ley de faxen

En dinámica de fluidos , las leyes de Faxén relacionan la velocidad y la velocidad angular de una esfera con las fuerzas, el par, la tensión y el flujo que experimenta en condiciones de bajo número de Reynolds (flujo progresivo). ${\displaystyle \mathbf {U} }$ ${\displaystyle \mathbf {\Omega } }$

primera ley

La primera ley de Faxen fue introducida en 1922 por el físico sueco Hilding Faxén , que en ese momento trabajaba en la Universidad de Uppsala , y viene dada por ^{[1] [2]}

${\displaystyle \mathbf {F} =6\pi \mu a\left[\left(1+{\frac {a^{2}}{6}}\nabla ^{2}\right)\mathbf {u} '-(\mathbf {U} -\mathbf {u} ^{\infty })\right],}$

dónde

• ${\displaystyle \mathbf {F} }$es la fuerza que ejerce el fluido sobre la esfera
• ${\displaystyle \mu }$es la viscosidad newtoniana del disolvente en el que se coloca la esfera
• ${\displaystyle a}$es el radio de la esfera
• ${\displaystyle \mathbf {U} }$es la velocidad (traslacional) de la esfera
• ${\displaystyle \mathbf {u} '}$es la velocidad de perturbación causada por las otras esferas en suspensión (no por el flujo impreso de fondo), evaluada en el centro de la esfera
• ${\displaystyle \mathbf {u} ^{\infty }}$es el flujo impreso de fondo, evaluado en el centro de la esfera (establecido en cero en algunas referencias).

También se puede escribir en la forma

${\displaystyle \mathbf {U} -\mathbf {u} ^{\infty }=\mathbf {u} '+b_{0}\mathbf {F} +{\frac {a^{2}}{6}}\nabla ^{2}\mathbf {u} ',}$

¿Dónde está la movilidad hidrodinámica? ${\displaystyle b_{0}=-{\frac {1}{6\pi \mu a}}}$

En el caso de que el gradiente de presión sea pequeño en comparación con la escala de longitud del diámetro de la esfera, y cuando no exista fuerza externa, los dos últimos términos de esta forma pueden despreciarse. En este caso, el flujo de fluido externo simplemente advecta la esfera.

Segunda ley

La segunda ley de Faxen viene dada por ^{[1] [2]}

${\displaystyle \mathbf {T} =8\pi \mu a^{3}\left[{\frac {1}{2}}\left({\boldsymbol {\nabla }}\times \mathbf {u} '\right)-(\mathbf {\Omega } -\mathbf {\Omega } ^{\infty })\right],}$

dónde

• ${\displaystyle \mathbf {T} }$es el par ejercido por el fluido sobre la esfera
• ${\displaystyle \mathbf {\Omega } }$es la velocidad angular de la esfera
• ${\displaystyle \mathbf {\Omega } ^{\infty }}$es la velocidad angular del flujo de fondo, evaluada en el centro de la esfera (establecida en cero en algunas referencias).

'Tercera ley'

Batchelor y Green ^[3] derivaron una ecuación para el estrés, dada por ^{[1] [2]}

${\displaystyle {\boldsymbol {\mathsf {S}}}={\frac {10}{3}}\pi \mu a^{3}\left[2{\boldsymbol {\mathsf {E}}}^{\infty }+\left(1+{\frac {1}{10}}a^{2}\nabla ^{2}\right)\left({\boldsymbol {\nabla }}\mathbf {u} '+({\boldsymbol {\nabla }}\mathbf {u} ')^{\mathrm {T} }\right)\right],}$

dónde

• ${\displaystyle {\boldsymbol {\mathsf {S}}}}$es la tensión (parte simétrica del primer momento de fuerza) ejercida por el fluido sobre la esfera,
• ${\displaystyle {\boldsymbol {\nabla }}\mathbf {u} '}$es el tensor de gradiente de velocidad; representa transponer; y también lo es la tasa de deformación o deformación del tensor. ${\displaystyle {}^{\mathrm {T} }}$ ${\displaystyle {\frac {1}{2}}\left[{\boldsymbol {\nabla }}\mathbf {u} '+({\boldsymbol {\nabla }}\mathbf {u} ')^{\mathrm {T} }\right]}$
• ${\displaystyle {\boldsymbol {\mathsf {E}}}^{\infty }={\frac {1}{2}}\left[{\boldsymbol {\nabla }}\mathbf {u} ^{\infty }+({\boldsymbol {\nabla }}\mathbf {u} ^{\infty })^{\mathrm {T} }\right]}$es la tasa de deformación del flujo de fondo, evaluada en el centro de la esfera (establecida en cero en algunas referencias).

Tenga en cuenta que no hay tasa de deformación sobre la esfera (no ) ya que se supone que las esferas son rígidas. ${\displaystyle {\boldsymbol {\mathsf {E}}}}$

La ley de Faxén es una corrección de la ley de Stokes para la fricción sobre objetos esféricos en un fluido viscoso , válida cuando el objeto se mueve cerca de una pared del recipiente. ^[4]

Ver también

• Método de límite sumergido

Notas

1. Chen, Shing Bor; Sí, Xiangnan (2000). "Leyes de Faxen de una esfera compuesta en condiciones de flujo progresivo". Revista de ciencia de interfaces y coloides . 221 (1): 50–57. Código Bib : 2000JCIS..221...50C. doi :10.1006/jcis.1999.6552. PMID  10623451.
2. Durlofsky, Louis, John F. Brady y Georges Bossis. "Simulación dinámica de partículas que interactúan hidrodinámicamente". Revista de mecánica de fluidos 180.1 (1987): 21–49 doi :10.1017/S002211208700171X, ecuaciones (2.15a, b, c). Tenga en cuenta el cambio de signo.
3. Licenciado, GK; Verde, JT (1972). "La interacción hidrodinámica de dos pequeñas esferas que se mueven libremente en un campo de flujo lineal". J. Mec. de fluidos . 56 (2): 375–400. Código bibliográfico : 1972JFM....56..401B. doi :10.1017/S0022112072002435. S2CID  122635399.
4. Mediciones de moléculas individuales y motores biológicos - Glosario Archivado el 3 de septiembre de 2007 en Wayback Machine , consultado el 12 de mayo de 2009

Referencias

• Faxén, H. (1922), "Der Widerstand gegen die Bewegung einer starren Kugel in einer zähen Flüssigkeit, die zwischen zwei paralelon ebenen Wänden eingeschlossen ist", Annalen der Physik , 373 (10): 89–119, Bibcode :1922AnP.. .373...89F, doi :10.1002/andp.19223731003
• Happel, J.; Brenner, H. (1991), Hidrodinámica de bajo número de Reynolds , Dordrecht: Kluwer