Una división proporcional es un tipo de división justa en la que un recurso se divide entre n socios con valoraciones subjetivas, dando a cada socio al menos 1/ n del recurso según su propia valoración subjetiva.
La proporcionalidad fue el primer criterio de equidad estudiado en la literatura, por lo que a veces se lo denomina "división justa simple". Fue concebido por primera vez por Steinhaus. [1]
Consideremos un terreno que debe dividirse entre tres herederos: Alice y Bob, que creen que vale 3 millones de dólares, y George, que cree que vale 4,5 millones de dólares. En una división proporcional, Alice recibe un terreno que cree que vale al menos 1 millón de dólares, Bob recibe un terreno que cree que vale al menos 1 millón de dólares (aunque Alice pueda pensar que vale menos) y George recibe un terreno que cree que vale al menos 1,5 millones de dólares.
No siempre existe una división proporcional. Por ejemplo, si el recurso contiene varios elementos indivisibles y el número de personas es mayor que el número de elementos, algunas personas no obtendrán ningún elemento y su valor será cero. Sin embargo, dicha división existe con alta probabilidad para los elementos indivisibles bajo ciertos supuestos sobre las valoraciones de los agentes. [2]
Además, se garantiza que existe una división proporcional si se cumplen las siguientes condiciones:
Por lo tanto, la división proporcional suele estudiarse en el contexto del corte justo de la tarta . Consulte el corte proporcional de la tarta para obtener información detallada sobre los procedimientos para lograr una división proporcional en el contexto del corte de la tarta.
Un criterio de equidad más laxo es la proporcionalidad parcial , en la que cada socio recibe una determinada fracción f ( n ) del valor total, donde f ( n ) ≤ 1/ n . Existen divisiones parcialmente proporcionales (bajo ciertas condiciones) incluso para elementos indivisibles.
Una división superproporcional es una división en la que cada socio recibe estrictamente más de 1/ n del recurso según su propia valoración subjetiva.
Por supuesto, una división de este tipo no siempre existe: cuando todos los socios tienen exactamente las mismas funciones de valor, lo mejor que podemos hacer es dar a cada socio exactamente 1/ n . Por lo tanto, una condición necesaria para la existencia de una división superproporcional es que no todos los socios tengan la misma medida de valor.
El hecho sorprendente es que, cuando las valoraciones son aditivas y no atómicas, esta condición también es suficiente. Es decir, cuando hay al menos dos socios cuya función de valor es incluso ligeramente diferente, entonces hay una división superproporcional en la que todos los socios reciben más de 1/ n . Véase división superproporcional para más detalles.
La proporcionalidad (PR) y la ausencia de envidia (FE) son dos propiedades independientes, pero en algunos casos una de ellas puede implicar a la otra.
Cuando todas las valoraciones son funciones de conjunto aditivas y se divide todo el pastel, se cumplen las siguientes implicaciones:
Cuando las valoraciones son sólo subaditivas , EF sigue implicando PR, pero PR ya no implica EF ni siquiera con dos socios: es posible que la parte de Alice valga la mitad a sus ojos, pero la de Bob valga incluso más. Por el contrario, cuando las valoraciones son sólo superaditivas , PR sigue implicando EF con dos socios, pero EF ya no implica PR ni siquiera con dos socios: es posible que la parte de Alice valga 1/4 a sus ojos, pero la de Bob valga incluso menos. De forma similar, cuando no se divide todo el pastel, EF ya no implica PR. Las implicaciones se resumen en la siguiente tabla:
Una ventaja del criterio de proporcionalidad sobre el criterio de no envidia y otros criterios similares es que es estable con respecto a los intercambios voluntarios.
Por ejemplo, supongamos que un determinado terreno se divide entre tres socios: Alice, Bob y George, en una división que es proporcional y libre de envidias. Varios meses después, Alice y George deciden fusionar sus parcelas y volver a dividirlas de una manera que les resulte más rentable. Desde el punto de vista de Bob, la división sigue siendo proporcional, ya que todavía tiene un valor subjetivo de al menos 1/3 del total, independientemente de lo que Alice y George hagan con sus parcelas. Por otro lado, la nueva división podría no estar libre de envidias. Por ejemplo, es posible que inicialmente tanto Alice como George recibieran una parcela de tierra que Bob valora subjetivamente como 1/3, pero ahora, después de la nueva división, George obtuvo todo el valor (a los ojos de Bob), por lo que ahora Bob envidia a George.
Por lo tanto, utilizar la ausencia de envidia como criterio de equidad implica que debemos restringir el derecho de las personas a realizar intercambios voluntarios después de la división. El uso de la proporcionalidad como criterio de equidad no tiene tales implicaciones negativas.
Una ventaja adicional de la proporcionalidad es que es compatible con la racionalidad individual en el siguiente sentido. Supongamos que n socios poseen un recurso en común. En muchos escenarios prácticos (aunque no siempre), los socios tienen la opción de vender el recurso en el mercado y dividir los ingresos de modo que cada socio reciba exactamente 1/ n . Por lo tanto, un socio racional aceptará participar en un procedimiento de división, solo si el procedimiento garantiza que recibirá al menos 1/ n de su valor total.
Además, debería haber al menos una posibilidad (si no una garantía) de que el socio reciba más de 1/ n ; esto explica la importancia de los teoremas de existencia de la división superproporcional .