Proceso de talado

Proceso estocástico

En la teoría de probabilidad relacionada con los procesos estocásticos , un proceso de Feller es un tipo particular de proceso de Markov .

Definiciones

Sea X un espacio de Hausdorff localmente compacto con una base numerable . Sea C ₀ ( X ) el espacio de todas las funciones continuas de valor real en X que se anulan en el infinito , dotadas de la sup-norma || f  ||. A partir del análisis, sabemos que C ₀ ( X ) con la sup-norma es un espacio de Banach .

Un semigrupo de Feller en C ₀ ( X ) es una colección { T _t } _{t  ≥ 0} de aplicaciones lineales positivas de C ₀ ( X ) a sí mismo tales que

• || T _t f  || ≤ || f  || para todo t  ≥ 0 y f en C ₀ ( X ), es decir, es una contracción (en el sentido débil);
• la propiedad del semigrupo : T _{t  +  s}  =  T _t  ∘ T _s para todo s , t ≥ 0;
• lim _{t  → 0} || T _t f  −  f  || = 0 para cada f en C ₀ ( X ). Usando la propiedad del semigrupo, esto es equivalente a que la función T _t f   de t en [0,∞) a C ₀ ( X ) sea continua hacia la derecha para cada f .

Advertencia : Esta terminología no es uniforme en toda la literatura. En particular, la suposición de que T _t mapea C ₀ ( X ) en sí mismo es reemplazada por algunos autores por la condición de que mapea C _b ( X ), el espacio de funciones continuas acotadas, en sí mismo. La razón para esto es doble: primero, permite incluir procesos que entran "desde el infinito" en tiempo finito. Segundo, es más adecuado para el tratamiento de espacios que no son localmente compactos y para los cuales la noción de "desaparecer en el infinito" no tiene sentido.

Una función de transición de Feller es una función de transición de probabilidad asociada con un semigrupo de Feller.

Un proceso de Feller es un proceso de Markov con una función de transición de Feller.

Generador

Los procesos de Feller (o semigrupos de transición) se pueden describir por su generador infinitesimal . Se dice que una función f en C ₀ está en el dominio del generador si el límite uniforme

${\displaystyle Af=\lim _{t\rightarrow 0}{\frac {T_{t}f-f}{t}},}$

existe. El operador A es el generador de T _t , y el espacio de funciones en el que está definido se escribe D _A .

El teorema de Hille-Yosida proporciona una caracterización de los operadores que pueden actuar como generadores infinitesimales de procesos de Feller . Este utiliza el resolvente del semigrupo de Feller, definido a continuación.

Disolvente

El resolvente de un proceso de Feller (o semigrupo) es una colección de mapas ( R _λ ) _{λ  > 0} desde C ₀ ( X ) hasta sí mismo definido por

${\displaystyle R_{\lambda }f=\int _{0}^{\infty }e^{-\lambda t}T_{t}f\,dt.}$

Se puede demostrar que satisface la identidad

${\displaystyle R_{\lambda }R_{\mu }=R_{\mu }R_{\lambda }=(R_{\mu }-R_{\lambda })/(\lambda -\mu ).}$

Además, para cualquier λ fijo  > 0, la imagen de R _λ es igual al dominio D _A del generador A , y

${\displaystyle {\begin{aligned}&R_{\lambda }=(\lambda -A)^{-1},\\&A=\lambda -R_{\lambda }^{-1}.\end{aligned}}}$

Ejemplos

• El movimiento browniano y el proceso de Poisson son ejemplos de procesos de Feller. En términos más generales, todo proceso de Lévy es un proceso de Feller.
• Los procesos de Bessel son procesos de Feller.
• Las soluciones a ecuaciones diferenciales estocásticas con coeficientes continuos de Lipschitz son procesos de Feller. ^{[ cita requerida ]}
• Todo proceso de Feller continuo derecho adaptado en un espacio de probabilidad filtrado satisface la propiedad fuerte de Markov con respecto a la filtración , es decir, para cada - tiempo de detención , condicionado al evento , tenemos que para cada , es independiente del dado . ^[1] ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},({\mathcal {F}}_{t})_{t\geq 0})}$ ${\displaystyle ({\mathcal {F}}_{t^{+}})_{t\geq 0}}$ ${\displaystyle ({\mathcal {F}}_{t^{+}})_{t\geq 0}}$ ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle \{\tau <\infty \}}$ ${\displaystyle t\geq 0}$ ${\displaystyle X_{\tau +t}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{\tau ^{+}}}$ ${\displaystyle X_{\tau }}$

Véase también

• Proceso de Markov
• Cadena de Markov
• Proceso de caza
• Generador infinitesimal (procesos estocásticos)

Referencias

1. Rogers, LCG y Williams, David Diffusions, Markov Processes and Martingales volumen uno: Fundamentos, segunda edición, John Wiley and Sons Ltd, 1979. (página 247, Teorema 8.3)