Derivación de las ecuaciones de Navier-Stokes

Ecuaciones de dinámica de fluidos

La derivación de las ecuaciones de Navier-Stokes , así como su aplicación y formulación para diferentes familias de fluidos , es un ejercicio importante en dinámica de fluidos con aplicaciones en ingeniería mecánica , física , química , transferencia de calor e ingeniería eléctrica . Una prueba que explique las propiedades y los límites de las ecuaciones, como la existencia y suavidad de Navier-Stokes , es uno de los problemas importantes sin resolver en matemáticas . ^[1]

Supuestos básicos

Las ecuaciones de Navier-Stokes se basan en el supuesto de que el fluido, en la escala de interés, es un continuo , es decir, una sustancia continua en lugar de partículas discretas. Otro supuesto necesario es que todos los campos de interés, incluidos la presión , la velocidad del flujo , la densidad y la temperatura , son al menos débilmente diferenciables .

Las ecuaciones se derivan de los principios básicos de continuidad de la masa , conservación del momento y conservación de la energía . A veces es necesario considerar un volumen arbitrario finito, llamado volumen de control , sobre el cual se pueden aplicar estos principios. Este volumen finito se denota por Ω y su superficie límite ∂Ω . El volumen de control puede permanecer fijo en el espacio o puede moverse con el fluido.

El derivado material

Los cambios en las propiedades de un fluido en movimiento se pueden medir de dos maneras diferentes. Se puede medir una propiedad dada ya sea realizando la medición en un punto fijo en el espacio a medida que las partículas del fluido pasan por él, o siguiendo una parcela de fluido a lo largo de su línea de corriente . La derivada de un campo con respecto a una posición fija en el espacio se denomina derivada euleriana , mientras que la derivada que sigue una parcela en movimiento se denomina derivada advectiva o material (o lagrangiana ^[2] ).

La derivada material se define como el operador no lineal :

${\displaystyle {\frac {D}{Dt}}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ {\frac {\partial }{\partial t}}+\mathbf {u} \cdot \nabla }$

donde u es la velocidad del flujo. El primer término del lado derecho de la ecuación es la derivada euleriana ordinaria (la derivada en un sistema de referencia fijo, que representa los cambios en un punto con respecto al tiempo), mientras que el segundo término representa los cambios de una cantidad con respecto a la posición (véase advección ). Esta derivada "especial" es, de hecho, la derivada ordinaria de una función de muchas variables a lo largo de una trayectoria que sigue el movimiento del fluido; puede obtenerse mediante la aplicación de la regla de la cadena en la que se comprueba si todas las variables independientes cambian a lo largo de la trayectoria (es decir, la derivada total ).

Por ejemplo, la medición de los cambios en la velocidad del viento en la atmósfera se puede obtener con la ayuda de un anemómetro en una estación meteorológica o mediante la observación del movimiento de un globo meteorológico. En el primer caso, el anemómetro mide la velocidad de todas las partículas en movimiento que pasan por un punto fijo en el espacio, mientras que en el segundo caso, el instrumento mide los cambios en la velocidad a medida que se mueve con la corriente.

Ecuaciones de continuidad

La ecuación de Navier-Stokes es una ecuación de continuidad especial . Una ecuación de continuidad puede derivarse de los principios de conservación de:

• masa ,
• impulso ,
• energía .

Una ecuación de continuidad (o ley de conservación ) es una relación integral que establece que la tasa de cambio de alguna propiedad integrada φ definida sobre un volumen de control Ω debe ser igual a la tasa a la que se pierde o se gana a través de los límites Γ del volumen más la tasa a la que se crea o se consume por fuentes y sumideros dentro del volumen. Esto se expresa mediante la siguiente ecuación de continuidad integral:

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\int _{\Omega }\varphi \ d\Omega =-\int _{\Gamma }\varphi \mathbf {u\cdot n} \ d\Gamma -\int _{\Omega }s\ d\Omega }$

donde u es la velocidad de flujo del fluido, n es el vector normal unitario que apunta hacia afuera y s representa las fuentes y los sumideros en el flujo, tomando los sumideros como positivos.

El teorema de divergencia se puede aplicar a la integral de superficie , transformándola en una integral de volumen :

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\int _{\Omega }\varphi \ d\Omega =-\int _{\Omega }\nabla \cdot (\varphi \mathbf {u} )\ d\Omega -\int _{\Omega }s\ d\Omega .}$

Aplicando el teorema de transporte de Reynolds a la integral de la izquierda y luego combinando todas las integrales:

${\displaystyle \int _{\Omega }{\frac {\partial \varphi }{\partial t}}\ d\Omega =-\int _{\Omega }\nabla \cdot (\varphi \mathbf {u} )\ d\Omega -\int _{\Omega }s\ d\Omega \quad \Rightarrow \quad \int _{\Omega }\left({\frac {\partial \varphi }{\partial t}}+\nabla \cdot (\varphi \mathbf {u} )+s\right)d\Omega =0.}$

La integral debe ser cero para cualquier volumen de control; esto sólo puede ser cierto si el integrando mismo es cero, de modo que:

${\displaystyle {\frac {\partial \varphi }{\partial t}}+\nabla \cdot (\varphi \mathbf {u} )+s=0.}$

A partir de esta valiosa relación (una ecuación de continuidad muy genérica ), se pueden escribir de manera concisa tres conceptos importantes: conservación de la masa, conservación del momento y conservación de la energía. La validez se mantiene si φ es un vector, en cuyo caso el producto vector-vector en el segundo término será una díada .

Conservación de la masa

También se puede considerar la masa. Cuando se considera la propiedad intensiva φ como la masa, por sustitución en la ecuación general de continuidad y tomando s = 0 (sin fuentes ni sumideros de masa):

${\displaystyle {\frac {\partial \rho }{\partial t}}+\nabla \cdot (\rho \mathbf {u} )=0}$

donde ρ es la densidad de masa (masa por unidad de volumen) y u es la velocidad del flujo. Esta ecuación se denomina ecuación de continuidad de masa o simplemente ecuación de continuidad. Esta ecuación generalmente acompaña a la ecuación de Navier-Stokes.

En el caso de un fluido incompresible ,Dρ/Dt⁠ = 0 (la densidad que sigue la trayectoria de un elemento fluido es constante) y la ecuación se reduce a:

${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {u} =0}$

lo cual es de hecho una afirmación de la conservación del volumen.

Conservación del momento

Se obtiene una ecuación general de momento cuando se aplica la relación de conservación al momento. Cuando se considera la propiedad intensiva φ como el flujo de masa (también densidad de momento ), es decir, el producto de la densidad de masa por la velocidad de flujo ρ u , por sustitución en la ecuación general de continuidad:

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial t}}(\rho \mathbf {u} )+\nabla \cdot (\rho \mathbf {u} \otimes \mathbf {u} )=\mathbf {s} }$

donde u ⊗ u es una díada , un caso especial de producto tensorial , que da como resultado un tensor de segundo rango; la divergencia de un tensor de segundo rango es nuevamente un vector (un tensor de primer rango). ^[3]

Utilizando la fórmula para la divergencia de una díada,

${\displaystyle \nabla \cdot (\mathbf {a} \otimes \mathbf {b} )=(\nabla \cdot \mathbf {a} )\mathbf {b} +\mathbf {a} \cdot \nabla \mathbf {b} }$

entonces tenemos

${\displaystyle \mathbf {u} {\frac {\partial \rho }{\partial t}}+\rho {\frac {\partial \mathbf {u} }{\partial t}}+\mathbf {u} \nabla \cdot (\rho \mathbf {u} )+\rho \mathbf {u} \cdot \nabla \mathbf {u} =\mathbf {s} }$

Nótese que el gradiente de un vector es un caso especial de la derivada covariante , la operación da como resultado tensores de segundo rango; ^[3] excepto en coordenadas cartesianas, es importante entender que esto no es simplemente un gradiente elemento por elemento. Reordenando:

${\displaystyle \mathbf {u} \left({\frac {\partial \rho }{\partial t}}+\nabla \cdot (\rho \mathbf {u} )\right)+\rho \left({\frac {\partial \mathbf {u} }{\partial t}}+\mathbf {u} \cdot \nabla \mathbf {u} \right)=\mathbf {s} }$

La expresión más a la izquierda entre paréntesis es, por continuidad de masa (mostrada anteriormente), igual a cero. Observe que lo que queda en el lado izquierdo de la ecuación es la derivada material de la velocidad del flujo:

${\displaystyle \rho {\frac {D\mathbf {u} }{Dt}}=\rho \left({\frac {\partial \mathbf {u} }{\partial t}}+\mathbf {u} \cdot \nabla \mathbf {u} \right)=\mathbf {s} }$

Esto parece ser simplemente una expresión de la segunda ley de Newton ( F = m a ) en términos de fuerzas corporales en lugar de fuerzas puntuales. Cada término en cualquier caso de las ecuaciones de Navier-Stokes es una fuerza corporal. Una forma más breve, aunque menos rigurosa, de llegar a este resultado sería la aplicación de la regla de la cadena a la aceleración:

${\displaystyle {\begin{aligned}\rho {\frac {d}{dt}}{\bigl (}\mathbf {u} (x,y,z,t){\bigr )}=\mathbf {s} \quad &\Rightarrow &\rho \left({\frac {\partial \mathbf {u} }{\partial t}}+{\frac {\partial \mathbf {u} }{\partial x}}{\frac {dx}{dt}}+{\frac {\partial \mathbf {u} }{\partial y}}{\frac {dy}{dt}}+{\frac {\partial \mathbf {u} }{\partial z}}{\frac {dz}{dt}}\right)&=\mathbf {s} \\\quad &\Rightarrow &\rho \left({\frac {\partial \mathbf {u} }{\partial t}}+u{\frac {\partial \mathbf {u} }{\partial x}}+v{\frac {\partial \mathbf {u} }{\partial y}}+w{\frac {\partial \mathbf {u} }{\partial z}}\right)&=\mathbf {s} \\\quad &\Rightarrow &\rho \left({\frac {\partial \mathbf {u} }{\partial t}}+\mathbf {u} \cdot \nabla \mathbf {u} \right)&=\mathbf {s} \end{aligned}}}$

donde u = ( u , v , w ) . La razón por la que esto es "menos riguroso" es que no hemos demostrado que la elección de

${\displaystyle \mathbf {u} =\left({\frac {dx}{dt}},{\frac {dy}{dt}},{\frac {dz}{dt}}\right)}$

es correcto; sin embargo, tiene sentido ya que con esa elección de camino la derivada está "siguiendo" una "partícula" fluida, y para que la segunda ley de Newton funcione, las fuerzas deben sumarse siguiendo a una partícula. Por esta razón, la derivada convectiva también se conoce como la derivada de la partícula.

Ecuación de Cauchy del momento

La densidad genérica de la fuente de momento vista anteriormente se hace específica primero al dividirla en dos términos nuevos, uno para describir las tensiones internas y otro para las fuerzas externas, como la gravedad. Al examinar las fuerzas que actúan sobre un cubo pequeño en un fluido, se puede demostrar que

${\displaystyle \rho {\frac {D\mathbf {u} }{Dt}}=\nabla \cdot {\boldsymbol {\sigma }}+\mathbf {f} }$

donde σ es el tensor de tensión de Cauchy y f representa las fuerzas presentes en el cuerpo. Esta ecuación se denomina ecuación de momento de Cauchy y describe la conservación no relativista del momento de cualquier continuo que conserve la masa. σ es un tensor simétrico de rango dos dado por sus componentes covariantes. En coordenadas ortogonales en tres dimensiones se representa como la matriz 3 × 3 :

${\displaystyle \sigma _{ij}={\begin{pmatrix}\sigma _{xx}&\tau _{xy}&\tau _{xz}\\\tau _{yx}&\sigma _{yy}&\tau _{yz}\\\tau _{zx}&\tau _{zy}&\sigma _{zz}\end{pmatrix}}}$

donde σ son las tensiones normales y τ las tensiones cortantes . Esta matriz se divide en dos términos:

${\displaystyle \sigma _{ij}={\begin{pmatrix}\sigma _{xx}&\tau _{xy}&\tau _{xz}\\\tau _{yx}&\sigma _{yy}&\tau _{yz}\\\tau _{zx}&\tau _{zy}&\sigma _{zz}\end{pmatrix}}=-{\begin{pmatrix}p&0&0\\0&p&0\\0&0&p\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}\sigma _{xx}+p&\tau _{xy}&\tau _{xz}\\\tau _{yx}&\sigma _{yy}+p&\tau _{yz}\\\tau _{zx}&\tau _{zy}&\sigma _{zz}+p\end{pmatrix}}=-p\mathbf {I} +{\boldsymbol {\tau }}}$

donde I es la matriz identidad 3 × 3 y τ es el tensor de tensión desviador . Nótese que la presión mecánica p es igual al negativo de la tensión normal media: ^[4]

${\displaystyle p=-{\tfrac {1}{3}}\left(\sigma _{xx}+\sigma _{yy}+\sigma _{zz}\right).}$

La motivación para hacer esto es que la presión es típicamente una variable de interés, y también esto simplifica la aplicación a familias de fluidos específicos más adelante, ya que el tensor τ más a la derecha en la ecuación anterior debe ser cero para un fluido en reposo. Nótese que τ no tiene traza . La ecuación de Cauchy ahora puede escribirse en otra forma más explícita:

${\displaystyle \rho {\frac {D\mathbf {u} }{Dt}}=-\nabla p+\nabla \cdot {\boldsymbol {\tau }}+\mathbf {f} }$

Esta ecuación aún está incompleta. Para completarla, se deben hacer hipótesis sobre las formas de τ y p , es decir, se necesita una ley constitutiva para el tensor de tensión que se pueda obtener para familias de fluidos específicas y sobre la presión. Algunas de estas hipótesis conducen a las ecuaciones de Euler (dinámica de fluidos) , otras conducen a las ecuaciones de Navier-Stokes. Además, si se supone que el flujo es compresible, se requerirá una ecuación de estado, que probablemente requerirá además una formulación de conservación de energía.

Aplicación a diferentes fluidos

La forma general de las ecuaciones de movimiento no está "lista para su uso", el tensor de tensión aún es desconocido, por lo que se necesita más información; esta información normalmente consiste en algún conocimiento del comportamiento viscoso del fluido. Para diferentes tipos de flujo de fluidos, esto da como resultado formas específicas de las ecuaciones de Navier-Stokes.

Fluido newtoniano

Fluido newtoniano compresible

La formulación de los fluidos newtonianos proviene de una observación hecha por Newton de que, para la mayoría de los fluidos,

${\displaystyle \tau \propto {\frac {\partial u}{\partial y}}}$

Para aplicar esto a las ecuaciones de Navier-Stokes, Stokes hizo tres suposiciones:

• El tensor de tensión es una función lineal del tensor de velocidad de deformación o, equivalentemente, del gradiente de velocidad.
• El fluido es isotrópico.
• Para un fluido en reposo, ∇ ⋅ τ debe ser cero (para que resulte presión hidrostática ).

La lista anterior enuncia el argumento clásico ^[5] de que el tensor de velocidad de deformación por cizallamiento (la parte de cizallamiento (simétrica) del gradiente de velocidad) es un tensor de cizallamiento puro y no incluye ninguna parte de entrada/salida (ninguna parte de compresión/expansión). Esto significa que su traza es cero, y esto se logra restando ∇ ⋅ u de manera simétrica de los elementos diagonales del tensor. La contribución compresiva a la tensión viscosa se agrega como un tensor diagonal separado.

La aplicación de estos supuestos conducirá a:

${\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}=\mu \left(\nabla \mathbf {u} +\left(\nabla \mathbf {u} \right)^{\mathsf {T}}\right)+\lambda \left(\nabla \cdot \mathbf {u} \right)\mathbf {I} }$

o en forma tensorial

${\displaystyle \tau _{ij}=\mu \left({\frac {\partial u_{i}}{\partial x_{j}}}+{\frac {\partial u_{j}}{\partial x_{i}}}\right)+\delta _{ij}\lambda {\frac {\partial u_{k}}{\partial x_{k}}}}$

Es decir, el desviador del tensor de velocidad de deformación se identifica con el desviador del tensor de tensión, hasta un factor μ . ^[6]

δ _ij es el delta de Kronecker . μ y λ son constantes de proporcionalidad asociadas con el supuesto de que la tensión depende de la deformación linealmente; μ se llama el primer coeficiente de viscosidad o viscosidad de corte (generalmente llamado simplemente "viscosidad") y λ es el segundo coeficiente de viscosidad o viscosidad volumétrica (y está relacionado con la viscosidad volumétrica ). El valor de λ , que produce un efecto viscoso asociado con el cambio de volumen, es muy difícil de determinar, ni siquiera su signo se conoce con absoluta certeza. Incluso en flujos compresibles, el término que involucra a λ es a menudo insignificante; sin embargo, ocasionalmente puede ser importante incluso en flujos casi incompresibles y es un tema de controversia. Cuando se toma distinto de cero, la aproximación más común es λ ≈ − ⁠2/3⁠ μ . ^[7]

Una sustitución sencilla de τ _ij en la ecuación de conservación del momento producirá las ecuaciones de Navier-Stokes , que describen un fluido newtoniano compresible:

${\displaystyle \rho \left({\frac {\partial \mathbf {u} }{\partial t}}+\mathbf {u} \cdot \nabla \mathbf {u} \right)=-\nabla p+\nabla \cdot \left[\mu \left(\nabla \mathbf {u} +\left(\nabla \mathbf {u} \right)^{\mathsf {T}}\right)\right]+\nabla \cdot \left[\lambda \left(\nabla \cdot \mathbf {u} \right)\mathbf {I} \right]+\rho \mathbf {g} }$

La fuerza del cuerpo se ha descompuesto en densidad y aceleración externa, es decir, f = ρ g . La ecuación de continuidad de masa asociada es:

${\displaystyle {\frac {\partial \rho }{\partial t}}+\nabla \cdot (\rho \mathbf {u} )=0}$

Además de esta ecuación, se necesita una ecuación de estado y una ecuación de conservación de la energía. La ecuación de estado que se debe utilizar depende del contexto (a menudo, la ley de los gases ideales ); la ecuación de conservación de la energía se leerá así:

${\displaystyle \rho {\frac {Dh}{Dt}}={\frac {Dp}{Dt}}+\nabla \cdot (k\nabla T)+\Phi }$

Aquí, h es la entalpía específica , T es la temperatura y Φ es una función que representa la disipación de energía debido a efectos viscosos:

${\displaystyle \Phi =\mu \left(2\left({\frac {\partial u}{\partial x}}\right)^{2}+2\left({\frac {\partial v}{\partial y}}\right)^{2}+2\left({\frac {\partial w}{\partial z}}\right)^{2}+\left({\frac {\partial v}{\partial x}}+{\frac {\partial u}{\partial y}}\right)^{2}+\left({\frac {\partial w}{\partial y}}+{\frac {\partial v}{\partial z}}\right)^{2}+\left({\frac {\partial u}{\partial z}}+{\frac {\partial w}{\partial x}}\right)^{2}\right)+\lambda (\nabla \cdot \mathbf {u} )^{2}.}$

Con una buena ecuación de estado y buenas funciones para la dependencia de los parámetros (como la viscosidad) de las variables, este sistema de ecuaciones parece modelar adecuadamente la dinámica de todos los gases conocidos y la mayoría de los líquidos.

Fluido newtoniano incompresible

En el caso especial (pero muy común) del flujo incompresible, las ecuaciones de momento se simplifican significativamente. Si se utilizan los siguientes supuestos:

• La viscosidad μ será ahora una constante
• El segundo efecto de la viscosidad λ = 0
• La ecuación de continuidad de masa simplificada ∇ ⋅ u = 0

Esto da como resultado ecuaciones de Navier-Stokes incompresibles , que describen un fluido newtoniano incompresible:

${\displaystyle \rho \left({\frac {\partial \mathbf {u} }{\partial t}}+\mathbf {u} \cdot \nabla \mathbf {u} \right)=-\nabla p+\nabla \cdot \left[\mu \left(\nabla \mathbf {u} +\left(\nabla \mathbf {u} \right)^{\mathsf {T}}\right)\right]+\rho \mathbf {g} }$

Luego, mirando los términos viscosos de la ecuación del momento x , por ejemplo, tenemos:

${\displaystyle {\begin{aligned}&{\frac {\partial }{\partial x}}\left(2\mu {\frac {\partial u}{\partial x}}\right)+{\frac {\partial }{\partial y}}\left(\mu \left({\frac {\partial u}{\partial y}}+{\frac {\partial v}{\partial x}}\right)\right)+{\frac {\partial }{\partial z}}\left(\mu \left({\frac {\partial u}{\partial z}}+{\frac {\partial w}{\partial x}}\right)\right)\\[8px]&\qquad =2\mu {\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}+\mu {\frac {\partial ^{2}u}{\partial y^{2}}}+\mu {\frac {\partial ^{2}v}{\partial y\,\partial x}}+\mu {\frac {\partial ^{2}u}{\partial z^{2}}}+\mu {\frac {\partial ^{2}w}{\partial z\,\partial x}}\\[8px]&\qquad =\mu {\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}+\mu {\frac {\partial ^{2}u}{\partial y^{2}}}+\mu {\frac {\partial ^{2}u}{\partial z^{2}}}+\mu {\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}+\mu {\frac {\partial ^{2}v}{\partial y\,\partial x}}+\mu {\frac {\partial ^{2}w}{\partial z\,\partial x}}\\[8px]&\qquad =\mu \nabla ^{2}u+\mu {\frac {\partial }{\partial x}}{\cancelto {0}{\left({\frac {\partial u}{\partial x}}+{\frac {\partial v}{\partial y}}+{\frac {\partial w}{\partial z}}\right)}}\\[8px]&\qquad =\mu \nabla ^{2}u\end{aligned}}\,}$

De manera similar, para las direcciones de momento y y z tenemos μ ∇ ² v y μ ∇ ² w .

La solución anterior es clave para derivar las ecuaciones de Navier-Stokes a partir de la ecuación de movimiento en dinámica de fluidos cuando la densidad y la viscosidad son constantes.

Fluidos no newtonianos

Un fluido no newtoniano es un fluido cuyas propiedades de flujo difieren de alguna manera de las de los fluidos newtonianos . Lo más común es que la viscosidad de los fluidos no newtonianos sea una función de la velocidad de corte o del historial de velocidad de corte. Sin embargo, hay algunos fluidos no newtonianos con viscosidad independiente del corte, que no obstante exhiben diferencias de tensión normales u otro comportamiento no newtoniano. Muchas soluciones salinas y polímeros fundidos son fluidos no newtonianos, al igual que muchas sustancias que se encuentran comúnmente como el kétchup , las natillas , la pasta de dientes , las suspensiones de almidón, la pintura , la sangre y el champú . En un fluido newtoniano, la relación entre la tensión de corte y la velocidad de corte es lineal, pasando por el origen, siendo la constante de proporcionalidad el coeficiente de viscosidad. En un fluido no newtoniano, la relación entre la tensión de corte y la velocidad de corte es diferente, e incluso puede depender del tiempo. El estudio de los fluidos no newtonianos generalmente se llama reología . Se dan aquí algunos ejemplos.

Fluido de Bingham

En los fluidos de Bingham, la situación es ligeramente diferente:

${\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial y}}={\begin{cases}0,&\tau <\tau _{0}\\[5px]{\dfrac {\tau -\tau _{0}}{\mu }},&\tau \geq \tau _{0}\end{cases}}}$

Se trata de líquidos capaces de soportar cierta tensión antes de empezar a fluir. Algunos ejemplos comunes son la pasta de dientes y la arcilla .

Fluido de ley de potencia

Un fluido de ley de potencia es un fluido idealizado para el cual la tensión cortante , τ , viene dada por

${\displaystyle \tau =K\left({\frac {\partial u}{\partial y}}\right)^{n}}$

Esta forma es útil para aproximar todo tipo de fluidos generales, incluidos los de dilución por cizallamiento (como la pintura de látex) y los de espesamiento por cizallamiento (como la mezcla de agua y almidón de maíz).

Formulación de la función de flujo

En el análisis de un flujo, a menudo es deseable reducir el número de ecuaciones y/o el número de variables. La ecuación incompresible de Navier-Stokes con continuidad de masa (cuatro ecuaciones con cuatro incógnitas) se puede reducir a una única ecuación con una única variable dependiente en 2D, o a una ecuación vectorial en 3D. Esto es posible gracias a dos identidades de cálculo vectorial :

${\displaystyle {\begin{aligned}\nabla \times (\nabla \phi )&=0\\\nabla \cdot (\nabla \times \mathbf {A} )&=0\end{aligned}}}$

para cualquier escalar diferenciable φ y vector A . La primera identidad implica que cualquier término en la ecuación de Navier-Stokes que pueda representarse como el gradiente de un escalar desaparecerá cuando se tome el rizo de la ecuación. Comúnmente, la presión p y la aceleración externa g se eliminarán, lo que dará como resultado (esto es cierto tanto en 2D como en 3D):

${\displaystyle \nabla \times \left({\frac {\partial \mathbf {u} }{\partial t}}+\mathbf {u} \cdot \nabla \mathbf {u} \right)=\nu \nabla \times \left(\nabla ^{2}\mathbf {u} \right)}$

donde se supone que todas las fuerzas corporales se pueden describir como gradientes (por ejemplo, es cierto para la gravedad), y la densidad se ha dividido de modo que la viscosidad se convierte en viscosidad cinemática .

La segunda identidad del cálculo vectorial anterior establece que la divergencia del rizo de un campo vectorial es cero. Dado que la ecuación de continuidad de masa (incompresible) especifica que la divergencia de la velocidad de flujo es cero, podemos reemplazar la velocidad de flujo con el rizo de algún vector ψ de modo que siempre se cumpla la continuidad de masa:

${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {u} =0\quad \Rightarrow \quad \nabla \cdot (\nabla \times {\boldsymbol {\psi }})=0\quad \Rightarrow \quad 0=0}$

Por lo tanto, siempre que la velocidad del flujo se represente mediante u = ∇ × ψ , la continuidad de la masa se cumple incondicionalmente. Con esta nueva variable vectorial dependiente, la ecuación de Navier-Stokes (con el rizo tomado como se indica más arriba) se convierte en una única ecuación vectorial de cuarto orden, que ya no contiene la variable de presión desconocida y ya no depende de una ecuación de continuidad de la masa separada:

${\displaystyle \nabla \times \left({\frac {\partial }{\partial t}}(\nabla \times {\boldsymbol {\psi }})+(\nabla \times {\boldsymbol {\psi }})\cdot \nabla (\nabla \times {\boldsymbol {\psi }})\right)=\nu \nabla \times \left(\nabla ^{2}(\nabla \times {\boldsymbol {\psi }})\right)}$

Aparte de contener derivadas de cuarto orden, esta ecuación es bastante complicada y, por lo tanto, poco común. Nótese que si se omite la diferenciación cruzada, el resultado es una ecuación vectorial de tercer orden que contiene un campo vectorial desconocido (el gradiente de presión) que puede determinarse a partir de las mismas condiciones de contorno que se aplicarían a la ecuación de cuarto orden anterior.

Flujo 2D en coordenadas ortogonales

La verdadera utilidad de esta formulación se observa cuando el flujo es de naturaleza bidimensional y la ecuación se escribe en un sistema de coordenadas ortogonales generales , es decir, un sistema en el que los vectores base son ortogonales. Nótese que esto de ninguna manera limita la aplicación a las coordenadas cartesianas ; de hecho, la mayoría de los sistemas de coordenadas comunes son ortogonales, incluidos los conocidos como el cilíndrico y otros menos conocidos como el toroidal .

La velocidad del flujo 3D se expresa como (tenga en cuenta que la discusión no utiliza coordenadas hasta el momento):

${\displaystyle \mathbf {u} =u_{1}\mathbf {e} _{1}+u_{2}\mathbf {e} _{2}+u_{3}\mathbf {e} _{3}}$

donde e _i son vectores base, no necesariamente constantes ni necesariamente normalizados, y u _i son componentes de la velocidad del flujo; sean también las coordenadas del espacio ( x ₁ , x ₂ , x ₃ ) .

Ahora supongamos que el flujo es 2D. Esto no significa que el flujo se encuentre en un plano, sino que el componente de la velocidad del flujo en una dirección es cero y los componentes restantes son independientes de la misma dirección. En ese caso (consideremos que el componente 3 es cero):

${\displaystyle \mathbf {u} =u_{1}\mathbf {e} _{1}+u_{2}\mathbf {e} _{2};\qquad {\frac {\partial u_{1}}{\partial x_{3}}}={\frac {\partial u_{2}}{\partial x_{3}}}=0}$

La función vectorial ψ todavía se define mediante:

${\displaystyle \mathbf {u} =\nabla \times {\boldsymbol {\psi }}}$

Pero esto también debe simplificarse de alguna manera, ya que se supone que el flujo es bidimensional. Si se suponen coordenadas ortogonales, el rizo adquiere una forma bastante simple y la ecuación anterior desarrollada se convierte en:

${\displaystyle u_{1}\mathbf {e} _{1}+u_{2}\mathbf {e} _{2}={\frac {\mathbf {e} _{1}}{h_{2}h_{3}}}\left[{\frac {\partial }{\partial x_{2}}}\left(h_{3}\psi _{3}\right)-{\frac {\partial }{\partial x_{3}}}\left(h_{2}\psi _{2}\right)\right]+}$

${\displaystyle {\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }+{\frac {\mathbf {e} _{2}}{h_{3}h_{1}}}\left[{\frac {\partial }{\partial x_{3}}}\left(h_{1}\psi _{1}\right)-{\frac {\partial }{\partial x_{1}}}\left(h_{3}\psi _{3}\right)\right]+{\frac {\mathbf {e} _{3}}{h_{1}h_{2}}}\left[{\frac {\partial }{\partial x_{1}}}\left(h_{2}\psi _{2}\right)-{\frac {\partial }{\partial x_{2}}}\left(h_{1}\psi _{1}\right)\right]}$

Al examinar esta ecuación, se muestra que podemos establecer ψ ₁ = ψ ₂ = 0 y conservar la igualdad sin pérdida de generalidad, de modo que:

${\displaystyle u_{1}\mathbf {e} _{1}+u_{2}\mathbf {e} _{2}={\frac {\mathbf {e} _{1}}{h_{2}h_{3}}}{\frac {\partial }{\partial x_{2}}}\left(h_{3}\psi _{3}\right)-{\frac {\mathbf {e} _{2}}{h_{3}h_{1}}}{\frac {\partial }{\partial x_{1}}}\left(h_{3}\psi _{3}\right)}$

Lo importante aquí es que solo queda un componente de ψ , de modo que el flujo 2D se convierte en un problema con una sola variable dependiente. La ecuación de Navier-Stokes diferenciada en forma cruzada se convierte en dos ecuaciones 0 = 0 y una ecuación significativa.

El componente restante ψ ₃ ​​= ψ se denomina función de corriente . La ecuación para ψ se puede simplificar ya que una variedad de cantidades ahora serán iguales a cero, por ejemplo:

${\displaystyle \nabla \cdot {\boldsymbol {\psi }}={\frac {1}{h_{1}h_{2}h_{3}}}{\frac {\partial }{\partial x_{3}}}\left(\psi h_{1}h_{2}\right)=0}$

si los factores de escala h ₁ y h ₂ también son independientes de x ₃ . Además, de la definición del laplaciano vectorial

${\displaystyle \nabla \times (\nabla \times {\boldsymbol {\psi }})=\nabla (\nabla \cdot {\boldsymbol {\psi }})-\nabla ^{2}{\boldsymbol {\psi }}=-\nabla ^{2}{\boldsymbol {\psi }}}$

La manipulación de la ecuación de Navier-Stokes diferenciada cruzada utilizando las dos ecuaciones anteriores y una variedad de identidades ^[8] eventualmente producirá la ecuación escalar 1D para la función de corriente:

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial t}}\left(\nabla ^{2}\psi \right)+(\nabla \times {\boldsymbol {\psi }})\cdot \nabla \left(\nabla ^{2}\psi \right)=\nu \nabla ^{4}\psi }$

donde ∇ ⁴ es el operador biarmónico . Esto es muy útil porque es una única ecuación escalar autónoma que describe tanto la conservación del momento como de la masa en 2D. Las únicas otras ecuaciones que necesita esta ecuación diferencial parcial son las condiciones iniciales y de contorno.

Los supuestos para la ecuación de la función de corriente son:

• El flujo es incompresible y newtoniano.
• Las coordenadas son ortogonales .
• El flujo es 2D: u ₃ = ⁠∂ tu ₁/∂ x ₃⁠ = ⁠∂ tu ₂/∂ x ₃⁠ = 0
• Los dos primeros factores de escala del sistema de coordenadas son independientes de la última coordenada :∂h1​_​/∂ x ₃⁠ = ⁠∂h2​_​/∂ x ₃⁠ = 0 , de lo contrario aparecen términos adicionales.

La función de flujo tiene algunas propiedades útiles:

• Dado que −∇ ² ψ = ∇ × (∇ × ψ ) = ∇ × u , la vorticidad del flujo es simplemente el negativo del Laplaciano de la función de corriente.
• Las curvas de nivel de la función de corriente son líneas de corriente .

El tensor de tensión

La derivación de la ecuación de Navier-Stokes implica la consideración de fuerzas que actúan sobre elementos fluidos, de modo que una cantidad llamada tensor de tensión aparece naturalmente en la ecuación de Cauchy . Dado que se toma la divergencia de este tensor, es habitual escribir la ecuación completamente simplificada, de modo que se pierda la apariencia original del tensor de tensión.

Sin embargo, el tensor de tensión todavía tiene algunos usos importantes, especialmente en la formulación de condiciones de contorno en interfaces de fluidos . Recordando que σ = − p I + τ , para un fluido newtoniano el tensor de tensión es:

${\displaystyle \sigma _{ij}=-p\delta _{ij}+\mu \left({\frac {\partial u_{i}}{\partial x_{j}}}+{\frac {\partial u_{j}}{\partial x_{i}}}\right)+\delta _{ij}\lambda \nabla \cdot \mathbf {u} .}$

Si se supone que el fluido es incompresible, el tensor se simplifica significativamente. En coordenadas cartesianas 3D, por ejemplo:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\boldsymbol {\sigma }}&=-{\begin{pmatrix}p&0&0\\0&p&0\\0&0&p\end{pmatrix}}+\mu {\begin{pmatrix}2\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial x}}&\displaystyle {{\frac {\partial u}{\partial y}}+{\frac {\partial v}{\partial x}}}&\displaystyle {{\frac {\partial u}{\partial z}}+{\frac {\partial w}{\partial x}}}\\\displaystyle {{\frac {\partial v}{\partial x}}+{\frac {\partial u}{\partial y}}}&2\displaystyle {\frac {\partial v}{\partial y}}&\displaystyle {{\frac {\partial v}{\partial z}}+{\frac {\partial w}{\partial y}}}\\\displaystyle {{\frac {\partial w}{\partial x}}+{\frac {\partial u}{\partial z}}}&\displaystyle {{\frac {\partial w}{\partial y}}+{\frac {\partial v}{\partial z}}}&2\displaystyle {\frac {\partial w}{\partial z}}\end{pmatrix}}\\[6px]&=-p\mathbf {I} +\mu \left(\nabla \mathbf {u} +\left(\nabla \mathbf {u} \right)^{\mathsf {T}}\right)\\[6px]&=-p\mathbf {I} +2\mu \mathbf {e} \end{aligned}}}$

e es el tensor de velocidad de deformación , por definición:

${\displaystyle e_{ij}={\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial u_{i}}{\partial x_{j}}}+{\frac {\partial u_{j}}{\partial x_{i}}}\right).}$

Véase también

• Derivación de la ecuación de Navier-Stokes a partir de LBE discreto
• Primera ley de la termodinámica (mecánica de fluidos)

Referencias

1. "Ecuación de Navier-Stokes". Instituto de Matemáticas Clay . Consultado el 24 de diciembre de 2023 .
2. Munson, Bruce R. (2013). Fundamentos de mecánica de fluidos (7.ª ed.). Jefferson City: John Wiley and Sons.^{[ página necesaria ]}
3. Lebedev, Leonid P. (2003). Análisis tensorial . World Scientific. ISBN 981-238-360-3.
4. Batchelor 2000, pág. 141.
5. Morse, P. M.; Ingard, K. U. (1968). Acústica teórica . Princeton University Press.
6. Landau; Lifshitz. Mecánica de fluidos . Curso de física teórica. Vol. 6 (2.ª ed.). pág. 45.
7. Batchelor 2000, pág. 144.
8. Eric W. Weisstein . "Derivada vectorial". MathWorld . Consultado el 7 de junio de 2008 .

• Batchelor, G. K. (2000). Introducción a la dinámica de fluidos . Nueva York: Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-66396-0.
• White, Frank M. (2006). Flujo de fluidos viscosos (3.ª ed.). Nueva York: McGraw Hill. ISBN 0-07-240231-8.
• Módulo de tensión superficial Archivado el 27 de octubre de 2007 en Wayback Machine , por John WM Bush, en MIT OCW
• Galdi, Introducción a la teoría matemática de las ecuaciones de Navier-Stokes: problemas de estado estacionario. Springer 2011