Principio de indiferencia

En teoría de la probabilidad, una regla para asignar probabilidades epistémicas

El principio de indiferencia (también llamado principio de razón insuficiente ) es una regla para asignar probabilidades epistémicas . El principio de indiferencia establece que, en ausencia de cualquier evidencia relevante, los agentes deberían distribuir su creencia (o "grados de creencia") de manera equitativa entre todos los resultados posibles bajo consideración. ^[1]

En probabilidad bayesiana , esta es la prior no informativa más simple .

Ejemplos

Los ejemplos de libros de texto para la aplicación del principio de indiferencia son las monedas , los dados y las cartas .

En un sistema macroscópico , al menos, debe suponerse que las leyes físicas que gobiernan el sistema no se conocen lo suficientemente bien como para predecir el resultado. Como observó hace algunos siglos John Arbuthnot (en el prefacio de De las leyes del azar , 1692),

Es imposible que un dado, con una fuerza y ​​una dirección tan determinadas, no caiga en un lado tan determinado, sólo que no conozco la fuerza y ​​la dirección que lo hacen caer en un lado tan determinado, y por eso lo llamo azar, lo cual no es otra cosa que la falta de arte....

Si se dispone de tiempo y recursos suficientes, no hay ninguna razón fundamental para suponer que no se puedan realizar mediciones lo suficientemente precisas como para permitir predecir el resultado de monedas, dados y cartas con gran exactitud: el trabajo de Persi Diaconis con máquinas de lanzamiento de monedas es un ejemplo práctico de ello. ^[2]

Monedas

Una moneda simétrica tiene dos caras, denominadas arbitrariamente cara (muchas monedas tienen la cara de una persona representada en una de sus caras) y cruz . Suponiendo que la moneda debe caer en una de las caras o en la otra, los resultados de un lanzamiento de moneda son mutuamente excluyentes, exhaustivos e intercambiables. De acuerdo con el principio de indiferencia, asignamos a cada uno de los resultados posibles una probabilidad de 1/2.

En este análisis se da por sentado que las fuerzas que actúan sobre la moneda no se conocen con precisión. Si se conociera con suficiente exactitud el momento que recibe la moneda al lanzarla, se podría predecir su vuelo de acuerdo con las leyes de la mecánica. Por tanto, la incertidumbre en el resultado de un lanzamiento de moneda se deriva (en su mayor parte) de la incertidumbre con respecto a las condiciones iniciales. Este punto se analiza con mayor profundidad en el artículo sobre el lanzamiento de una moneda .

Dados

Un dado simétrico tiene n caras, etiquetadas arbitrariamente de 1 a n . Un dado cúbico ordinario tiene n = 6 caras, aunque se puede construir un dado simétrico con diferentes números de caras; vea Dados . Suponemos que el dado caerá con una cara u otra hacia arriba, y no hay otros resultados posibles. Aplicando el principio de indiferencia, asignamos a cada uno de los resultados posibles una probabilidad de 1/ n . Al igual que con las monedas, se supone que las condiciones iniciales del lanzamiento de los dados no se conocen con suficiente precisión para predecir el resultado de acuerdo con las leyes de la mecánica. Los dados generalmente se lanzan de manera que reboten sobre una mesa u otra superficie. Esta interacción hace que la predicción del resultado sea mucho más difícil.

El supuesto de simetría es crucial en este caso. Supongamos que se nos pide apostar a favor o en contra del resultado "6". Podríamos razonar que hay dos resultados relevantes aquí, "6" o "no 6", y que estos son mutuamente excluyentes y exhaustivos. Una falacia común es asignar la probabilidad 1/2 a cada uno de los dos resultados, cuando "no 6" es cinco veces más probable que "6".

Tarjetas

Una baraja estándar contiene 52 cartas, cada una de las cuales tiene una etiqueta única de manera arbitraria, es decir, ordenadas arbitrariamente. Sacamos una carta de la baraja; aplicando el principio de indiferencia, asignamos a cada uno de los resultados posibles una probabilidad de 1/52.

Este ejemplo, más que los demás, muestra la dificultad de aplicar realmente el principio de indiferencia en situaciones reales. Lo que realmente queremos decir con la frase "ordenado arbitrariamente" es simplemente que no tenemos ninguna información que nos lleve a favorecer una carta en particular. En la práctica, esto rara vez sucede: una nueva baraja de cartas ciertamente no está en un orden arbitrario, como tampoco lo está una baraja inmediatamente después de una mano de cartas. En la práctica, por lo tanto, barajamos las cartas; esto no destruye la información que tenemos, sino que (con suerte) hace que nuestra información sea prácticamente inutilizable, aunque todavía sea utilizable en principio. De hecho, algunos jugadores expertos de blackjack pueden seguir la pista de los ases en la baraja; para ellos, la condición para aplicar el principio de indiferencia no se cumple.

Aplicación a variables continuas

La aplicación incorrecta del principio de indiferencia puede conducir fácilmente a resultados sin sentido, especialmente en el caso de variables continuas y multivariadas. Un caso típico de uso incorrecto es el siguiente:

• Supongamos que hay un cubo escondido en una caja. Una etiqueta en la caja indica que el cubo tiene una longitud de lado de entre 3 y 5 cm.
• No sabemos la longitud real del lado, pero podríamos asumir que todos los valores son igualmente probables y simplemente elegir el valor medio de 4 cm.
• La información de la etiqueta nos permite calcular que la superficie del cubo está entre 54 y 150 cm ² . No conocemos la superficie real, pero podemos suponer que todos los valores son igualmente probables y simplemente elegir el valor medio de 102 cm ² .
• La información de la etiqueta nos permite calcular que el volumen del cubo está entre 27 y 125 cm ³ . No conocemos el volumen real, pero podemos suponer que todos los valores son igualmente probables y simplemente elegir el valor medio de 76 cm ³ .
• Sin embargo, ahora hemos llegado a la conclusión imposible de que el cubo tiene una longitud de lado de 4 cm, una superficie de 102 cm ² y un volumen de 76 cm ³ .

En este ejemplo, surgen estimaciones contradictorias entre sí de la longitud, la superficie y el volumen del cubo porque hemos supuesto tres distribuciones contradictorias entre sí para estos parámetros: una distribución uniforme para cualquiera de las variables implica una distribución no uniforme para las otras dos. En general, el principio de indiferencia no indica qué variable (por ejemplo, en este caso, longitud, superficie o volumen) debe tener una distribución de probabilidad epistémica uniforme .

Otro ejemplo clásico de este tipo de mal uso es la paradoja de Bertrand . Edwin T. Jaynes introdujo el principio de los grupos de transformación , que puede producir una distribución de probabilidad epistémica para este problema. Esto generaliza el principio de indiferencia, al decir que uno es indiferente entre problemas equivalentes en lugar de indiferente entre proposiciones. Esto todavía se reduce al principio ordinario de indiferencia cuando uno considera una permutación de las etiquetas como generadora de problemas equivalentes (es decir, utilizando el grupo de transformación de permutación). Para aplicar esto al ejemplo del cuadro anterior, tenemos tres variables aleatorias relacionadas por ecuaciones geométricas. Si no tenemos ninguna razón para favorecer un trío de valores sobre otro, entonces nuestras probabilidades previas deben estar relacionadas por la regla para variables cambiantes en distribuciones continuas. Sea L la longitud y V el volumen. Entonces debemos tener

${\displaystyle f_{L}(L)=\left|{\partial V \over \partial L}\right|f_{V}(V)=3L^{2}f_{V}(L^{3})}$,

donde son las funciones de densidad de probabilidad (pdf) de las variables indicadas. Esta ecuación tiene una solución general: , donde K es una constante de normalización, determinada por el rango de L , en este caso igual a: ${\displaystyle f_{L},\,f_{V}}$ ${\displaystyle f(L)={K \over L}}$

${\displaystyle K^{-1}=\int _{3}^{5}{dL \over L}=\log \left({5 \over 3}\right)}$

Para poner esto "a prueba", pedimos la probabilidad de que la longitud sea menor que 4. Esto tiene una probabilidad de:

${\displaystyle Pr(L<4)=\int _{3}^{4}{dL \over L\log({5 \over 3})}={\log({4 \over 3}) \over \log({5 \over 3})}\approx 0.56}$.

Para el volumen, esto debería ser igual a la probabilidad de que el volumen sea menor que 4 ³ = 64. La función de densidad de probabilidad del volumen es

${\displaystyle f(V^{1 \over 3}){1 \over 3}V^{-{2 \over 3}}={1 \over 3V\log({5 \over 3})}}$.

Y entonces la probabilidad de un volumen menor a 64 es

${\displaystyle Pr(V<64)=\int _{27}^{64}{dV \over 3V\log({5 \over 3})}={\log({64 \over 27}) \over 3\log({5 \over 3})}={3\log({4 \over 3}) \over 3\log({5 \over 3})}={\log({4 \over 3}) \over \log({5 \over 3})}\approx 0.56}$.

De esta manera, hemos logrado la invariancia con respecto al volumen y la longitud. También se puede demostrar la misma invariancia con respecto al área de superficie, que es menor que 6(4 ² ) = 96. Sin embargo, tenga en cuenta que esta asignación de probabilidad no es necesariamente "correcta". La distribución exacta de longitudes, volúmenes o áreas de superficie dependerá de cómo se lleve a cabo el "experimento".

La hipótesis fundamental de la física estadística , según la cual dos microestados cualesquiera de un sistema con la misma energía total son igualmente probables en el equilibrio , es en cierto sentido un ejemplo del principio de indiferencia. Sin embargo, cuando los microestados se describen mediante variables continuas (como posiciones y momentos), se necesita una base física adicional para explicar bajo qué parametrización la densidad de probabilidad será uniforme. El teorema de Liouville justifica el uso de variables canónicamente conjugadas , como las posiciones y sus momentos conjugados.

La paradoja vino/agua muestra un dilema con variables vinculadas: cuál elegir.

Historia

Este principio se deriva del principio de Epicuro de "explicaciones múltiples" (pleonachos tropos), ^[3] según el cual "si más de una teoría es consistente con los datos, consérvalas todas". El epicúreo Lucrecio desarrolló este punto con una analogía de las múltiples causas de muerte de un cadáver. ^[4] Los escritores originales sobre probabilidad, principalmente Jacob Bernoulli y Pierre Simon Laplace , consideraron que el principio de indiferencia era intuitivamente obvio y ni siquiera se molestaron en darle un nombre. Laplace escribió:

La teoría del azar consiste en reducir todos los acontecimientos de una misma especie a un cierto número de casos igualmente posibles, es decir, de los que podemos estar igualmente indecisos en cuanto a su existencia, y en determinar el número de casos favorables al acontecimiento cuya probabilidad se busca. La razón de este número con el de todos los casos posibles es la medida de esta probabilidad, que es, por tanto, simplemente una fracción cuyo numerador es el número de casos favorables y cuyo denominador es el número de todos los casos posibles.

Estos autores anteriores, en particular Laplace, generalizaron ingenuamente el principio de indiferencia al caso de parámetros continuos, dando lugar a la denominada "distribución de probabilidad previa uniforme", una función que es constante para todos los números reales. Utilizó esta función para expresar una completa falta de conocimiento sobre el valor de un parámetro. Según Stigler (página 135), la suposición de Laplace de probabilidades previas uniformes no era una suposición metafísica. ^[5] Era una suposición implícita hecha para facilitar el análisis.

El principio de razón insuficiente fue su primer nombre, dado por Johannes von Kries , ^[6] posiblemente como un juego de palabras con el principio de razón suficiente de Leibniz . Estos escritores posteriores ( George Boole , John Venn y otros) objetaron el uso de la distribución uniforme a priori por dos razones. La primera razón es que la función constante no es normalizable y, por lo tanto, no es una distribución de probabilidad adecuada. La segunda razón es su inaplicabilidad a variables continuas, como se describió anteriormente.

El "principio de razón insuficiente" fue rebautizado como "principio de indiferencia" por John Maynard Keynes  (1921), ^[7] quien tuvo cuidado de señalar que se aplica sólo cuando no hay conocimiento que indique probabilidades desiguales.

Los intentos de colocar la noción sobre una base filosófica más firme generalmente comenzaron con el concepto de equipabilidad y progresaron desde éste hasta el de equiprobabilidad .

El principio de indiferencia puede justificarse lógicamente de forma más profunda si se observa que a estados de conocimiento equivalentes se les deben asignar probabilidades epistémicas equivalentes. Este argumento fue propuesto por Edwin Thompson Jaynes y conduce a dos generalizaciones, a saber, el principio de los grupos de transformación como en el prior de Jeffreys y el principio de máxima entropía . ^[8]

De manera más general, se habla de priores no informativos .

Véase también

• Epistemología bayesiana
• Equilibrio clínico
• Regla de sucesión : fórmula para estimar probabilidades subyacentes cuando hay pocas observaciones o para eventos que no se ha observado que ocurran en absoluto en datos de muestra (finitos)

Referencias

1. Eva, Benjamin (30 de abril de 2019). "Principios de indiferencia". philsci-archive.pitt.edu (Preimpresión) . Consultado el 30 de septiembre de 2019 .
2. Diaconis, Persi; Keller, Joseph B. (1989). "Dados justos". The American Mathematical Monthly . 96 (4): 337–339. doi :10.2307/2324089. JSTOR  2324089. (Discusión sobre dados que son justos "por simetría" y "por continuidad".)
3. Verde, Francesco (6 de julio de 2020). "Meteorología epicúrea, Lucrecio y el Etna". Lucrecio Poeta y Filósofo . De Gruyter. págs. 83-102. doi :10.1515/9783110673487-006. ISBN 978-3-11-067348-7.S2CID243676846  .​
4. Rathmanner, Samuel; Hutter, Marcus (3 de junio de 2011). "Un tratado filosófico de inducción universal". Entropía . 13 (6): 1076–1136. arXiv : 1105.5721 . Código Bibliográfico :2011Entrp..13.1076R. doi : 10.3390/e13061076 . ISSN  1099-4300.
5. Stigler, Stephen M. (1986). Historia de la estadística: la medición de la incertidumbre antes de 1900. Cambridge, Massachusetts: Belknap Press de Harvard University Press. ISBN 0-674-40340-1.
6. Howson, Colin; Urbach, Peter (1989). "Probabilidad subjetiva". Razonamiento científico: el enfoque bayesiano . La Salle: Open Court. págs. 39–76. ISBN 0-8126-9084-2.
7. Keynes, John Maynard (1921). "Capítulo IV. El principio de indiferencia". Tratado sobre probabilidad . Vol. 4. Macmillan and Co., págs. 41-64. ISBN 9780404145637.
8. Jaynes, Edwin Thompson (2003). "Priores de ignorancia y grupos de transformación". Teoría de la probabilidad: la lógica de la ciencia. Cambridge University Press . pp. 327–347. ISBN 0-521-59271-2.