Motores térmicos cuánticos y refrigeradores

Un motor térmico cuántico es un dispositivo que genera energía a partir del flujo de calor entre depósitos calientes y fríos. El mecanismo de funcionamiento del motor puede describirse mediante las leyes de la mecánica cuántica . La primera realización de un motor térmico cuántico fue señalada por Scovil y Schulz-DuBois en 1959, ^[1] mostrando la conexión de la eficiencia del motor de Carnot y el máser de 3 niveles . Los refrigeradores cuánticos comparten la estructura de los motores térmicos cuánticos con el propósito de bombear calor de un baño frío a uno caliente consumiendo energía sugerida por primera vez por Geusic, Schulz-DuBois, De Grasse y Scovil. ^[2] Cuando la energía es suministrada por un láser, el proceso se denomina bombeo óptico o enfriamiento láser , sugerido por Wineland y Hänsch . ^{[3] [4] [5]} Sorprendentemente, los motores térmicos y los refrigeradores pueden operar hasta la escala de una sola partícula, lo que justifica la necesidad de una teoría cuántica denominada termodinámica cuántica . ^[6]

El amplificador de tres niveles como motor térmico cuántico

El amplificador de tres niveles. Los niveles 1 y 3 están acoplados al depósito caliente. Los niveles 1 y 2 están acoplados al depósito frío. La potencia se obtiene cuando hay inversión de población entre los niveles 3 y 2.

El amplificador de tres niveles es la plantilla de un dispositivo cuántico. Funciona empleando un baño caliente y frío para mantener la inversión de población entre dos niveles de energía que se utiliza para amplificar la luz mediante emisión estimulada ^[7]. El nivel de estado fundamental ( 1-g ) y el nivel excitado ( 3-h ) están acoplados a un baño caliente de temperatura . La brecha de energía es . Cuando la población en los niveles se equilibra ${\displaystyle T_{\text{h}}}$ ${\displaystyle \hbar \omega _{\text{h}}=E_{3}-E_{1}}$

${\displaystyle {\frac {N_{\text{h}}}{N_{\text{g}}}}=e^{-{\frac {\hbar \omega _{\text{h}}}{k_{\text{B}}T_{\text{h}}}}}}$

donde es la constante de Planck y es la constante de Boltzmann . El baño frío de temperatura acopla el suelo ( 1-g ) a un nivel intermedio ( 2-c ) con brecha de energía . Cuando los niveles 2-c y 1-g se equilibran, entonces ${\displaystyle \hbar ={\frac {h}{2\pi }}}$ ${\displaystyle k_{\text{B}}}$ ${\displaystyle T_{\text{c}}}$ ${\displaystyle E_{2}-E_{1}=\hbar \omega _{\text{c}}}$

${\displaystyle {\frac {N_{\text{c}}}{N_{\text{g}}}}=e^{-{\frac {\hbar \omega _{\text{c}}}{k_{\text{B}}T_{\text{c}}}}}}$.

El dispositivo funciona como un amplificador cuando los niveles ( 3-h ) y ( 2-c ) se acoplan a un campo externo de frecuencia . Para condiciones óptimas de resonancia . La eficiencia del amplificador en la conversión de calor en potencia es la relación entre el trabajo de salida y el calor de entrada: ${\displaystyle \nu }$ ${\displaystyle \nu =\omega _{\text{h}}-\omega _{\text{c}}}$

${\displaystyle \eta ={\frac {\hbar \nu }{\hbar \omega _{\text{h}}}}=1-{\frac {\omega _{\text{c}}}{\omega _{\text{h}}}}}$.

La amplificación del campo solo es posible para una ganancia positiva (inversión de población) . Esto es equivalente a . Insertando esta expresión en la fórmula de eficiencia se obtiene: ${\displaystyle G=N_{\text{h}}-N_{\text{c}}\geq 0}$ ${\displaystyle {\frac {\hbar \omega _{\text{c}}}{k_{\text{B}}T_{\text{c}}}}\geq {\frac {\hbar \omega _{\text{h}}}{k_{\text{B}}T_{\text{h}}}}}$

${\displaystyle \eta =1-{\frac {\omega _{\text{c}}}{\omega _{\text{h}}}}\leq 1-{\frac {T_{\text{c}}}{T_{\text{h}}}}=\eta _{\text{c}}}$

donde es la eficiencia del ciclo de Carnot . La igualdad se obtiene bajo una condición de ganancia cero . La relación entre el amplificador cuántico y la eficiencia de Carnot fue señalada por primera vez por Scovil y Schultz-DuBois: ^[1] ${\displaystyle \eta _{\text{c}}}$ ${\displaystyle G=0}$

La inversión del funcionamiento de la conducción de calor del baño frío al baño caliente mediante el consumo de energía constituye un refrigerador . La eficiencia del refrigerador, definida como el coeficiente de rendimiento (COP) para el dispositivo invertido, es:

${\displaystyle \epsilon ={\frac {\omega _{\text{c}}}{\nu }}\leq {\frac {T_{\text{c}}}{T_{\text{h}}-T_{\text{c}}}}}$

Tipos

Los dispositivos cuánticos pueden funcionar de forma continua o mediante un ciclo alternativo. Los dispositivos continuos incluyen células solares que convierten la radiación solar en energía eléctrica, termoeléctricos donde la salida es corriente y láseres donde la potencia de salida es luz coherente. El principal ejemplo de un refrigerador continuo es el bombeo óptico y el enfriamiento por láser . ^{[8] [9]} De manera similar a los motores alternativos clásicos, los motores térmicos cuánticos también tienen un ciclo que se divide en diferentes tiempos. Un tiempo es un segmento de tiempo en el que tiene lugar una determinada operación (por ejemplo, termalización o extracción de trabajo). Dos tiempos adyacentes no conmutan entre sí. Las máquinas térmicas alternativas más comunes son la máquina de cuatro tiempos y la máquina de dos tiempos. Se ha sugerido que los dispositivos alternativos funcionan mediante el ciclo de Carnot ^{[10] [11]} o el ciclo de Otto . ^[12]

En ambos tipos la descripción cuántica permite obtener la ecuación de movimiento del medio de trabajo y el flujo de calor de los depósitos.

Motor térmico alternativo cuántico y refrigerador

Se han estudiado versiones cuánticas de la mayoría de los ciclos termodinámicos comunes, por ejemplo, el ciclo de Carnot , ^{[10] [11] [13]} el ciclo de Stirling ^[14] y el ciclo de Otto . ^{[12] [15]}

El ciclo Otto puede servir como modelo para otros ciclos alternativos.

Ciclo de Otto cuántico mostrado en el plano de entropía donde se muestran la entropía de energía y la entropía de von Neumann . es la frecuencia interna del dispositivo y se controla externamente. Imita el volumen inverso en el ciclo de Otto . Las líneas roja y azul son las isócoras fría y caliente. El ciclo representa una bomba de calor. ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle \Omega }$

Se compone de los cuatro segmentos siguientes:

• Proceso isomagnético o isocórico segmentado , equilibrio parcial con el baño frío bajo hamiltoniano constante. La dinámica del medio de trabajo se caracteriza por el propagador . ${\displaystyle A\rightarrow B}$ ${\displaystyle {U}/}$
• Magnetización de segmentos o compresión adiabática , el campo externo cambia expandiendo la brecha entre los niveles de energía del hamiltoniano. La dinámica se caracteriza por el propagador . ${\displaystyle B\rightarrow C}$ ${\displaystyle {U}_{\text{ch}}}$
• Segmento isomagnético , o proceso isocórico en equilibrio parcial con el baño caliente descrito por el propagador . ${\displaystyle C\rightarrow D}$ ${\displaystyle U_{\text{h}}}$
• Desmagnetización de segmentos o expansión adiabática reduciendo las brechas de energía en el hamiltoniano, caracterizado por el propagador . ${\displaystyle D\rightarrow A}$ ${\displaystyle U_{\text{hc}}}$

El propagador del ciclo de cuatro tiempos se convierte en , que es el producto ordenado de los propagadores de segmentos: ${\displaystyle U_{\text{global}}}$

${\displaystyle {U}_{\text{global}}~~=~~{U}_{\text{hc}}{U}_{\text{h}}{U}_{\text{ch}}{U}_{\text{c}}}$

Los propagadores son operadores lineales definidos en un espacio vectorial que determina completamente el estado del medio de trabajo. Es común a todos los ciclos termodinámicos que los propagadores de segmentos consecutivos no conmuten . La conmutación de los propagadores dará lugar a una potencia nula. ${\displaystyle [{\ U}_{i},{U}_{j}]\neq 0}$

En un motor térmico cuántico alternativo, el medio de trabajo es un sistema cuántico, como los sistemas de espín ^[16] o un oscilador armónico. ^[17] Para obtener la máxima potencia, se debe optimizar el tiempo de ciclo. Hay dos escalas de tiempo básicas en el refrigerador alternativo: el tiempo de ciclo y la escala de tiempo interna . En general, cuando el motor funciona en condiciones cuasiadiabáticas, el único efecto cuántico se puede encontrar a bajas temperaturas, donde la unidad de energía del dispositivo se convierte en lugar de . La eficiencia en este límite es , siempre menor que la eficiencia de Carnot . A alta temperatura y para el medio de trabajo armónico, la eficiencia a máxima potencia se convierte en que es el resultado de la termodinámica endorreversible . ^[17] ${\displaystyle \tau _{\text{cyc}}}$ ${\displaystyle 2\pi /\omega }$ ${\displaystyle \tau _{\text{cyc}}\gg 2\pi /\omega }$ ${\displaystyle \hbar \omega }$ ${\displaystyle k_{\text{B}}T}$ ${\displaystyle \eta =1-{\frac {\omega _{\text{c}}}{\omega _{\text{h}}}}}$ ${\displaystyle \eta _{\text{c}}}$ ${\displaystyle \eta =1-{\sqrt {\frac {T_{\text{c}}}{T_{\text{h}}}}}}$

Para tiempos de ciclo más cortos, el medio de trabajo no puede seguir adiabáticamente el cambio en el parámetro externo. Esto conduce a fenómenos similares a la fricción. Se requiere potencia adicional para impulsar el sistema más rápido. La firma de tal dinámica es el desarrollo de coherencia que causa disipación adicional. Sorprendentemente, la dinámica que conduce a la fricción está cuantizada, lo que significa que se pueden encontrar soluciones sin fricción para la expansión/compresión adiabática en tiempo finito. ^{[18] [19]} Como resultado, la optimización debe llevarse a cabo solo con respecto al tiempo asignado al transporte de calor. En este régimen, la característica cuántica de la coherencia degrada el rendimiento. El rendimiento óptimo sin fricción se obtiene cuando la coherencia se puede cancelar.

Los tiempos de ciclo más cortos , a veces denominados ciclos repentinos, ^[20] tienen características universales. En este caso, la coherencia contribuye a la potencia de los ciclos. ${\displaystyle \tau _{\text{cyc}}\ll 2\pi /\omega }$

Se ha propuesto un ciclo cuántico de motor de dos tiempos equivalente al ciclo Otto basado en dos qubits . El primer qubit tiene frecuencia y el segundo . El ciclo se compone de un primer tiempo de equilibrio parcial de los dos qubits con el baño caliente y frío en paralelo. El segundo tiempo de potencia se compone de un intercambio parcial o total entre los qubits. La operación de intercambio se genera mediante una transformación unitaria que conserva la entropía , por lo que es un tiempo de potencia puro. ^{[21] [22]} ${\displaystyle \omega _{\text{h}}}$ ${\displaystyle \omega _{\text{c}}}$

Los refrigeradores de ciclo Otto cuántico comparten el mismo ciclo con la refrigeración magnética . ^[23]

Motores cuánticos continuos

Los motores cuánticos continuos son los análogos cuánticos de las turbinas . El mecanismo de salida de trabajo se acopla a un campo periódico externo, típicamente el campo electromagnético. Por lo tanto, el motor térmico es un modelo para un láser . ^[9] Los modelos difieren por la elección de su sustancia de trabajo y fuente y sumidero de calor. Se han estudiado osciladores armónicos de dos niveles ^[24] , tres niveles ^[25], cuatro niveles ^{[26] [27]} y acoplados ^[28] accionados externamente .

La conducción periódica divide la estructura de niveles de energía del medio de trabajo. Esta división permite que el motor de dos niveles se acople selectivamente a los baños fríos y calientes y produzca energía. Por otra parte, ignorar esta división en la derivación de la ecuación de movimiento violará la segunda ley de la termodinámica . ^[29]

Se han considerado combustibles no térmicos para los motores térmicos cuánticos. La idea es aumentar el contenido energético del baño caliente sin aumentar su entropía. Esto se puede lograr empleando coherencia ^[30] o un baño térmico comprimido. ^[31] Estos dispositivos no violan la segunda ley de la termodinámica.

Equivalencia de máquinas de calor reciprocantes y continuas en el régimen cuántico

Los motores de dos tiempos, de cuatro tiempos y de funcionamiento continuo son muy diferentes entre sí. Sin embargo, se ha demostrado ^[32] que existe un régimen cuántico en el que todas estas máquinas se vuelven termodinámicamente equivalentes entre sí. Si bien la dinámica intraciclo en el régimen de equivalencia es muy diferente en los distintos tipos de motores, cuando se completa el ciclo, todos resultan proporcionar la misma cantidad de trabajo y consumir la misma cantidad de calor (por lo tanto, también comparten la misma eficiencia). Esta equivalencia está asociada con un mecanismo de extracción de trabajo coherente y no tiene un análogo clásico. Estas características cuánticas se han demostrado experimentalmente. ^[33]

Motores térmicos y sistemas cuánticos abiertos

El ejemplo elemental opera en condiciones de cuasi equilibrio. Su característica cuántica principal es la estructura de niveles de energía discretos. Los dispositivos más realistas operan fuera del equilibrio y poseen fugas de calor por fricción y flujo de calor finito. La termodinámica cuántica proporciona una teoría dinámica necesaria para sistemas fuera de equilibrio, como los motores térmicos, introduciendo así la dinámica en la termodinámica. La teoría de sistemas cuánticos abiertos constituye la teoría básica. Para los motores térmicos se busca una descripción reducida de la dinámica de la sustancia activa, trazando los baños calientes y fríos. El punto de partida es el hamiltoniano general de los sistemas combinados:

${\displaystyle H=H_{\text{s}}s+H_{\text{c}}+H_{\text{h}}{\text{h}}+H_{\text{sc}}+H_{\text{sh}}}$

y el hamiltoniano del sistema depende del tiempo. Una descripción reducida conduce a la ecuación de movimiento del sistema: ${\displaystyle H_{\text{s}}(t)}$

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\rho =-{\frac {i}{\hbar }}[H_{\text{s}},\rho ]+L_{\text{h}}(\rho )+L_{\text{c}}(\rho )}$

donde es el operador de densidad que describe el estado del medio de trabajo y es el generador de dinámica disipativa que incluye los términos de transporte de calor de los baños. Utilizando esta construcción, el cambio total en energía del subsistema se convierte en: ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle L_{\text{h/c}}}$

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}E=\left\langle {\frac {\partial H_{\text{s}}}{\partial t}}\right\rangle +\langle L_{\text{h}}(H_{\text{s}})\rangle +\langle L_{\text{c}}(H_{\text{s}})\rangle }$

conduciendo a la versión dinámica de la primera ley de la termodinámica : ^[6]

• El poder ${\displaystyle P=\left\langle {\frac {\partial H}{\partial t}}\right\rangle }$
• Corrientes de calor y . ${\displaystyle J_{\text{h}}=\langle L_{\text{h}}(H_{\text{s}})\rangle }$ ${\displaystyle J_{\text{c}}=\langle L_{\text{c}}(H_{\text{s}})\rangle }$

La tasa de producción de entropía se convierte en:

${\displaystyle {\frac {dS}{dt}}=-{\frac {J_{\text{h}}}{T_{\text{h}}}}-{\frac {J_{\text{c}}}{T_{\text{c}}}}\geq 0}$

La estructura global de la mecánica cuántica se refleja en la derivación de la descripción reducida. Una derivación que es consistente con las leyes de la termodinámica se basa en el límite de acoplamiento débil. Una idealización termodinámica supone que el sistema y los baños no están correlacionados, lo que significa que el estado total del sistema combinado se convierte en un producto tensorial en todo momento:

${\displaystyle \rho =\rho _{\text{s}}\otimes \rho _{\text{h}}\otimes \rho _{\text{c}}~.}$

En estas condiciones las ecuaciones dinámicas de movimiento se convierten en: donde es el superoperador de Liouville descrito en términos del espacio de Hilbert del sistema, donde los reservorios se describen implícitamente. Dentro del formalismo del sistema abierto cuántico, puede tomar la forma del generador markoviano de Gorini-Kossakowski-Sudarshan-Lindblad (GKS-L) o también conocido simplemente como ecuación de Lindblad . ^[34] Se han propuesto teorías más allá del régimen de acoplamiento débil. ^{[35] [36] [37]} ${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\rho _{\text{s}}={L}\rho _{\text{s}}~,}$ ${\displaystyle {L}}$ ${\displaystyle L}$

El cuánticorefrigerador de absorción

El refrigerador de absorción es de importancia única para configurar un dispositivo cuántico autónomo. Un dispositivo de este tipo no requiere energía externa y funciona sin intervención externa para programar las operaciones. ^{[38] [39] [40]} La construcción básica incluye tres baños: un baño de energía, un baño caliente y un baño frío. El modelo de triciclo es la plantilla para el refrigerador de absorción.

Refrigerador de absorción de triciclo cuántico. El dispositivo está compuesto por tres baños donde el calor fluye desde el depósito de energía y el baño frío al baño caliente. ${\displaystyle T_{\text{d}}\geq T_{\text{h}}\geq T_{\text{c}}}$

El motor de triciclo tiene una estructura genérica. El modelo básico consta de tres baños termales: un baño caliente con temperatura , un baño frío con temperatura y un baño de trabajo con temperatura . ${\displaystyle T_{\text{h}}}$ ${\displaystyle T_{\text{c}}}$ ${\displaystyle T_{\text{d}}}$

Cada baño está conectado al motor a través de un filtro de frecuencia que puede ser modelado por tres osciladores:

${\displaystyle H_{0}=\hbar \omega _{\text{h}}a^{\dagger }a+\hbar \omega _{\text{c}}b^{\dagger }b+\hbar \omega _{\text{d}}c^{\dagger }c~~,}$

donde , y son las frecuencias de filtro en resonancia . ${\displaystyle \omega _{\text{h}}}$ ${\displaystyle \omega _{\text{c}}}$ ${\displaystyle \omega _{\text{d}}}$ ${\displaystyle \omega _{\text{d}}=\omega _{\text{h}}-\omega _{\text{c}}}$

El dispositivo funciona como un refrigerador al extraer una excitación del baño frío y del baño de trabajo y generar una excitación en el baño caliente. El término en el hamiltoniano no es lineal y es crucial para un motor o un refrigerador. ${\displaystyle a^{\dagger }bc}$

${\displaystyle H_{I}=\hbar \epsilon \left(ab^{\dagger }c^{\dagger }+a^{\dagger }bc\right)~~,}$

¿Dónde está la fuerza de acoplamiento? ${\displaystyle \epsilon }$

La primera ley de la termodinámica representa el balance energético de las corrientes de calor que se originan en los tres baños y coliman en el sistema:

${\displaystyle {\frac {dE_{\text{s}}}{dt}}={J}_{\text{h}}+{J}_{\text{c}}+{J}_{\text{d}}~~.}$

En estado estacionario no se acumula calor en el triciclo, por lo que . Además, en estado estacionario la entropía solo se genera en los baños, lo que da lugar a la segunda ley de la termodinámica : ${\displaystyle {\frac {dE_{\text{s}}}{dt}}=0}$

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\Delta {S}_{\text{u}}~=~-{\frac {{J}_{\text{h}}}{T_{\text{h}}}}-{\frac {{J}_{\text{c}}}{T_{\text{c}}}}-{\frac {{J}_{\text{d}}}{T_{\text{d}}}}~\geq ~0~~.}$

Esta versión de la segunda ley es una generalización del enunciado del teorema de Clausius : el calor no fluye espontáneamente de cuerpos fríos a cuerpos calientes. Cuando la temperatura es , no se genera entropía en el baño de energía. Una corriente de energía sin producción de entropía que la acompañe es equivalente a generar energía pura: , donde es la potencia de salida. ${\displaystyle T_{\text{d}}\rightarrow \infty }$ ${\displaystyle {P}={J}_{\text{d}}}$ ${\displaystyle {P}}$

Refrigeradores cuánticos y laTercera ley de la termodinámica

Aparentemente existen dos formulaciones independientes de la tercera ley de la termodinámica, ambas formuladas originalmente por Walther Nernst . La primera formulación se conoce como el teorema del calor de Nernst y puede expresarse como:

• La entropía de cualquier sustancia pura en equilibrio termodinámico se acerca a cero a medida que la temperatura se acerca a cero.

La segunda formulación es dinámica y se conoce como principio de inalcanzabilidad : ^[41]

• Es imposible mediante cualquier procedimiento, por idealizado que sea, reducir cualquier conjunto a la temperatura cero absoluta en un número finito de operaciones.

En estado estacionario, la segunda ley de la termodinámica implica que la producción total de entropía no es negativa. Cuando el baño frío se acerca a la temperatura del cero absoluto, es necesario eliminar la divergencia de producción de entropía en el lado frío cuando , por lo tanto ${\displaystyle T_{\text{c}}\rightarrow 0}$

${\displaystyle {\dot {S}}_{\text{c}}\propto -T_{\text{c}}^{\alpha }~~~,~~~~\alpha \geq 0~~.}$

Para el cumplimiento de la segunda ley depende de la producción de entropía de los otros baños, que debe compensar la producción de entropía negativa del baño frío. La primera formulación de la tercera ley modifica esta restricción. En lugar de la tercera ley impone , garantizando que en el cero absoluto la producción de entropía en el baño frío sea cero: . Este requisito conduce a la condición de escalamiento de la corriente de calor . ${\displaystyle \alpha =0}$ ${\displaystyle \alpha \geq 0}$ ${\displaystyle \alpha >0}$ ${\displaystyle {\dot {S}}_{\text{c}}=0}$ ${\displaystyle {J}_{\text{c}}\propto T_{\text{c}}^{\alpha +1}}$

La segunda formulación, conocida como principio de inalcanzabilidad, puede reformularse como: ^[42]

• Ningún refrigerador puede enfriar un sistema a la temperatura cero absoluta en un tiempo finito.

La dinámica del proceso de enfriamiento está gobernada por la ecuación

${\displaystyle {J}_{\text{c}}(T_{\text{c}}(t))=-c_{V}(T_{\text{c}}(t)){\frac {dT_{\text{c}}(t)}{dt}}~~.}$

donde es la capacidad calorífica del baño. Tomando y con , podemos cuantificar esta formulación evaluando el exponente característico del proceso de enfriamiento, ${\displaystyle c_{V}(T_{\text{c}})}$ ${\displaystyle {J}_{\text{c}}\propto T_{\text{c}}^{\alpha +1}}$ ${\displaystyle c_{V}\sim T_{\text{c}}^{\eta }}$ ${\displaystyle {\eta }\geq 0}$ ${\displaystyle \zeta }$

${\displaystyle {\frac {dT_{\text{c}}(t)}{dt}}\propto -T_{\text{c}}^{\zeta },~~~~~T_{\text{c}}\rightarrow 0,~~~~~{\zeta =\alpha -\eta +1}}$

Esta ecuación introduce la relación entre los exponentes característicos y . Cuando el baño se enfría a temperatura cero en un tiempo finito, lo que implica una violación de la tercera ley. De la última ecuación se desprende que el principio de inalcanzabilidad es más restrictivo que el teorema del calor de Nernst . ${\displaystyle \zeta }$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \zeta <0}$

Referencias

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Lectura adicional

Deffner, Sebastian y Campbell, Steve. “Termodinámica cuántica: una introducción a la termodinámica de la información cuántica” (Morgan & Claypool Publishers, 2019). ^[1]

F. Binder, LA Correa, C. Gogolin, J. Anders, G. Adesso (eds.) "Termodinámica en el régimen cuántico. Aspectos fundamentales y nuevas direcciones" (Springer 2018)

Gemmer, Jochen, M. Michel y Günter Mahler. "Termodinámica cuántica. Aparición del comportamiento termodinámico en sistemas cuánticos compuestos. 2." (2009).

Petruccione, Francesco y Heinz-Peter Breuer. La teoría de los sistemas cuánticos abiertos. Oxford University Press, 2002.

Enlaces externos

• "El motor térmico a nanoescala supera el límite de eficiencia estándar". phys.org .

1. Deffner, Sebastian (2019). Termodinámica cuántica . doi :10.1088/2053-2571/ab21c6. ISBN . 978-1-64327-658-8.S2CID 195791624  .