Producto de mecha

En teoría de la probabilidad , el producto de Wick es una forma particular de definir un producto ajustado de un conjunto de variables aleatorias . En el producto de orden más bajo, el ajuste corresponde a restar el valor medio, para dejar un resultado cuya media es cero. Para los productos de orden superior, el ajuste implica restar los productos de orden inferior (ordinarios) de las variables aleatorias, de forma simétrica, dejando nuevamente un resultado cuya media es cero. El producto de Wick es una función polinómica de las variables aleatorias, sus valores esperados y los valores esperados de sus productos.

La definición del producto Wick conduce inmediatamente a la potencia Wick de una única variable aleatoria y esto permite que se definan análogos de otras funciones de variables aleatorias sobre la base de la sustitución de las potencias ordinarias en una serie de potencias por las potencias Wick. Las potencias Wick de variables aleatorias comúnmente vistas se pueden expresar en términos de funciones especiales como los polinomios de Bernoulli o los polinomios de Hermite .

El producto de Wick recibe su nombre del físico Gian-Carlo Wick , cf. Teorema de Wick .

Definición

Supongamos que X ₁ , ...,  X _k son variables aleatorias con momentos finitos . El producto de Wick

${\displaystyle \langle X_{1},\dots ,X_{k}\rangle \,}$

es un tipo de producto definido recursivamente de la siguiente manera: ^{[ cita requerida ]}

${\displaystyle \langle \rangle =1\,}$

(es decir, el producto vacío —el producto de ninguna variable aleatoria— es 1). Para k ≥ 1, imponemos el requisito

${\displaystyle {\partial \langle X_{1},\dots ,X_{k}\rangle \over \partial X_{i}}=\langle X_{1},\dots ,X_{i-1},{\widehat {X}}_{i},X_{i+1},\dots ,X_{k}\rangle ,}$

donde significa que X _i está ausente, junto con la restricción de que el promedio es cero, ${\displaystyle {\widehat {X}}_{i}}$

${\displaystyle \operatorname {E} \langle X_{1},\dots ,X_{k}\rangle =0.\,}$

De manera equivalente, el producto Wick se puede definir escribiendo el monomio como un "polinomio Wick": ${\displaystyle X_{1}\dots X_{k}}$

${\displaystyle X_{1}\dots X_{k}=\sum _{S\subseteq \left\{1,\dots ,k\right\}}\operatorname {E} \left(\textstyle \prod _{i\notin S}X_{i}\right)\cdot \langle X_{i}:i\in S\rangle \,}$,

donde denota el producto Wick si . Se ve fácilmente que esto satisface la definición inductiva. ${\displaystyle \langle X_{i}:i\in S\rangle }$ ${\displaystyle \langle X_{i_{1}},\dots ,X_{i_{m}}\rangle }$ ${\displaystyle S=\left\{i_{1},\dots ,i_{m}\right\}}$

Ejemplos

Resulta que

${\displaystyle \langle X\rangle =X-\operatorname {E} X,\,}$

${\displaystyle \langle X,Y\rangle =XY-\operatorname {E} Y\cdot X-\operatorname {E} X\cdot Y+2(\operatorname {E} X)(\operatorname {E} Y)-\operatorname {E} (XY),\,}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\langle X,Y,Z\rangle =&XYZ\\&-\operatorname {E} Y\cdot XZ\\&-\operatorname {E} Z\cdot XY\\&-\operatorname {E} X\cdot YZ\\&+2(\operatorname {E} Y)(\operatorname {E} Z)\cdot X\\&+2(\operatorname {E} X)(\operatorname {E} Z)\cdot Y\\&+2(\operatorname {E} X)(\operatorname {E} Y)\cdot Z\\&-\operatorname {E} (XZ)\cdot Y\\&-\operatorname {E} (XY)\cdot Z\\&-\operatorname {E} (YZ)\cdot X\\&-\operatorname {E} (XYZ)\\&+2\operatorname {E} (XY)\operatorname {E} Z+2\operatorname {E} (XZ)\operatorname {E} Y+2\operatorname {E} (YZ)\operatorname {E} X\\&-6(\operatorname {E} X)(\operatorname {E} Y)(\operatorname {E} Z).\end{aligned}}}$

Otra convención de notación

En la notación convencional entre los físicos, el producto de Wick a menudo se denota así:

${\displaystyle :X_{1},\dots ,X_{k}:\,}$

y la notación de corchetes angulares

${\displaystyle \langle X\rangle \,}$

se utiliza para denotar el valor esperado de la variable aleatoria X.

Poderes de mecha

La n- ésima potencia de Wick de una variable aleatoria X es el producto de Wick

${\displaystyle X'^{n}=\langle X,\dots ,X\rangle \,}$

con n factores.

La secuencia de polinomios P _​​n tales que

${\displaystyle P_{n}(X)=\langle X,\dots ,X\rangle =X'^{n}\,}$

forman una secuencia de Appell , es decir, satisfacen la identidad

${\displaystyle P_{n}'(x)=nP_{n-1}(x),\,}$

para n = 0, 1, 2, ... y P ₀ ( x ) es una constante distinta de cero.

Por ejemplo, se puede demostrar que si X se distribuye uniformemente en el intervalo [0, 1], entonces

${\displaystyle X'^{n}=B_{n}(X)\,}$

donde B _n es el polinomio de Bernoulli de grado n . De manera similar, si X se distribuye normalmente con varianza 1, entonces

${\displaystyle X'^{n}=H_{n}(X)\,}$

donde H _n es el n- ésimo polinomio de Hermite .

Teorema del binomio

${\displaystyle (aX+bY)^{'n}=\sum _{i=0}^{n}{n \choose i}a^{i}b^{n-i}X^{'i}Y^{'{n-i}}}$

Wick exponencial

${\displaystyle \langle \operatorname {exp} (aX)\rangle \ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \sum _{i=0}^{\infty }{\frac {a^{i}}{i!}}X^{'i}}$

Referencias

• Producto Wick Enciclopedia Springer de Matemáticas
• Florin Avram y Murad Taqqu , (1987) "Teoremas del límite no central y polinomios de Appell", Annals of Probability , volumen 15, número 2, páginas 767—775, 1987.
• Hida, T. e Ikeda, N. (1967) "Análisis del espacio de Hilbert con núcleo reproductor que surge de la integral múltiple de Wiener". Proc. Quinto Simposio de Berkeley sobre Matemáticas, Estadística y Probabilidad (Berkeley, California, 1965/66). Vol. II: Contribuciones a la teoría de la probabilidad, Parte 1, págs. 117-143, Univ. California Press
• Wick, GC (1950) "La evaluación de la matriz de colisión". Physical Rev. 80 (2), 268–272.