En matemáticas , el método alterno de Schwarz o proceso alterno es un método iterativo introducido en 1869-1870 por Hermann Schwarz en la teoría de la aplicación conforme . Dadas dos regiones superpuestas en el plano complejo en cada una de las cuales se podía resolver el problema de Dirichlet , Schwarz describió un método iterativo para resolver el problema de Dirichlet en su unión, siempre que su intersección se comportara adecuadamente. Esta fue una de varias técnicas constructivas de aplicación conforme desarrolladas por Schwarz como una contribución al problema de uniformización , planteado por Riemann en la década de 1850 y resuelto por primera vez de manera rigurosa por Koebe y Poincaré en 1907. Proporcionó un esquema para uniformizar la unión de dos regiones sabiendo cómo uniformizar cada una de ellas por separado, siempre que su intersección fuera topológicamente un disco o un anillo. A partir de 1870, Carl Neumann también contribuyó a esta teoría.
El problema original considerado por Schwarz fue un problema de Dirichlet (con la ecuación de Laplace ) en un dominio que consiste en un círculo y un cuadrado parcialmente superpuesto. Para resolver el problema de Dirichlet en uno de los dos subdominios (el cuadrado o el círculo), el valor de la solución debe ser conocido en la frontera : como una parte de la frontera está contenida en el otro subdominio, el problema de Dirichlet debe resolverse conjuntamente en los dos subdominios. Se introduce un algoritmo iterativo:
Haz una primera suposición de la solución en la parte límite del círculo que está contenida en el cuadrado.
Resolver el problema de Dirichlet en el círculo.
Utilice la solución en (2) para aproximar la solución en el límite del cuadrado.
Resolver el problema de Dirichlet en el cuadrado
Utilice la solución en (4) para aproximar la solución en el límite del círculo, luego vaya al paso (2).
En la convergencia, la solución en la superposición es la misma cuando se calcula en el cuadrado o en el círculo.
Métodos de Schwarz optimizados
La velocidad de convergencia depende del tamaño de la superposición entre los subdominios y de las condiciones de transmisión (condiciones límite utilizadas en la interfaz entre los subdominios). Es posible aumentar la velocidad de convergencia de los métodos de Schwarz eligiendo condiciones de transmisión adaptadas: estos métodos se denominan métodos de Schwarz optimizados. [3]
^ Véase el artículo (Mikhlin 1951): el mismo autor realizó una exposición exhaustiva en libros posteriores.
^ Gander, Martin J.; Halpern, Laurence; Nataf, Frédéric (2001), "Métodos Schwarz optimizados", 12.ª Conferencia internacional sobre métodos de descomposición de dominios (PDF)
Referencias
Documentos originales
Schwarz, HA (1869), "Über einige Abbildungsaufgaben", J. Reine Angew. Matemáticas. , 1869 (70): 105–120, doi :10.1515/crll.1869.70.105, S2CID 121291546
Schwarz, HA (1870a), "Über die Integration der partiellen Differentialgleichung ∂ 2 u /∂ x 2 + ∂ 2 u /∂ y 2 = 0 unter vorgeschriebenen Grenz- und Unstetigkeitbedingungen", Monatsberichte der Königlichen Akademie der Wissenschaft zu Berlin : 767– 795
Schwarz, HA (1870b), "Über einen Grenzübergang durch alternierendes Verfahren", Vierteljahrsschrift der Naturforschenden Gesellschaft in Zürich , 15 : 272–286, JFM 02.0214.02
Neumann, Carl (1870), "Zur Theorie des Potentiales", Matemáticas. Ana. , 2 (3): 514, doi :10.1007/bf01448242, S2CID 122015888
Neumann, Carl (1877), Untersuchungen über das logarithmische und Newton'sche Potential , Teubner
Neumann, Carl (1884), Vorlesungen über Riemann's Theorie der abelschen Integrale (2ª ed.), Teubner
Mapeo conforme y funciones armónicas
Nevanlinna, Rolf (1939), "Über das alternierende Verfahren von Schwarz", J. Reine Angew. Matemáticas. , 1939 (180): 121–128, doi :10.1515/crll.1939.180.121, S2CID 199546268
Nevanlinna, Rolf (1939), "Bemerkungen zum alternierenden Verfahren", Monatshefte für Mathematik und Physik , 48 : 500–508, doi :10.1007/bf01696203, S2CID 123260734
Nevanlinna, Rolf (1953), Uniformisierung , Die Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften in Einzeldarstellungen mit besonderer Berücksichtigung der Anwendungsgebiete, vol. 64, saltador
Sario, Leo (1953), "Método alterno sobre superficies de Riemann arbitrarias", Pacific J. Math. , 3 (3): 631–645, doi : 10.2140/pjm.1953.3.631
Morgenstern, Dietrich (1956), "Begründung des alternierenden Verfahrens durch Orthogonalprojektion", Z. Angew. Matemáticas. Mec. , 36 (7–8): 255–256, Bibcode :1956ZaMM...36..255M, doi :10.1002/zamm.19560360711, hdl : 10338.dmlcz/100409
Cohn, Harvey (1980), Mapeo conforme en superficies de Riemann , Dover, págs. 242–262, ISBN 0-486-64025-6Capítulo 12, Procedimientos alternativos
Garnett, John B.; Marshall, Donald E. (2005), Medida armónica , Cambridge University Press, ISBN 1139443097
Freitag, Eberhard (2011), Análisis complejo. 2. Superficies de Riemann, varias variables complejas, funciones abelianas, funciones modulares superiores , Springer, ISBN 978-3-642-20553-8
de Saint-Gervais, Henri Paul (2016), Uniformización de superficies de Riemann: revisitando un teorema de cien años, Heritage of European Mathematics, traducido por Robert G. Burns, European Mathematical Society, doi :10.4171/145, ISBN 978-3-03719-145-3, traducción de texto en francés
Chorlay, Renaud (2007), L'émergence du pair local-global dans les théories géométriques, de Bernhard Riemann à la théorie des faisceaux (PDF) , págs.(citado en de Saint-Gervais)
Bottazzini, Umberto; Gray, Jeremy (2013), Armonía oculta: fantasías geométricas: el auge de la teoría de funciones complejas , Fuentes y estudios en la historia de las matemáticas y las ciencias físicas, Springer, ISBN 978-1461457251
Ecuaciones parciales en derivadas y análisis numérico
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