Polinomios de Bernoulli

Sucesión polinómica

Polinomios de Bernoulli

En matemáticas , los polinomios de Bernoulli , llamados así por Jacob Bernoulli , combinan los números de Bernoulli y los coeficientes binomiales . Se utilizan para la expansión en serie de funciones y con la fórmula de Euler-MacLaurin .

Estos polinomios se utilizan en el estudio de muchas funciones especiales y, en particular, de la función zeta de Riemann y de la función zeta de Hurwitz . Son una sucesión de Appell (es decir, una sucesión de Sheffer para el operador de derivada ordinaria ). En el caso de los polinomios de Bernoulli, el número de cruces del eje x en el intervalo unitario no aumenta con el grado . En el límite de grado grande, se aproximan, cuando se escalan adecuadamente, a las funciones seno y coseno .

Un conjunto similar de polinomios, basado en una función generadora, es la familia de polinomios de Euler .

Representaciones

Los polinomios de Bernoulli B _n pueden definirse mediante una función generadora . También admiten una variedad de representaciones derivadas.

Funciones generadoras

La función generadora de los polinomios de Bernoulli es La función generadora de los polinomios de Euler es $${\displaystyle {\frac {te^{xt}}{e^{t}-1}}=\sum _{n=0}^{\infty }B_{n}(x){\frac {t^{n}}{n!}}.}$$ $${\displaystyle {\frac {2e^{xt}}{e^{t}+1}}=\sum _{n=0}^{\infty }E_{n}(x){\frac {t^{n}}{n!}}.}$$

Fórmula explícita

$${\displaystyle B_{n}(x)=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}B_{n-k}x^{k},}$$ $${\displaystyle E_{m}(x)=\sum _{k=0}^{m}{m \choose k}{\frac {E_{k}}{2^{k}}}\left(x-{\tfrac {1}{2}}\right)^{m-k}.}$$para n ≥ 0, donde B _k son los números de Bernoulli y E _k son los números de Euler .

Representación mediante un operador diferencial

Los polinomios de Bernoulli también están dados por donde es la diferenciación con respecto a x y la fracción se desarrolla como una serie de potencias formales . De ello se deduce que cf. § Integrales a continuación. Por la misma razón, los polinomios de Euler están dados por $${\displaystyle \ B_{n}(x)={\frac {D}{\ e^{D}-1\ }}\ x^{n}\ }$$ ${\displaystyle \ D\equiv {\frac {\mathrm {d} }{\ \mathrm {d} x\ }}\ }$ $${\displaystyle \ \int _{a}^{x}\ B_{n}(u)\ \mathrm {d} \ u={\frac {\ B_{n+1}(x)-B_{n+1}(a)\ }{n+1}}~.}$$ $${\displaystyle \ E_{n}(x)={\frac {2}{\ e^{D}+1\ }}\ x^{n}~.}$$

Representación mediante un operador integral

Los polinomios de Bernoulli son también los únicos polinomios determinados por $${\displaystyle \int _{x}^{x+1}B_{n}(u)\,du=x^{n}.}$$

La transformada integral de polinomios f , simplemente equivale a Esto se puede utilizar para producir las fórmulas de inversión siguientes. $${\displaystyle (Tf)(x)=\int _{x}^{x+1}f(u)\,du}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}(Tf)(x)={e^{D}-1 \over D}f(x)&{}=\sum _{n=0}^{\infty }{D^{n} \over (n+1)!}f(x)\\&{}=f(x)+{f'(x) \over 2}+{f''(x) \over 6}+{f'''(x) \over 24}+\cdots .\end{aligned}}}$$

Recurrencia integral

En ^{[1] [2]} se deduce y prueba que los polinomios de Bernoulli se pueden obtener mediante la siguiente recurrencia integral $${\displaystyle B_{m}(x)=m\int _{0}^{x}B_{m-1}(t)\,dt-m\int _{0}^{1}\int _{0}^{t}B_{m-1}(s)\,dsdt.}$$

Otra fórmula explícita

Una fórmula explícita para los polinomios de Bernoulli está dada por $${\displaystyle B_{n}(x)=\sum _{k=0}^{n}{\biggl [}{\frac {1}{k+1}}\sum _{\ell =0}^{k}(-1)^{\ell }{k \choose \ell }(x+\ell )^{n}{\biggr ]}.}$$

Esto es similar a la expresión en serie para la función zeta de Hurwitz en el plano complejo. De hecho, existe la relación donde es la función zeta de Hurwitz . Esta última generaliza los polinomios de Bernoulli, permitiendo valores no enteros de n . $${\displaystyle B_{n}(x)=-n\zeta (1-n,\,x)}$$ ${\displaystyle \zeta (s,\,q)}$

La suma interna puede entenderse como la n- ésima diferencia hacia delante de , es decir, donde es el operador de diferencia hacia delante . Por lo tanto, se puede escribir ${\displaystyle x^{m},}$ $${\displaystyle \Delta ^{n}x^{m}=\sum _{k=0}^{n}(-1)^{n-k}{n \choose k}(x+k)^{m}}$$ ${\displaystyle \Delta }$ $${\displaystyle B_{n}(x)=\sum _{k=0}^{n}{\frac {(-1)^{k}}{k+1}}\Delta ^{k}x^{n}.}$$

Esta fórmula puede derivarse de una identidad que aparece arriba, como sigue. Puesto que el operador de diferencia hacia delante Δ es igual a donde D es la diferenciación con respecto a x , tenemos, a partir de la serie de Mercator , $${\displaystyle \Delta =e^{D}-1}$$ $${\displaystyle {\frac {D}{e^{D}-1}}={\frac {\log(\Delta +1)}{\Delta }}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-\Delta )^{n}}{n+1}}.}$$

Mientras esto funcione en un polinomio de grado m como uno en el que se pueda dejar que n vaya desde 0 hasta m solamente . ${\displaystyle x^{m},}$

Una representación integral de los polinomios de Bernoulli está dada por la integral de Nörlund-Rice , que se desprende de la expresión como una diferencia finita.

Una fórmula explícita para los polinomios de Euler está dada por $${\displaystyle E_{n}(x)=\sum _{k=0}^{n}\left[{\frac {1}{2^{k}}}\sum _{\ell =0}^{n}(-1)^{\ell }{k \choose \ell }(x+\ell )^{n}\right].}$$

Lo anterior se sigue análogamente, utilizando el hecho de que $${\displaystyle {\frac {2}{e^{D}+1}}={\frac {1}{1+{\tfrac {1}{2}}\Delta }}=\sum _{n=0}^{\infty }{\bigl (}{-{\tfrac {1}{2}}}\Delta {\bigr )}^{n}.}$$

Sumas depaglos poderes

Usando la representación integral anterior o la identidad , tenemos (asumiendo 0 ⁰  = 1). ${\displaystyle x^{n}}$ ${\displaystyle B_{n}(x+1)-B_{n}(x)=nx^{n-1}}$ $${\displaystyle \sum _{k=0}^{x}k^{p}=\int _{0}^{x+1}B_{p}(t)\,dt={\frac {B_{p+1}(x+1)-B_{p+1}}{p+1}}}$$

Expresiones explícitas para grados bajos

Los primeros polinomios de Bernoulli son: $${\displaystyle {\begin{aligned}B_{0}(x)&=1,&B_{4}(x)&=x^{4}-2x^{3}+x^{2}-{\tfrac {1}{30}},\\[4mu]B_{1}(x)&=x-{\tfrac {1}{2}},&B_{5}(x)&=x^{5}-{\tfrac {5}{2}}x^{4}+{\tfrac {5}{3}}x^{3}-{\tfrac {1}{6}}x,\\[4mu]B_{2}(x)&=x^{2}-x+{\tfrac {1}{6}},&B_{6}(x)&=x^{6}-3x^{5}+{\tfrac {5}{2}}x^{4}-{\tfrac {1}{2}}x^{2}+{\tfrac {1}{42}},\\[-2mu]B_{3}(x)&=x^{3}-{\tfrac {3}{2}}x^{2}+{\tfrac {1}{2}}x{\vphantom {\Big |}},\qquad &&\ \,\,\vdots \end{aligned}}}$$

Los primeros polinomios de Euler son: $${\displaystyle {\begin{aligned}E_{0}(x)&=1,&E_{4}(x)&=x^{4}-2x^{3}+x,\\[4mu]E_{1}(x)&=x-{\tfrac {1}{2}},&E_{5}(x)&=x^{5}-{\tfrac {5}{2}}x^{4}+{\tfrac {5}{2}}x^{2}-{\tfrac {1}{2}},\\[4mu]E_{2}(x)&=x^{2}-x,&E_{6}(x)&=x^{6}-3x^{5}+5x^{3}-3x,\\[-1mu]E_{3}(x)&=x^{3}-{\tfrac {3}{2}}x^{2}+{\tfrac {1}{4}},\qquad \ \ &&\ \,\,\vdots \end{aligned}}}$$

Máximo y mínimo

A mayor n, la cantidad de variación entre y se hace grande. Por ejemplo, pero Lehmer (1940) ^[3] demostró que el valor máximo ( M _n ) de entre 0 y 1 obedece a menos que n sea 2 módulo 4 , en cuyo caso (donde es la función zeta de Riemann ), mientras que el mínimo ( m _n ) obedece a menos que n = 0 módulo 4 , en cuyo caso ${\displaystyle B_{n}(x)}$ ${\displaystyle x=0}$ ${\displaystyle x=1}$ ${\displaystyle B_{16}(0)=B_{16}(1)={}}$ ${\displaystyle -{\tfrac {3617}{510}}\approx -7.09,}$ ${\displaystyle B_{16}{\bigl (}{\tfrac {1}{2}}{\bigr )}={}}$ ${\displaystyle {\tfrac {118518239}{3342336}}\approx 7.09.}$ ${\displaystyle B_{n}(x)}$ $${\displaystyle M_{n}<{\frac {2n!}{(2\pi )^{n}}}}$$ $${\displaystyle M_{n}={\frac {2\zeta (n)\,n!}{(2\pi )^{n}}}}$$ ${\displaystyle \zeta (x)}$ $${\displaystyle m_{n}>{\frac {-2n!}{(2\pi )^{n}}}}$$ $${\displaystyle m_{n}={\frac {-2\zeta (n)\,n!}{(2\pi )^{n}}}.}$$

Estos límites están bastante cerca del máximo y del mínimo reales, y Lehmer también ofrece límites más precisos.

Diferencias y derivadas

Los polinomios de Bernoulli y Euler obedecen a muchas relaciones del cálculo umbral : ( Δ es el operador de diferencia hacia delante ). Además, estas sucesiones polinómicas son sucesiones de Appell : $${\displaystyle {\begin{aligned}\Delta B_{n}(x)&=B_{n}(x+1)-B_{n}(x)=nx^{n-1},\\[3mu]\Delta E_{n}(x)&=E_{n}(x+1)-E_{n}(x)=2(x^{n}-E_{n}(x)).\end{aligned}}}$$ $${\displaystyle E_{n}(x+1)+E_{n}(x)=2x^{n}.}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}B_{n}'(x)&=nB_{n-1}(x),\\[3mu]E_{n}'(x)&=nE_{n-1}(x).\end{aligned}}}$$

Traducciones

$${\displaystyle {\begin{aligned}B_{n}(x+y)&=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}B_{k}(x)y^{n-k}\\[3mu]E_{n}(x+y)&=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}E_{k}(x)y^{n-k}\end{aligned}}}$$Estas identidades también son equivalentes a decir que estas secuencias polinómicas son secuencias de Appell . ( Los polinomios de Hermite son otro ejemplo).

Simetrías

$${\displaystyle {\begin{aligned}B_{n}(1-x)&=\left(-1\right)^{n}B_{n}(x),&&n\geq 0,\\[3mu]E_{n}(1-x)&=\left(-1\right)^{n}E_{n}(x)\\[1ex]\left(-1\right)^{n}B_{n}(-x)&=B_{n}(x)+nx^{n-1}\\[3mu]\left(-1\right)^{n}E_{n}(-x)&=-E_{n}(x)+2x^{n}\\[1ex]B_{n}{\bigl (}{\tfrac {1}{2}}{\bigr )}&=\left({\frac {1}{2^{n-1}}}-1\right)B_{n},&&n\geq 0{\text{ from the multiplication theorems below.}}\end{aligned}}}$$Zhi-Wei Sun y Hao Pan ^[4] establecieron la siguiente relación de simetría sorprendente: Si r + s + t = n y x + y + z = 1 , entonces donde $${\displaystyle r[s,t;x,y]_{n}+s[t,r;y,z]_{n}+t[r,s;z,x]_{n}=0,}$$ $${\displaystyle [s,t;x,y]_{n}=\sum _{k=0}^{n}(-1)^{k}{s \choose k}{t \choose {n-k}}B_{n-k}(x)B_{k}(y).}$$

Serie de Fourier

La serie de Fourier de los polinomios de Bernoulli es también una serie de Dirichlet , dada por la expansión Nótese el simple límite grande de n para funciones trigonométricas adecuadamente escaladas. $${\displaystyle B_{n}(x)=-{\frac {n!}{(2\pi i)^{n}}}\sum _{k\not =0}{\frac {e^{2\pi ikx}}{k^{n}}}=-2n!\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {\cos \left(2k\pi x-{\frac {n\pi }{2}}\right)}{(2k\pi )^{n}}}.}$$

Este es un caso especial de la forma análoga de la función zeta de Hurwitz. $${\displaystyle B_{n}(x)=-\Gamma (n+1)\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {\exp(2\pi ikx)+e^{i\pi n}\exp(2\pi ik(1-x))}{(2\pi ik)^{n}}}.}$$

Esta expansión es válida sólo para 0 ≤ x ≤ 1 cuando n ≥ 2 y es válida para 0 < x < 1 cuando n = 1 .

También se puede calcular la serie de Fourier de los polinomios de Euler. Definiendo las funciones para , el polinomio de Euler tiene la serie de Fourier Nótese que y son pares e impares, respectivamente: $${\displaystyle {\begin{aligned}C_{\nu }(x)&=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {\cos((2k+1)\pi x)}{(2k+1)^{\nu }}}\\[3mu]S_{\nu }(x)&=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {\sin((2k+1)\pi x)}{(2k+1)^{\nu }}}\end{aligned}}}$$ ${\displaystyle \nu >1}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}C_{2n}(x)&={\frac {\left(-1\right)^{n}}{4(2n-1)!}}\pi ^{2n}E_{2n-1}(x)\\[1ex]S_{2n+1}(x)&={\frac {\left(-1\right)^{n}}{4(2n)!}}\pi ^{2n+1}E_{2n}(x).\end{aligned}}}$$ ${\displaystyle C_{\nu }}$ ${\displaystyle S_{\nu }}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}C_{\nu }(x)&=-C_{\nu }(1-x)\\S_{\nu }(x)&=S_{\nu }(1-x).\end{aligned}}}$$

Están relacionados con la función chi de Legendre como ${\displaystyle \chi _{\nu }}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}C_{\nu }(x)&=\operatorname {Re} \chi _{\nu }(e^{ix})\\S_{\nu }(x)&=\operatorname {Im} \chi _{\nu }(e^{ix}).\end{aligned}}}$$

Inversión

Los polinomios de Bernoulli y Euler pueden invertirse para expresar el monomio en términos de los polinomios.

En concreto, de la sección anterior sobre operadores integrales se deduce que y $${\displaystyle x^{n}={\frac {1}{n+1}}\sum _{k=0}^{n}{n+1 \choose k}B_{k}(x)}$$ $${\displaystyle x^{n}=E_{n}(x)+{\frac {1}{2}}\sum _{k=0}^{n-1}{n \choose k}E_{k}(x).}$$

Relación con factorial descendente

Los polinomios de Bernoulli pueden desarrollarse en términos del factorial descendente como donde y denota el número de Stirling de segunda especie . Lo anterior puede invertirse para expresar el factorial descendente en términos de los polinomios de Bernoulli: donde denota el número de Stirling de primera especie . ${\displaystyle (x)_{k}}$ $${\displaystyle B_{n+1}(x)=B_{n+1}+\sum _{k=0}^{n}{\frac {n+1}{k+1}}\left\{{\begin{matrix}n\\k\end{matrix}}\right\}(x)_{k+1}}$$ ${\displaystyle B_{n}=B_{n}(0)}$ $${\displaystyle \left\{{\begin{matrix}n\\k\end{matrix}}\right\}=S(n,k)}$$ $${\displaystyle (x)_{n+1}=\sum _{k=0}^{n}{\frac {n+1}{k+1}}\left[{\begin{matrix}n\\k\end{matrix}}\right]\left(B_{k+1}(x)-B_{k+1}\right)}$$ $${\displaystyle \left[{\begin{matrix}n\\k\end{matrix}}\right]=s(n,k)}$$

Teoremas de multiplicación

Los teoremas de multiplicación fueron propuestos por Joseph Ludwig Raabe en 1851:

Para un número natural m ≥1 , $${\displaystyle B_{n}(mx)=m^{n-1}\sum _{k=0}^{m-1}B_{n}{\left(x+{\frac {k}{m}}\right)}}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}E_{n}(mx)&=m^{n}\sum _{k=0}^{m-1}\left(-1\right)^{k}E_{n}{\left(x+{\frac {k}{m}}\right)}&{\text{ for odd }}m\\[1ex]E_{n}(mx)&={\frac {-2}{n+1}}m^{n}\sum _{k=0}^{m-1}\left(-1\right)^{k}B_{n+1}{\left(x+{\frac {k}{m}}\right)}&{\text{ for even }}m\end{aligned}}}$$

Integrales

Dos integrales definidas que relacionan los polinomios de Bernoulli y Euler con los números de Bernoulli y Euler son: ^[5]

• ${\displaystyle \int _{0}^{1}B_{n}(t)B_{m}(t)\,dt=(-1)^{n-1}{\frac {m!\,n!}{(m+n)!}}B_{n+m}\quad {\text{for }}m,n\geq 1}$
• ${\displaystyle \int _{0}^{1}E_{n}(t)E_{m}(t)\,dt=(-1)^{n}4(2^{m+n+2}-1){\frac {m!\,n!}{(m+n+2)!}}B_{n+m+2}}$

Otra fórmula integral establece ^[6]

• ${\displaystyle \int _{0}^{1}E_{n}\left(x+y\right)\log(\tan {\frac {\pi }{2}}x)\,dx=n!\sum _{k=1}^{\left\lfloor {\frac {n+1}{2}}\right\rfloor }{\frac {(-1)^{k-1}}{\pi ^{2k}}}\left(2-2^{-2k}\right)\zeta (2k+1){\frac {y^{n+1-2k}}{(n+1-2k)!}}}$

con el caso especial de ${\displaystyle y=0}$

• ${\displaystyle \int _{0}^{1}E_{2n-1}\left(x\right)\log(\tan {\frac {\pi }{2}}x)\,dx={\frac {(-1)^{n-1}(2n-1)!}{\pi ^{2n}}}\left(2-2^{-2n}\right)\zeta (2n+1)}$
• ${\displaystyle \int _{0}^{1}B_{2n-1}\left(x\right)\log(\tan {\frac {\pi }{2}}x)\,dx={\frac {(-1)^{n-1}}{\pi ^{2n}}}{\frac {2^{2n-2}}{(2n-1)!}}\sum _{k=1}^{n}(2^{2k+1}-1)\zeta (2k+1)\zeta (2n-2k)}$
• ${\displaystyle \int _{0}^{1}E_{2n}\left(x\right)\log(\tan {\frac {\pi }{2}}x)\,dx=\int _{0}^{1}B_{2n}\left(x\right)\log(\tan {\frac {\pi }{2}}x)\,dx=0}$
• ${\displaystyle \int _{0}^{1}{{{B}_{2n-1}}\left(x\right)\cot \left(\pi x\right)dx}={\frac {2\left(2n-1\right)!}{{{\left(-1\right)}^{n-1}}{{\left(2\pi \right)}^{2n-1}}}}\zeta \left(2n-1\right)}$

Polinomios periódicos de Bernoulli

Un polinomio de Bernoulli periódico P _n ( x ) es un polinomio de Bernoulli evaluado en la parte fraccionaria del argumento x . Estas funciones se utilizan para proporcionar el término restante en la fórmula de Euler-Maclaurin que relaciona sumas con integrales. El primer polinomio es una función de diente de sierra .

Estrictamente, estas funciones no son polinomios en absoluto y deberían denominarse más apropiadamente funciones periódicas de Bernoulli, y P ₀ ( x ) ni siquiera es una función, ya que es la derivada de un diente de sierra y, por lo tanto, de un peine de Dirac .

Las siguientes propiedades son de interés y válidas para todos : ${\displaystyle x}$

• ${\displaystyle P_{k}(x)}$es continua para todos ${\displaystyle k>1}$
• ${\displaystyle P_{k}'(x)}$existe y es continua para ${\displaystyle k>2}$
• ${\displaystyle P'_{k}(x)=kP_{k-1}(x)}$para ${\displaystyle k>2}$

Véase también

• Números de Bernoulli
• Polinomios de Bernoulli de segundo tipo
• Polinomio de Stirling
• Polinomios que calculan sumas de potencias de progresiones aritméticas

Referencias

1. Hurtado Benavides, Miguel Ángel. (2020). De las sumas de potencias a las sucesiones de Appell y su caracterización a través de funcionales. [Tesis de maestría]. Universidad Sergio Arboleda. https://repositorio.usergioarboleda.edu.co/handle/11232/174
2. Sergio A. Carrillo; Miguel Hurtado. Sucesiones de Appell y Sheffer: sobre sus caracterizaciones a través de funcionales y ejemplos. Comptes Rendus. Mathématique, Tomo 359 (2021) núm. 2, pp. 205-217. doi : 10.5802/crmath.172. https://comptes-rendus.academie-sciences.fr/mathematique/articles/10.5802/crmath.172/
3. Lehmer, DH (1940). "Sobre los máximos y mínimos de los polinomios de Bernoulli". American Mathematical Monthly . 47 (8): 533–538. doi :10.1080/00029890.1940.11991015.
4. Zhi-Wei Sun; Hao Pan (2006). "Identidades relativas a los polinomios de Bernoulli y Euler". Acta Aritmética . 125 (1): 21–39. arXiv : matemáticas/0409035 . Código Bib : 2006AcAri.125...21S. doi :10.4064/aa125-1-3. S2CID  10841415.
5. Takashi Agoh y Karl Dilcher (2011). "Integrales de productos de polinomios de Bernoulli". Revista de análisis matemático y aplicaciones . 381 : 10–16. doi : 10.1016/j.jmaa.2011.03.061 .
6. Elaissaoui, Lahoucine y Guennoun, Zine El Abidine (2017). "Evaluación de integrales log-tangentes mediante series que involucran ζ(2n+1)". Transformadas integrales y funciones especiales . 28 (6): 460–475. arXiv : 1611.01274 . doi :10.1080/10652469.2017.1312366. S2CID  119132354.

• Milton Abramowitz e Irene A. Stegun, eds. Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables ( Manual de funciones matemáticas con fórmulas, gráficos y tablas matemáticas ), (1972), Dover, Nueva York. (Véase el capítulo 23)
• Apostol, Tom M. (1976), Introducción a la teoría analítica de números , Textos de pregrado en matemáticas, Nueva York-Heidelberg: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90163-3, MR  0434929, Zbl  0335.10001 (Véase el capítulo 12.11)
• Dilcher, K. (2010), "Polinomios de Bernoulli y Euler", en Olver, Frank WJ ; Lozier, Daniel M.; Boisvert, Ronald F.; Clark, Charles W. (eds.), Manual del NIST de funciones matemáticas , Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-19225-5, Sr.  2723248.
• Cvijović, Djurdje; Klinowski, Jacek (1995). "Nuevas fórmulas para los polinomios de Bernoulli y Euler en argumentos racionales". Actas de la American Mathematical Society . 123 (5): 1527–1535. doi : 10.1090/S0002-9939-1995-1283544-0 . JSTOR  2161144.
• Guillera, Jesús; Sondow, Jonathan (2008). "Integrales dobles y productos infinitos para algunas constantes clásicas mediante continuaciones analíticas del trascendente de Lerch". The Ramanujan Journal . 16 (3): 247–270. arXiv : math.NT/0506319 . doi :10.1007/s11139-007-9102-0. S2CID  14910435. (Revisa la relación con la función zeta de Hurwitz y la trascendente de Lerch.)
• Hugh L. Montgomery ; Robert C. Vaughan (2007). Teoría de números multiplicativos I. Teoría clásica . Cambridge tracts in advanced mathematics. Vol. 97. Cambridge: Cambridge Univ. Press. págs. 495–519. ISBN 978-0-521-84903-6.

Enlaces externos

• Una lista de identidades integrales que involucran polinomios de Bernoulli del NIST