Regla recíproca

En cálculo , la regla recíproca da la derivada de la recíproca de una función f en términos de la derivada de  f . La regla recíproca se puede utilizar para demostrar que la regla de la potencia se cumple para exponentes negativos si ya se ha establecido para exponentes positivos. Además, se puede deducir fácilmente la regla del cociente a partir de la regla recíproca y la regla del producto .

La regla recíproca establece que si f es diferenciable en un punto x y f ( x ) ≠ 0 entonces g( x ) = 1/ f ( x ) también es diferenciable en x y

$${\displaystyle g'(x)=-{\frac {f'(x)}{f(x)^{2}}}.}$$

Prueba

Esta demostración se basa en la premisa de que es diferenciable en y en el teorema de que entonces también es necesariamente continua allí. Aplicando la definición de la derivada de en con se obtiene El límite de este producto existe y es igual al producto de los límites existentes de sus factores: Debido a la diferenciabilidad de en el primer límite es igual a y debido a y la continuidad de en el segundo límite es igual a por lo que se obtiene ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle x,}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle f(x)\neq 0}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}g'(x)={\frac {d}{dx}}\left({\frac {1}{f(x)}}\right)&=\lim _{h\to 0}\left({\frac {{\frac {1}{f(x+h)}}-{\frac {1}{f(x)}}}{h}}\right)\\&=\lim _{h\to 0}\left({\frac {f(x)-f(x+h)}{h\cdot f(x)\cdot f(x+h)}}\right)\\&=\lim _{h\to 0}\left(-({\frac {(f(x+h)-f(x)}{h}})\cdot ({\frac {1}{f(x)\cdot f(x+h)}})\right)\end{aligned}}}$$ $${\displaystyle \left(-\lim _{h\to 0}{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}\right)\cdot \left(\lim _{h\to 0}{\frac {1}{f(x)\cdot f(x+h)}}\right)}$$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle -f'(x),}$ ${\displaystyle f(x)\neq 0}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle 1/f(x)^{2},}$ $${\displaystyle g'(x)=-f'(x)\cdot {\frac {1}{f(x)^{2}}}=-{\frac {f'(x)}{f(x)^{2}}}}$$

Una regla recíproca débil que se deduce algebraicamente de la regla del producto

Se podría argumentar que, dado que

$${\displaystyle f(x)\cdot {\frac {1}{f(x)}}=1,}$$

Una aplicación de la regla del producto dice que

$${\displaystyle f'(x)\left({\frac {1}{f}}\right)(x)+f(x)\left({\frac {1}{f}}\right)'(x)=0,}$$

y esto puede reorganizarse algebraicamente para decir

$${\displaystyle \left({\frac {1}{f}}\right)'(x)={\frac {-f'(x)}{f(x)^{2}}}.}$$

Sin embargo, esto no prueba que 1/ f sea diferenciable en  x ; es válido sólo cuando la diferenciabilidad de 1/ f en x ya está establecida. De esa manera, es un resultado más débil que la regla recíproca demostrada anteriormente. Sin embargo, en el contexto del álgebra diferencial , en la que no hay nada que no sea diferenciable y en el que las derivadas no están definidas por límites, es de esta manera que se establecen la regla recíproca y la regla del cociente más general.

Aplicación a la generalización de la regla de potencia

A menudo, la regla de potencia, que establece que , se demuestra mediante métodos que son válidos solo cuando n es un entero no negativo. Esto se puede extender a enteros negativos n al considerar , donde m es un entero positivo. ${\displaystyle {\tfrac {d}{dx}}(x^{n})=nx^{n-1}}$ ${\displaystyle n=-m}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d}{dx}}x^{n}&={\frac {d}{dx}}\,\left({\frac {1}{x^{m}}}\right)\\&=-{\frac {{\frac {d}{dx}}x^{m}}{(x^{m})^{2}}},{\text{ by the reciprocal rule}}\\&=-{\frac {mx^{m-1}}{x^{2m}}},{\text{ by the power rule applied to the positive integer }}m,\\&=-mx^{-m-1}=nx^{n-1},{\text{ by substituting back }}n=-m.\end{aligned}}}$$

Aplicación a una demostración de la regla del cociente

La regla recíproca es un caso especial de la regla del cociente, que establece que si f y g son diferenciables en x y g ( x ) ≠ 0 entonces

$${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\,\left[{\frac {f(x)}{g(x)}}\right]={\frac {g(x)f\,'(x)-f(x)g'(x)}{[g(x)]^{2}}}.}$$

La regla del cociente se puede demostrar escribiendo

$${\displaystyle {\frac {f(x)}{g(x)}}=f(x)\cdot {\frac {1}{g(x)}}}$$

y luego aplicando primero la regla del producto, y luego aplicando la regla recíproca al segundo factor.

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d}{dx}}\left[{\frac {f(x)}{g(x)}}\right]&={\frac {d}{dx}}\left[f(x)\cdot {\frac {1}{g(x)}}\right]\\&=f'(x)\cdot {\frac {1}{g(x)}}+f(x)\cdot {\frac {d}{dx}}\left[{\frac {1}{g(x)}}\right]\\&=f'(x)\cdot {\frac {1}{g(x)}}+f(x)\cdot \left[{\frac {-g'(x)}{g(x)^{2}}}\right]\\&={\frac {f'(x)}{g(x)}}-{\frac {f(x)g'(x)}{[g(x)]^{2}}}\\&={\frac {f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{[g(x)]^{2}}}.\end{aligned}}}$$

Aplicación a la diferenciación de funciones trigonométricas

Utilizando la regla recíproca se puede encontrar la derivada de las funciones secante y cosecante.

Para la función secante:

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d}{dx}}\sec x&={\frac {d}{dx}}\,\left({\frac {1}{\cos x}}\right)={\frac {-{\frac {d}{dx}}\cos x}{\cos ^{2}x}}={\frac {\sin x}{\cos ^{2}x}}={\frac {1}{\cos x}}\cdot {\frac {\sin x}{\cos x}}=\sec x\tan x.\end{aligned}}}$$

La cosecante se trata de manera similar:

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d}{dx}}\csc x&={\frac {d}{dx}}\,\left({\frac {1}{\sin x}}\right)={\frac {-{\frac {d}{dx}}\sin x}{\sin ^{2}x}}=-{\frac {\cos x}{\sin ^{2}x}}=-{\frac {1}{\sin x}}\cdot {\frac {\cos x}{\sin x}}=-\csc x\cot x.\end{aligned}}}$$

Véase también

• Regla de la cadena  – Para derivadas de funciones compuestas
• Cociente de diferencias  – Expresión en cálculo
• Diferenciación de integrales  – Problema de matemáticas
• Reglas de diferenciación  – Reglas para calcular derivadas de funciones
• Regla general de Leibniz  – Generalización de la regla del producto en cálculo
• Integración por partes  – Método matemático en cálculo
• Funciones inversas y diferenciación  – Cálculo de identidadesPages displaying short descriptions of redirect targets
• Linealidad de la diferenciación  – Propiedad del cálculo
• Regla del producto  – Fórmula para la derivada de un producto
• Regla del cociente  : fórmula para la derivada de un cociente de funciones
• Tabla de derivadas  – Reglas para calcular derivadas de funcionesPages displaying short descriptions of redirect targets
• Identidades del cálculo vectorial  – Identidades matemáticas

Referencias