En la mecánica cuántica no relativista , se puede dar cuenta de la existencia de masa y espín (normalmente explicada en la clasificación de Wigner de la mecánica relativista) en términos de la teoría de representación del grupo galileano , que es el grupo de simetría del espacio-tiempo de la mecánica cuántica no relativista.
En 3 + 1 dimensiones, este es el subgrupo del grupo afín en ( t, x, y, z ), cuya parte lineal deja invariantes tanto la métrica ( g μν = diag(1, 0, 0, 0) ) como la métrica dual (independiente) ( g μν = diag(0, 1, 1, 1) ). Una definición similar se aplica para n + 1 dimensiones.
Nos interesan las representaciones proyectivas de este grupo, que son equivalentes a las representaciones unitarias de la extensión central no trivial del grupo de recubrimiento universal del grupo galileano por el grupo de Lie unidimensional R , véase el artículo Grupo galileano para la extensión central de su álgebra de Lie . Para examinarlas se utilizará el método de representaciones inducidas .
Nos centraremos aquí en el álgebra de Lie (centralmente extendida, de Bargmann), porque es más sencilla de analizar y siempre podemos extender los resultados al grupo de Lie completo a través del teorema de Frobenius .
E es el generador de traslaciones de tiempo ( hamiltoniano ), P i es el generador de traslaciones ( operador de momento ), C i es el generador de impulsos galileanos y L ij representa un generador de rotaciones ( operador de momento angular ).
La carga central M es un invariante de Casimir .
El invariante de masa-capa
es un invariante de Casimir adicional .
En 3 + 1 dimensiones, un tercer invariante de Casimir es W 2 , donde
algo análogo al pseudovector de Pauli-Lubanski de la mecánica relativista.
De manera más general, en n + 1 dimensiones, los invariantes serán una función de
y
así como de la invariante de la capa de masa y la carga central anteriores.
Utilizando el lema de Schur , en una representación unitaria irreducible , todos estos invariantes de Casimir son múltiplos de la identidad. Llamemos a estos coeficientes m y mE 0 y (en el caso de 3 + 1 dimensiones) w , respectivamente. Recordando que estamos considerando representaciones unitarias aquí, vemos que estos valores propios tienen que ser números reales .
Por lo tanto, m > 0 , m = 0 y m < 0 . (El último caso es similar al primero). En 3 + 1 dimensiones, cuando In m > 0 , podemos escribir, w = ms para el tercer invariante, donde s representa el espín, o momento angular intrínseco. De manera más general, en n + 1 dimensiones, los generadores L y C estarán relacionados, respectivamente, con el momento angular total y el momento del centro de masas por
Desde un punto de vista puramente teórico de la representación, habría que estudiar todas las representaciones, pero aquí sólo nos interesan las aplicaciones a la mecánica cuántica. Allí, E representa la energía , que debe estar acotada por debajo, si se requiere estabilidad termodinámica. Consideremos primero el caso en el que m es distinto de cero.
Considerando el espacio ( E , P → ) con la restricción vemos que los impulsos galileanos actúan transitivamente sobre esta hipersuperficie. De hecho, tratando la energía E como la hamiltoniana, derivando respecto a P , y aplicando las ecuaciones de Hamilton, obtenemos la relación masa-velocidad m v → = P → .
La hipersuperficie está parametrizada por esta velocidad In v → . Consideremos el estabilizador de un punto en la órbita , ( E 0 , 0 ), donde la velocidad es 0 . Debido a la transitividad, sabemos que el irrep unitario contiene un subespacio lineal no trivial con estos valores propios de energía-momento. (Este subespacio solo existe en un espacio de Hilbert manipulado , porque el espectro del momento es continuo).
El subespacio está abarcado por E , P → , M y L ij . Ya sabemos cómo se transforma el subespacio de la representación irrep bajo todos los operadores excepto el momento angular . Nótese que el subgrupo de rotación es Spin(3) . Tenemos que observar su doble cobertura , porque estamos considerando representaciones proyectivas. Esto se llama el pequeño grupo , un nombre dado por Eugene Wigner . Su método de representaciones inducidas especifica que la representación irrep está dada por la suma directa de todas las fibras en un fibrado vectorial sobre la hipersuperficie mE = mE 0 + P 2 /2 , cuyas fibras son una representación irrep unitaria de Spin(3) .
Spin(3) no es otro que SU(2) . (Véase la teoría de representación de SU(2) , donde se muestra que las irreps unitarias de SU(2) están etiquetadas por s , un múltiplo entero no negativo de un medio. Esto se llama spin , por razones históricas.)
es no positivo. Supongamos que es cero. Aquí, son también los impulsos así como las rotaciones los que constituyen el pequeño grupo. Cualquier representación irreducible unitaria de este pequeño grupo también da lugar a una representación irreducible proyectiva del grupo galileano. Hasta donde sabemos, solo el caso que se transforma trivialmente bajo el pequeño grupo tiene alguna interpretación física, y corresponde al estado sin partículas, el vacío .
El caso en el que el invariante es negativo requiere un comentario adicional. Esto corresponde a la clase de representación para m = 0 y P → distinto de cero . Extendiendo la clasificación de bradiones , luxones y taquiones de la teoría de representación del grupo de Poincaré a una clasificación análoga, aquí, se puede denominar a estos estados como sincronos . Representan una transferencia instantánea de momento distinto de cero a través de una distancia (posiblemente grande). Asociado con ellos, como se mencionó anteriormente, hay un operador de "tiempo".
que pueden identificarse con el tiempo de transferencia. Estos estados se interpretan naturalmente como portadores de fuerzas de acción instantánea a distancia.
NB En el grupo de Galileo 3+1 -dimensional, el generador de impulso puede descomponerse en
con W → desempeñando un papel análogo a la helicidad .
![{\displaystyle [E,P_{i}]=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e26de79ee2e03b44a6a48b032504a34392a3c5fd)
![{\displaystyle [P_{i},P_{j}]=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/98fc7c4a468ce7fa72d4ce1a447632324337ff52)
![{\displaystyle [L_{ij},E]=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/72662ac7a783cf3b0c3063957debea302ae487b9)
![{\displaystyle [C_{i},C_{j}]=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ade86ef409f8f767be149b605b2a76127684a3dc)
![{\displaystyle [L_{ij},L_{kl}]=i\hbar [\delta _{ik}L_{jl}-\delta _{il}L_{jk}-\delta _{jk}L_{il }+\delta _{jl}L_{ik}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/828270d17c9ec5d2915c3eb8c6e0de505807b1bc)
![{\displaystyle [L_{ij},P_{k}]=i\hbar [\delta _{ik}P_{j}-\delta _{jk}P_{i}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/83a3113241f9226901b3ab4387160f00a1392d40)
![{\displaystyle [L_{ij},C_{k}]=i\hbar [\delta _{ik}C_{j}-\delta _{jk}C_{i}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ce3daf3a83613517acb073ae3670d6f6f0985bc1)
![{\displaystyle [C_{i},E]=i\hbar P_{i}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b828b1761063fb6429dc8c1a02a2f01773ed076b)
![{\displaystyle [C_{i},P_{j}]=i\hbar M\delta _{ij}~.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fcf5c62fa3a5a3a8a1b6111f84be92a360b70f27)
