Sedenión

Sistema de numeración hipercomplejo

En álgebra abstracta , los sedeniones forman un álgebra no conmutativa y no asociativa de 16 dimensiones sobre los números reales , generalmente representados por la letra S mayúscula, S en negrita o negrita de pizarra. ${\displaystyle \mathbb {S} }$

Los sedeniones se obtienen aplicando la construcción de Cayley-Dickson a los octoniones , que se pueden expresar matemáticamente como . ^[1] Como tales, los octoniones son isomorfos a un subálgebra de los sedeniones. A diferencia de los octoniones, los sedeniones no son un álgebra alternativa . La aplicación de la construcción de Cayley-Dickson a los sedeniones produce un álgebra de 32 dimensiones, llamada trigintaduoniones o, a veces, 32-niones. ^[2] Es posible continuar aplicando la construcción de Cayley-Dickson arbitrariamente muchas veces. ${\displaystyle \mathbb {S} ={\mathcal {CD}}(\mathbb {O} ,1)}$

El término sedenión también se utiliza para otras estructuras algebraicas de 16 dimensiones, como un producto tensorial de dos copias de los biquaternions , o el álgebra de matrices de 4 × 4 sobre los números reales, o la estudiada por Smith (1995).

Aritmética

Una visualización de una extensión 4D del octonión cúbico , ^[3] mostrando las 35 tríadas como hiperplanos a través del vértice real del sedenión dado en el ejemplo. ${\displaystyle (e_{0})}$

Cada sedenión es una combinación lineal de los sedeniones unitarios , , , , ..., , que forman una base del espacio vectorial de sedeniones. Cada sedenión se puede representar en la forma ${\displaystyle e_{0}}$ ${\displaystyle e_{1}}$ ${\displaystyle e_{2}}$ ${\displaystyle e_{3}}$ ${\displaystyle e_{15}}$

${\displaystyle x=x_{0}e_{0}+x_{1}e_{1}+x_{2}e_{2}+\cdots +x_{14}e_{14}+x_{15}e_{15}.}$

La suma y la resta se definen mediante la suma y resta de los coeficientes correspondientes y la multiplicación es distributiva sobre la suma.

Al igual que otras álgebras basadas en la construcción de Cayley-Dickson , los sedeniones contienen el álgebra a partir de la cual se construyeron. Por lo tanto, contienen los octoniones (generados por a en la tabla siguiente) y, por lo tanto, también los cuaterniones (generados por a ), los números complejos (generados por y ) y los números reales (generados por ). ${\displaystyle e_{0}}$ ${\displaystyle e_{7}}$ ${\displaystyle e_{0}}$ ${\displaystyle e_{3}}$ ${\displaystyle e_{0}}$ ${\displaystyle e_{1}}$ ${\displaystyle e_{0}}$

Multiplicación

Al igual que los octoniones , la multiplicación de sedeniones no es conmutativa ni asociativa . Sin embargo, a diferencia de los octoniones, los sedeniones ni siquiera tienen la propiedad de ser alternativos . Sin embargo, sí tienen la propiedad de asociatividad de potencias , que puede enunciarse como que, para cualquier elemento x de , la potencia está bien definida. También son flexibles . ${\displaystyle \mathbb {S} }$ ${\displaystyle x^{n}}$

Los sedeniones tienen un elemento de identidad multiplicativo e inversos multiplicativos, pero no son un álgebra de división porque tienen divisores de cero . Esto significa que dos sedeniones distintos de cero se pueden multiplicar para obtener cero: un ejemplo es . Todos los sistemas de números hipercomplejos posteriores a los sedeniones que se basan en la construcción de Cayley-Dickson también contienen divisores de cero. ${\displaystyle e_{0}}$ ${\displaystyle (e_{3}+e_{10})(e_{6}-e_{15})}$

La tabla de multiplicación del sedenión se muestra a continuación:

Propiedades de Sedenion

Una ilustración de la estructura de PG(3,2) que proporciona la ley de multiplicación para sedeniones, como lo muestran Saniga, Holweck y Pracna (2015). Tres puntos cualesquiera (que representan tres unidades imaginarias de sedeniones) que se encuentran en la misma línea son tales que el producto de dos de ellos da como resultado el tercero, sin tener en cuenta el signo.

De la tabla anterior podemos ver que:

${\displaystyle e_{0}e_{i}=e_{i}e_{0}=e_{i}\,{\text{for all}}\,i,}$

${\displaystyle e_{i}e_{i}=-e_{0}\,\,{\text{for}}\,\,i\neq 0,}$y

${\displaystyle e_{i}e_{j}=-e_{j}e_{i}\,\,{\text{for}}\,\,i\neq j\,\,{\text{with}}\,\,i,j\neq 0.}$

Antiasociativo

Los sedeniones no son completamente antiasociativos. Elija cuatro generadores cualesquiera y . El siguiente ciclo de 5 muestra que estas cinco relaciones no pueden ser todas antiasociativas. ${\displaystyle i,j,k}$ ${\displaystyle l}$

$${\displaystyle (ij)(kl)=-((ij)k)l=(i(jk))l=-i((jk)l)=i(j(kl))=-(ij)(kl)=0}$$

En particular, en la tabla anterior, utilizando y se asocia la última expresión. ${\displaystyle e_{1},e_{2},e_{4}}$ ${\displaystyle e_{8}}$ ${\displaystyle (e_{1}e_{2})e_{12}=e_{1}(e_{2}e_{12})=-e_{15}}$

Subálgebras cuaterniónicas

La tabla de multiplicación de sedeniones particular que se muestra arriba está representada por 35 tríadas. La tabla y sus tríadas se han construido a partir de un octonión representado por el conjunto en negrita de 7 tríadas utilizando la construcción de Cayley-Dickson . Es uno de los 480 conjuntos posibles de 7 tríadas (uno de los dos que se muestran en el artículo sobre octoniones) y es el que se basa en la construcción de Cayley-Dickson de cuaterniones a partir de dos posibles construcciones de cuaterniones a partir de los números complejos . Las representaciones binarias de los índices de estas ternas se XOR bit a bit a 0. Estas 35 tríadas son:

{ {1, 2, 3} , {1, 4, 5} , {1, 7, 6} , {1, 8, 9}, {1, 11, 10}, {1, 13, 12}, { 1, 14, 15},
{2, 4, 6} , {2, 5, 7}, {2, 8, 10}, {2, 9, 11}, {2, 14, 12}, {2, 15, 13}, {3, 4, 7} ,
{3, 6, 5} , {3, 8, 11}, {3, 10, 9}, {3, 13, 14}, {3, 15, 12}, {4, 8, 12}, {4, 9, 13},
{4, 10, 14}, {4, 11, 15}, {5, 8, 13}, {5, 10, 15}, {5, 12, 9}, {5, 14, 11}, {6, 8, 14},
{6, 11, 13}, {6, 12, 10}, {6, 15, 9}, {7, 8, 15}, {7, 9, 14}, {7, 12, 11} , {7, 13, 10} }

Divisores de cero

La lista de 84 conjuntos de divisores de cero , donde : ${\displaystyle \{e_{a},e_{b},e_{c},e_{d}\}}$ ${\displaystyle (e_{a}+e_{b})\circ (e_{c}+e_{d})=0}$

$${\displaystyle {\begin{array}{c}{\text{Sedenion Zero Divisors}}\quad \{e_{a},e_{b},e_{c},e_{d}\}\\{\text{where}}~(e_{a}+e_{b})\circ (e_{c}+e_{d})=0\\{\begin{array}{ccc}1\leq a\leq 6,&c>a,&9\leq b\leq 15\\\end{array}}\\\\{\begin{array}{lccr}\{9\leq d\leq 15\}&\{-9\geq d\geq -15\}&\{9\leq d\leq 15\}&\{-9\geq d\geq -15\}\\\end{array}}\\\\{\begin{array}{llll}\{e_{1},e_{10},e_{5},e_{14}\}&\{e_{1},e_{10},e_{4},-e_{15}\}&\{e_{1},e_{10},e_{7},e_{12}\}&\{e_{1},e_{10},e_{6},-e_{13}\}\\\{e_{1},e_{11},e_{4},e_{14}\}&\{e_{1},e_{11},e_{6},-e_{12}\}&\{e_{1},e_{11},e_{5},e_{15}\}&\{e_{1},e_{11},e_{7},-e_{13}\}\\\{e_{1},e_{12},e_{2},e_{15}\}&\{e_{1},e_{12},e_{3},-e_{14}\}&\{e_{1},e_{12},e_{6},e_{11}\}&\{e_{1},e_{12},e_{7},-e_{10}\}\\\{e_{1},e_{13},e_{6},e_{10}\}&\{e_{1},e_{13},e_{2},-e_{14}\}&\{e_{1},e_{13},e_{7},e_{11}\}&\{e_{1},e_{13},e_{3},-e_{15}\}\\\{e_{1},e_{14},e_{2},e_{13}\}&\{e_{1},e_{14},e_{4},-e_{11}\}&\{e_{1},e_{14},e_{3},e_{12}\}&\{e_{1},e_{14},e_{5},-e_{10}\}\\\{e_{1},e_{15},e_{3},e_{13}\}&\{e_{1},e_{15},e_{2},-e_{12}\}&\{e_{1},e_{15},e_{4},e_{10}\}&\{e_{1},e_{15},e_{5},-e_{11}\}\\\\\{e_{2},e_{9},e_{4},e_{15}\}&\{e_{2},e_{9},e_{5},-e_{14}\}&\{e_{2},e_{9},e_{6},e_{13}\}&\{e_{2},e_{9},e_{7},-e_{12}\}\\\{e_{2},e_{11},e_{5},e_{12}\}&\{e_{2},e_{11},e_{4},-e_{13}\}&\{e_{2},e_{11},e_{6},e_{15}\}&\{e_{2},e_{11},e_{7},-e_{14}\}\\\{e_{2},e_{12},e_{3},e_{13}\}&\{e_{2},e_{12},e_{5},-e_{11}\}&\{e_{2},e_{12},e_{7},e_{9}\}&\{e_{2},e_{13},e_{3},-e_{12}\}\\\{e_{2},e_{13},e_{4},e_{11}\}&\{e_{2},e_{13},e_{6},-e_{9}\}&\{e_{2},e_{14},e_{5},e_{9}\}&\{e_{2},e_{14},e_{3},-e_{15}\}\\\{e_{2},e_{14},e_{3},e_{14}\}&\{e_{2},e_{15},e_{4},-e_{9}\}&\{e_{2},e_{15},e_{3},e_{14}\}&\{e_{2},e_{15},e_{6},-e_{11}\}\\\\\{e_{3},e_{9},e_{6},e_{12}\}&\{e_{3},e_{9},e_{4},-e_{14}\}&\{e_{3},e_{9},e_{7},e_{13}\}&\{e_{3},e_{9},e_{5},-e_{15}\}\\\{e_{3},e_{10},e_{4},e_{13}\}&\{e_{3},e_{10},e_{5},-e_{12}\}&\{e_{3},e_{10},e_{7},e_{14}\}&\{e_{3},e_{10},e_{6},-e_{15}\}\\\{e_{3},e_{12},e_{5},e_{10}\}&\{e_{3},e_{12},e_{6},-e_{9}\}&\{e_{3},e_{14},e_{4},e_{9}\}&\{e_{3},e_{13},e_{4},-e_{10}\}\\\{e_{3},e_{15},e_{5},e_{9}\}&\{e_{3},e_{13},e_{7},-e_{9}\}&\{e_{3},e_{15},e_{6},e_{10}\}&\{e_{3},e_{14},e_{7},-e_{10}\}\\\\\{e_{4},e_{9},e_{7},e_{10}\}&\{e_{4},e_{9},e_{6},-e_{11}\}&\{e_{4},e_{10},e_{5},e_{11}\}&\{e_{4},e_{10},e_{7},-e_{9}\}\\\{e_{4},e_{11},e_{6},e_{9}\}&\{e_{4},e_{11},e_{5},-e_{10}\}&\{e_{4},e_{13},e_{6},e_{15}\}&\{e_{4},e_{13},e_{7},-e_{14}\}\\\{e_{4},e_{14},e_{7},e_{13}\}&\{e_{4},e_{14},e_{5},-e_{15}\}&\{e_{4},e_{15},e_{5},e_{14}\}&\{e_{4},e_{15},e_{6},-e_{13}\}\\\\\{e_{5},e_{10},e_{6},e_{9}\}&\{e_{5},e_{9},e_{6},-e_{10}\}&\{e_{5},e_{11},e_{7},e_{9}\}&\{e_{5},e_{9},e_{7},-e_{11}\}\\\{e_{5},e_{12},e_{7},e_{14}\}&\{e_{5},e_{12},e_{6},-e_{15}\}&\{e_{5},e_{15},e_{6},e_{12}\}&\{e_{5},e_{14},e_{7},-e_{12}\}\\\\\{e_{6},e_{11},e_{7},e_{10}\}&\{e_{6},e_{10},e_{7},-e_{11}\}&\{e_{6},e_{13},e_{7},e_{12}\}&\{e_{6},e_{12},e_{7},-e_{13}\}\end{array}}\end{array}}}$$

Aplicaciones

Moreno (1998) demostró que el espacio de pares de sedeniones de norma uno que se multiplican a cero es homeomorfo a la forma compacta del grupo de Lie excepcional G 2 . (Nótese que en su artículo, un "divisor de cero" significa un par de elementos que se multiplican a cero.)

Guillard y Gresnigt (2019) demostraron que las tres generaciones de leptones y quarks que están asociadas con una simetría de calibre ininterrumpida pueden representarse utilizando el álgebra de los sedeniones complejizados . Su razonamiento sigue que un proyector idempotente primitivo —donde se elige como una unidad imaginaria similar a para en el plano de Fano— que actúa sobre la base estándar de los sedeniones divide de manera única el álgebra en tres conjuntos de elementos de base divididos para , cuyas acciones izquierdas adjuntas sobre sí mismas generan tres copias del álgebra de Clifford que a su vez contienen ideales izquierdos mínimos que describen una sola generación de fermiones con simetría de calibre ininterrumpida . En particular, señalan que los productos tensoriales entre álgebras de división normadas generan divisores de cero similares a los del interior de , donde la falta de alternatividad y asociatividad no afecta a la construcción de ideales mínimos de izquierda ya que su base dividida subyacente requiere solo que se multipliquen juntos dos elementos de base, en los que la asociatividad o la alternatividad no están involucradas. Aún así, estos ideales construidos a partir de un álgebra adjunta de acciones de izquierda del álgebra sobre sí misma siguen siendo asociativos, alternativos e isomorfos a un álgebra de Clifford. En conjunto, esto permite que existan tres copias de dentro de . Además, estas tres subálgebras de octoniones complejizadas no son independientes; comparten una subálgebra común, que los autores señalan que podría formar una base teórica para las matrices CKM y PMNS que, respectivamente, describen la mezcla de quarks y las oscilaciones de neutrinos . ${\displaystyle \mathrm {SU(3)_{c}\times U(1)_{em}} }$ ${\displaystyle \mathbb {C\otimes S} }$ ${\displaystyle \rho _{+}=1/2(1+ie_{15})}$ ${\displaystyle e_{15}}$ ${\displaystyle e_{7}}$ ${\displaystyle \mathbb {O} }$ ${\displaystyle \mathbb {C\otimes O} }$ ${\displaystyle \mathrm {C} l(6)}$ ${\displaystyle \mathrm {SU(3)_{c}\times U(1)_{em}} }$ ${\displaystyle \mathbb {S} }$ ${\displaystyle \mathbb {C\otimes O} }$ ${\displaystyle (\mathbb {C\otimes O} )_{L}\cong \mathrm {Cl(6)} }$ ${\displaystyle \mathbb {(C\otimes S)} _{L}}$ ${\displaystyle \mathrm {C} l(2)}$

Las redes neuronales de Sedenion proporcionan ^{[ se necesita más explicación ]} un medio de expresión eficiente y compacto en aplicaciones de aprendizaje automático y se han utilizado para resolver múltiples problemas de series temporales y pronóstico de tráfico. ^{[4] [5]}

Véase también

• La identidad de dieciséis cuadrados de Pfister
• Número complejo dividido
• PG(3,2)

Notas

1. "Ensembles de nombre" (PDF) (en francés). Forum Futura-Science. 6 de septiembre de 2011. Consultado el 11 de octubre de 2024 .
2. Raoul E. Cawagas, et al. (2009). "LA ESTRUCTURA SUBÁLGEBRA BÁSICA DEL ÁLGEBRA DE DIMENSIÓN 32 DE CAYLEY-DICKSON (TRIGINTADUONIONS)".
3. (Baez 2002, pág. 6)
4. Saoud, Lyes Saad; Al-Marzouqi, Hasan (2020). "Red neuronal metacognitiva basada en valores de sedeniones y su algoritmo de aprendizaje". IEEE Access . 8 : 144823–144838. doi : 10.1109/ACCESS.2020.3014690 . ISSN  2169-3536.
5. Kopp, Michael; Kreil, David; Neun, Moritz; Jonietz, David; Martin, Henry; Herruzo, Pedro; Gruca, Aleksandra; Soleymani, Ali; Wu, Fanyou; Liu, Yang; Xu, Jingwei (7 de agosto de 2021). "Traffic4cast en NeurIPS 2020: más información sobre la eficacia irrazonable de los procesos geoespaciales en cuadrícula". NeurIPS 2020 Competition and Demonstration Track . PMLR: 325–343.

Referencias

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• Saniga, Metod; Holweck, Frédéric; Pracna, Petr (2015). "De las álgebras de Cayley-Dickson a los Grassmannianos Combinatorios". Matemáticas . 3 (4). MDPI AG: 1192–1221. arXiv : 1405.6888 . doi : 10.3390/math3041192 . ISSN  2227-7390.  Este artículo incorpora texto de esta fuente, que está disponible bajo la licencia CC BY 4.0.
• Smith, Jonathan DH (1995). "Un bucle izquierdo en la esfera 15". Journal of Algebra . 176 (1): 128–138. doi : 10.1006/jabr.1995.1237 . MR  1345298.
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