Solución de vacío lambda

Solución de la ecuación de campo de Einstein

En la relatividad general , una solución de vacío lambda es una solución exacta de la ecuación de campo de Einstein en la que el único término del tensor de tensión-energía es un término de constante cosmológica . Esto se puede interpretar físicamente como una especie de aproximación clásica a una energía de vacío distinta de cero . Estas se analizan aquí como distintas de las soluciones de vacío en las que la constante cosmológica se desvanece.

Nota terminológica: este artículo trata de un concepto estándar, pero aparentemente no existe un término estándar para denotar este concepto, por lo que hemos intentado proporcionar uno para beneficio de Wikipedia .

Definición

La ecuación de campo de Einstein se escribe a menudo con un término llamado constante cosmológica . Sin embargo, es posible mover este término al lado derecho y absorberlo en el tensor de tensión-energía , de modo que el término de constante cosmológica se convierta en otra contribución al tensor de tensión-energía. Cuando otras contribuciones a ese tensor se desvanecen, el resultado es un lambdavacío. Una formulación equivalente en términos del tensor de Ricci es $${\displaystyle G^{ab}+\Lambda \,g^{ab}=\kappa \,T^{ab},}$$ ${\displaystyle \Lambda \,g^{ab}}$ ${\displaystyle T^{ab}}$ $${\displaystyle G^{ab}=-\Lambda \,g^{ab}}$$ $${\displaystyle R^{ab}=\left({\tfrac {1}{2}}R-\Lambda \right)\,g^{ab}.}$$

Interpretación física

Un término de constante cosmológica distinto de cero se puede interpretar en términos de una energía de vacío distinta de cero . Existen dos casos:

• ${\displaystyle \Lambda >0}$:densidad de energía de vacío positiva y presión de vacío isótropa negativa, como en el espacio de Sitter ,
• ${\displaystyle \Lambda <0}$:densidad de energía de vacío negativa y presión de vacío isótropa positiva, como en el espacio anti-de Sitter .

La idea de que el vacío tiene una densidad de energía que no desaparece puede parecer contraintuitiva, pero tiene sentido en la teoría cuántica de campos. De hecho, las energías del vacío distintas de cero pueden verificarse experimentalmente incluso en el efecto Casimir .

Tensor de Einstein

Los componentes de un tensor calculados con respecto a un campo de marco en lugar de la base de coordenadas a menudo se denominan componentes físicos , porque estos son los componentes que (en principio) pueden ser medidos por un observador. Un marco consta de cuatro campos vectoriales unitarios Aquí, el primero es un campo vectorial unitario temporal y los otros son campos vectoriales unitarios espaciales , y es en todas partes ortogonal a las líneas del universo de una familia de observadores (no necesariamente observadores inerciales). $${\displaystyle {\vec {e}}_{0},\;{\vec {e}}_{1},\;{\vec {e}}_{2},\;{\vec {e}}_{3}}$$ ${\displaystyle {\vec {e}}_{0}}$

Sorprendentemente, en el caso del lambdavacío, todos los observadores miden la misma densidad de energía y la misma presión (isotrópica). Es decir, el tensor de Einstein toma la forma Decir que este tensor toma la misma forma para todos los observadores es lo mismo que decir que el grupo de isotropía de un lambdavacío es SO(1,3) , el grupo de Lorentz completo . $${\displaystyle G^{{\hat {a}}{\hat {b}}}=-\Lambda {\begin{bmatrix}-1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{bmatrix}}}$$

Valores propios

El polinomio característico del tensor de Einstein de un lambdavacío debe tener la forma Utilizando las identidades de Newton , esta condición puede reexpresarse en términos de las trazas de las potencias del tensor de Einstein como donde son las trazas de las potencias del operador lineal correspondiente al tensor de Einstein, que tiene segundo rango. $${\displaystyle \chi (\zeta )=\left(\zeta +\Lambda \right)^{4}}$$ $${\displaystyle t_{2}={\tfrac {1}{4}}t_{1}^{2},\;t_{3}={\tfrac {1}{16}}t_{1}^{3},\;t_{4}={\tfrac {1}{64}}t_{1}^{4}}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}t_{1}&={G^{a}}_{a},&t_{2}&={G^{a}}_{b}\,{G^{b}}_{a},\\t_{3}&={G^{a}}_{b}\,{G^{b}}_{c}\,{G^{c}}_{a},&t_{4}&={G^{a}}_{b}\,{G^{b}}_{c}\,{G^{c}}_{d}\,{G^{d}}_{a}\end{aligned}}}$$

Relación con las variedades de Einstein

La definición de una solución de vacío lambda tiene sentido matemáticamente independientemente de cualquier interpretación física, y los vacíos lambda son un caso especial de un concepto que es estudiado por matemáticos puros.

Las variedades de Einstein son variedades pseudoriemannianas en las que el tensor de Ricci es proporcional al tensor métrico . Las variedades de Lorentz que también son variedades de Einstein son precisamente las soluciones lambdavacuum.

Ejemplos

Algunos ejemplos de soluciones de vacío lambda dignos de mención incluyen:

• El espacio de Sitter , a menudo denominado modelo cosmológico dS ,
• espacio anti-de Sitter , a menudo denominado modelo cosmológico AdS ,
• Métrica de Sitter-Schwarzschild , que modela un objeto masivo simétrico esférico inmerso en un universo de Sitter (y lo mismo para AdS),
• Métrica de Kerr-de Sitter, la generalización rotatoria de esta última,
• Espacio-tiempo nariai ; esta es la única solución en relatividad general, aparte del electrovacío de Bertotti-Robinson, que tiene una estructura de producto cartesiano.

Véase también

• Soluciones exactas en relatividad general