre de 2021 . Consultado el 18 de julio de 2021 .
7. Shu, Jian-Jun; Chwang, Allen T. (2001). "Soluciones fundamentales generalizadas para flujos viscosos inestables". Physical Review E . 63 (5): 051201. arXiv : 1403.3247 . Bibcode :2001PhRvE..63e1201S. doi :10.1103/PhysRevE.63.051201. PMID  11414893. S2CID  22258027.
8. Shu, Jian-Jun; Lee, JS (2008). "Soluciones fundamentales para fluidos micropolares". Journal of Engineering Mathematics . 61 (1): 69–79. arXiv : 1402.5023 . Código Bibliográfico :2008JEnMa..61...69S. doi :10.1007/s10665-007-9160-8. S2CID  3450011.
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• Ockendon, H. y Ockendon JR (1995) Flujo viscoso , Cambridge University Press. ISBN 0-521-45881-1 . 

Enlaces externos

• Demostración en video de la reversibilidad temporal del flujo de Stokes por parte de Física y Astronomía de la UNM