serie hahn

En matemáticas , las series de Hahn (a veces también conocidas como series de Hahn-Mal'cev-Neumann ) son un tipo de serie infinita formal . Son una generalización de las series de Puiseux (en sí mismas una generalización de las series de potencias formales ) y fueron introducidas por primera vez por Hans Hahn en 1907 ^[1] (y luego generalizadas por Anatoly Maltsev y Bernhard Neumann a un entorno no conmutativo). Permiten exponentes arbitrarios de lo indeterminado siempre que el conjunto que los sustenta forme un subconjunto bien ordenado del grupo de valores (normalmente o ). Las series de Hahn se introdujeron por primera vez, como grupos, durante la demostración del teorema de incrustación de Hahn y luego las estudió en relación con el segundo problema de Hilbert . ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$

Formulación

El campo de la serie de Hahn (en lo indeterminado ) sobre un campo y con grupo de valor (un grupo ordenado) es el conjunto de expresiones formales de la forma ${\displaystyle K\left[\left[T^{\Gamma }\right]\right]}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle \Gamma }$

${\displaystyle f=\sum _{e\in \Gamma }c_{e}T^{e}}$

con tal que el soporte de f esté bien ordenado . La suma y el producto de ${\displaystyle c_{e}\in K}$ ${\displaystyle \operatorname {supp} f:=\{e\in \Gamma :c_{e}\neq 0\}}$

${\displaystyle f=\sum _{e\in \Gamma }c_{e}T^{e}}$y ${\displaystyle g=\sum _{e\in \Gamma }d_{e}T^{e}}$

están dados por

${\displaystyle f+g=\sum _{e\in \Gamma }(c_{e}+d_{e})T^{e}}$

y

${\displaystyle fg=\sum _{e\in \Gamma }\sum _{e'+e''=e}c_{e'}d_{e''}T^{e}}$

(en este último, la suma de valores tales que , y es finita porque un conjunto bien ordenado no puede contener una secuencia decreciente infinita). ^[2] ${\displaystyle \sum _{e'+e''=e}}$ ${\displaystyle (e',e'')}$ ${\displaystyle c_{e'}\neq 0}$ ${\displaystyle d_{e''}\neq 0}$ ${\displaystyle e'+e''=e}$

Por ejemplo, es una serie de Hahn (sobre cualquier campo) porque el conjunto de racionales ${\displaystyle T^{-1/p}+T^{-1/p^{2}}+T^{-1/p^{3}}+\cdots }$

${\displaystyle \left\{-{\frac {1}{p}},-{\frac {1}{p^{2}}},-{\frac {1}{p^{3}}},\ldots \right\}}$

está bien ordenado; no es una serie de Puiseux porque los denominadores de los exponentes no están acotados. (Y si el campo base K tiene la característica p , entonces esta serie de Hahn satisface la ecuación, por lo que es algebraica ). ${\displaystyle X^{p}-X=T^{-1}}$ ${\displaystyle K(T)}$

Propiedades

Propiedades del campo valorado

La valoración de una serie de Hahn distinta de cero. ${\displaystyle v(f)}$

${\displaystyle f=\sum _{e\in \Gamma }c_{e}T^{e}}$

se define como el más pequeño tal que (en otras palabras, el elemento más pequeño del soporte de ): esto se convierte en un campo valorado esféricamente completo con grupo de valores y campo residuo (justificando a posteriori la terminología). De hecho, si tiene la característica cero, entonces es hasta el isomorfismo (no único) el único campo valorado esféricamente completo con campo residual y grupo de valores . ^[3] La valoración define una topología en . Si , entonces corresponde a un valor absoluto ultramétrico , respecto del cual es un espacio métrico completo . Sin embargo, a diferencia del caso de las series formales de Laurent o de Puiseux, las sumas formales utilizadas para definir los elementos del campo no convergen : en el caso de, por ejemplo, los valores absolutos de los términos tienden a 1 (porque sus valoraciones tienden a a 0), por lo que la serie no es convergente (estas series a veces se conocen como "pseudoconvergentes" ^[4] ). ${\displaystyle e\in \Gamma }$ ${\displaystyle c_{e}\neq 0}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle K[[T^{\Gamma }]]}$ ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle (K[[T^{\Gamma }]],v)}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle K\left[\left[T^{\Gamma }\right]\right]}$ ${\displaystyle \Gamma \subseteq \mathbb {R} }$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle |f|=\exp(-v(f))}$ ${\displaystyle K\left[\left[T^{\Gamma }\right]\right]}$ ${\displaystyle T^{-1/p}+T^{-1/p^{2}}+T^{-1/p^{3}}+\cdots }$

Propiedades algebraicas

Si es algebraicamente cerrado (pero no necesariamente de característica cero) y es divisible , entonces es algebraicamente cerrado. ^[5] Así, la clausura algebraica de está contenida en , donde está la clausura algebraica de (cuando es de característica cero, es exactamente el campo de la serie de Puiseux ): de hecho, es posible dar una descripción un tanto análoga de la cierre algebraico de en característica positiva como un subconjunto de . ^[6] ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle K\left[\left[T^{\Gamma }\right]\right]}$ ${\displaystyle K((T))}$ ${\displaystyle {\overline {K}}[[T^{\mathbb {Q} }]]}$ ${\displaystyle {\overline {K}}}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle K((T))}$ ${\displaystyle K\left[\left[T^{\Gamma }\right]\right]}$

Si es un campo ordenado , entonces está totalmente ordenado haciendo que el indeterminado sea infinitesimal (mayor que 0 pero menor que cualquier elemento positivo de ) o, de manera equivalente, usando el orden lexicográfico de los coeficientes de la serie. Si es real cerrado y divisible, entonces él mismo es real cerrado. ^[7] Este hecho puede usarse para analizar (o incluso construir) el campo de números surrealistas (que es isomorfo, como un campo ordenado, al campo de la serie de Hahn con coeficientes reales y grupo de valores de los propios números surrealistas ^[8] ) . ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle K\left[\left[T^{\Gamma }\right]\right]}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle K\left[\left[T^{\Gamma }\right]\right]}$

Si κ es un cardinal regular infinito , se puede considerar el subconjunto de series cuyo conjunto de soporte tiene cardinalidad (estrictamente) menor que κ : resulta que este también es un campo, con prácticamente las mismas propiedades de cierre algebraico que el completo : por ejemplo, es algebraicamente cerrado o real cerrado cuando lo es y es divisible. ^[9] ${\displaystyle K\left[\left[T^{\Gamma }\right]\right]}$ ${\displaystyle \{e\in \Gamma :c_{e}\neq 0\}}$ ${\displaystyle K\left[\left[T^{\Gamma }\right]\right]}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle \Gamma }$

familias sumables

familias sumables

Se puede definir una noción de familias sumables en . Si es un conjunto y es una familia de series de Hahn , entonces decimos que es sumable si el conjunto está bien ordenado y cada conjunto es finito. ${\displaystyle K\left[\left[T^{\Gamma }\right]\right]}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle (f_{i})_{i\in I}}$ ${\displaystyle f_{i}\in K\left[\left[T^{\Gamma }\right]\right]}$ ${\displaystyle (f_{i})_{i\in I}}$ ${\displaystyle \bigcup \limits _{i\in I}\operatorname {supp} f_{i}\subset \Gamma }$ ${\displaystyle \{i\in I\mid e\in \operatorname {supp} f_{i}\}}$ ${\displaystyle e\in \Gamma }$

Entonces podemos definir la suma como la serie de Hahn. ${\displaystyle \sum \limits _{i\in I}f_{i}}$

${\displaystyle \sum _{i\in I}f_{i}:=\sum \limits _{e\in \Gamma }\left(\sum _{i\in I}f_{i}(e)\right)T^{e}.}$

Si son sumables, también lo son las familias , y tenemos ^[10] ${\displaystyle (f_{i})_{i\in I},(g_{i})_{i\in I}}$ ${\displaystyle (f_{i}+g_{i})_{i\in I},(f_{i}g_{j})_{(i,j)\in I\times I}}$

${\displaystyle \sum _{i\in I}f_{i}+g_{i}=\sum _{i\in I}f_{i}+\sum _{i\in I}g_{i}}$

y

${\displaystyle \sum _{(i,j)\in I\times I}f_{i}g_{j}=\left(\sum _{i\in I}f_{i}\right)\left(\sum _{i\in I}g_{i}\right).}$

Esta noción de familia sumable no corresponde a la noción de convergencia en la topología de valoración de . Por ejemplo, en , la familia es sumable pero la secuencia no converge. ${\displaystyle K\left[\left[T^{\Gamma }\right]\right]}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} \left[\left[T^{\mathbb {Q} }\right]\right]}$ ${\displaystyle (T^{\frac {n}{n+1}}+T^{n+1})_{n\in \mathbb {N} }}$ ${\displaystyle {\big (}\sum \limits _{k\leq n}T^{\frac {k}{k+1}}+T^{k+1}{\big )}_{n\in \mathbb {N} }}$

Evaluación de funciones analíticas

Sea y denote el anillo de funciones de valor real que son analíticas en una vecindad de . ${\displaystyle a\in \mathbb {R} }$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}_{a}}$ ${\displaystyle a}$

Si contiene , entonces podemos evaluar cada elemento de en cada elemento de la forma , donde la valoración de es estrictamente positiva. De hecho, la familia siempre es sumable, ^[11] por lo que podemos definirla . Esto define un homomorfismo de anillo . ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}_{a}}$ ${\displaystyle K\left[\left[T^{\Gamma }\right]\right]}$ ${\displaystyle a+\varepsilon }$ ${\displaystyle \varepsilon }$ ${\displaystyle {\bigg (}{\frac {f^{(n)}(a)}{n!}}\varepsilon ^{n}{\bigg )}_{\!n\in \mathbb {N} }}$ ${\displaystyle f(a+\varepsilon ):=\sum \limits _{n\in \mathbb {N} }{\frac {f^{(n)}(a)}{n!}}\varepsilon ^{n}}$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}_{a}\longrightarrow K\left[\left[T^{\Gamma }\right]\right]}$

Serie Hahn-Witt

La construcción de series de Hahn se puede combinar con vectores de Witt (al menos sobre un campo perfecto ) para formar series de Hahn retorcidas o series de Hahn-Witt : ^[12] por ejemplo, sobre un campo finito K de característica p (o su cierre algebraico) , el campo de la serie de Hahn-Witt con grupo de valores Γ (que contiene los números enteros ) sería el conjunto de sumas formales donde ahora están los representantes de Teichmüller (de los elementos de K ) que se multiplican y suman de la misma forma que en el caso de vectores de Witt ordinarios (que se obtienen cuando Γ es el grupo de números enteros). Cuando Γ es el grupo de racionales o reales y K es el cierre algebraico del campo finito con p elementos, esta construcción da un campo algebraicamente cerrado (ultra)métricamente completo que contiene los p -ádicos , de ahí una descripción más o menos explícita de los campo o su terminación esférica. ^[13] ${\displaystyle \sum _{e\in \Gamma }c_{e}p^{e}}$ ${\displaystyle c_{e}}$ ${\displaystyle \mathbb {C} _{p}}$

Ejemplos

• El campo de la serie formal de Laurent puede describirse como . ${\displaystyle K((T))}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle K[[T^{\mathbb {Z} }]]}$
• El campo de números surrealistas puede considerarse como un campo de series de Hahn con coeficientes reales y grupo de valores de los propios números surrealistas. ^[14]
• El campo de Levi-Civita puede considerarse como un subcampo de , con la imposición adicional de que los coeficientes sean un conjunto finito por la izquierda: el conjunto de coeficientes menores que un coeficiente dado es finito. ${\displaystyle \mathbb {R} [[T^{\mathbb {Q} }]]}$ ${\displaystyle c_{q}}$
• El campo de transseries es una unión dirigida de los campos de Hahn (y es una extensión del campo de Levi-Civita). La construcción de se parece (pero no es literalmente) , . ${\displaystyle \mathbb {T} }$ ${\displaystyle \mathbb {T} }$ ${\displaystyle T_{0}=\mathbb {R} }$ ${\displaystyle T_{n+1}=\mathbb {R} \left[\left[\varepsilon ^{T_{n}}\right]\right]}$

Ver también

• Serie racional

Notas

1. Hahn (1907)
2. Neumann (1949), Lemas (3.2) y (3.3)
3. Kaplansky, Irving, Campos máximos con valoración , Duke Mathematical Journal, vol. 1, n°2, 1942.
4. Kaplansky (1942, Duke Math. J. , definición en la p. 303)
5. MacLane (1939, Bull. Amer. Math. Soc. , teorema 1 (p. 889))
6. Kedlaya (2001, Proc. Amer. Math. Soc. )
7. Alling (1987, §6.23, (2) (p.218))
8. Alling (1987, teorema de §6.55 (p. 246))
9. Alling (1987, §6.23, (3) y (4) (págs. 218-219))
10. Joris van der Hoeven
11. Neuman
12. Kedlaya (2001, J. Teoría de números )
13. Poonen (1993)
14. Alling (1987)

Referencias

• Hahn, Hans (1907), "Über die nichtarchimedischen Größensysteme", Sitzungsberichte der Kaiserlichen Akademie der Wissenschaften, Wien, Mathematisch – Naturwissenschaftliche Klasse (Wien. Ber.) , 116 : 601–655, JFM  38.0501.01(reimpreso en: Hahn, Hans (1995), Gesammelte Abhandlungen I , Springer-Verlag)
• MacLane, Saunders (1939), "La universalidad de los campos de series de potencias formales", Boletín de la Sociedad Matemática Estadounidense , 45 : 888–890, doi : 10.1090/s0002-9904-1939-07110-3 , Zbl  0022.30401
• Kaplansky, Irving (1942), "Campos máximos con valoraciones I", Duke Mathematical Journal , 9 : 303–321, doi :10.1215/s0012-7094-42-00922-0
• Alling, Norman L. (1987). Fundamentos del análisis sobre campos numéricos surrealistas . Estudios de Matemáticas. vol. 141. Holanda Septentrional. ISBN 0-444-70226-1. Zbl  0621.12001.
• Poonen, Bjorn (1993), "Campos máximamente completos", L'Enseignement mathématique , 39 : 87–106, Zbl  0807.12006
• Kedlaya, Kiran Sridhara (2001), "El cierre algebraico del campo de series de potencias en característica positiva", Actas de la Sociedad Matemática Estadounidense , 129 : 3461–3470, doi : 10.1090/S0002-9939-01-06001-4
• Kedlaya, Kiran Sridhara (2001), "Series de potencias y cierres algebraicos 𝑝-ádicos", Journal of Number Theory , 89 : 324–339, arXiv : math/9906030 , doi : 10.1006/jnth.2000.2630
• Hoeven, van der, Joris (2001), "Operadores de series de potencias generalizadas", Illinois Journal of Mathematics , 45 , doi : 10.1215/ijm/1258138061
• Neumann, Bernhard Hermann (1949), "Sobre anillos de división ordenados", Transactions of the American Mathematical Society , 66 : 202–252, doi : 10.1090/S0002-9947-1949-0032593-5