Principio de Maupertuis

Principio de mínima longitud en física

En mecánica clásica , el principio de Maupertuis (nombrado en honor a Pierre Louis Maupertuis , 1698-1759) establece que el camino seguido por un sistema físico es el de menor longitud (con una interpretación adecuada de camino y longitud ). ^[1] Es un caso especial del principio de mínima acción , enunciado de manera más general . Utilizando el cálculo de variaciones , da como resultado una formulación de ecuación integral de las ecuaciones de movimiento para el sistema.

Formulación matemática

El principio de Maupertuis establece que la verdadera trayectoria de un sistema descrito por coordenadas generalizadas entre dos estados especificados es un mínimo o un punto de silla ^[2] de la función de acción abreviada , ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle \mathbf {q} =\left(q_{1},q_{2},\ldots ,q_{N}\right)}$ ${\displaystyle \mathbf {q} _{1}}$ ${\displaystyle \mathbf {q} _{2}}$

$${\displaystyle {\mathcal {S}}_{0}[\mathbf {q} (t)]\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \int \mathbf {p} \cdot d\mathbf {q} ,}$$donde son los momentos conjugados de las coordenadas generalizadas, definidas por la ecuación donde es la función lagrangiana para el sistema. En otras palabras, cualquier perturbación de primer orden de la trayectoria da como resultado (como máximo) cambios de segundo orden en . Nótese que la acción abreviada es una funcional (es decir, una función de un espacio vectorial en su campo escalar subyacente), que en este caso toma como entrada una función (es decir, las trayectorias entre los dos estados especificados). ${\displaystyle \mathbf {p} =\left(p_{1},p_{2},\ldots ,p_{N}\right)}$ $${\displaystyle p_{k}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ {\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{k}}},}$$ ${\displaystyle L(\mathbf {q} ,{\dot {\mathbf {q} }},t)}$ ${\displaystyle {\mathcal {S}}_{0}}$ ${\displaystyle {\mathcal {S}}_{0}}$

La formulación de Jacobi

Para muchos sistemas, la energía cinética es cuadrática en las velocidades generalizadas , aunque el tensor de masa puede ser una función complicada de las coordenadas generalizadas . Para tales sistemas, una relación simple relaciona la energía cinética, los momentos generalizados y las velocidades generalizadas, siempre que la energía potencial no involucre a las velocidades generalizadas. Al definir una distancia normalizada o métrica en el espacio de coordenadas generalizadas, uno puede reconocer inmediatamente el tensor de masa como un tensor métrico . La energía cinética puede escribirse en forma sin masa o, ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle {\dot {\mathbf {q} }}}$ $${\displaystyle T={\frac {1}{2}}{\dot {\mathbf {q} }}\ \mathbf {M} \ {\dot {\mathbf {q} }}^{\intercal }}$$ ${\displaystyle \mathbf {M} }$ ${\displaystyle \mathbf {q} }$ $${\displaystyle 2T=\mathbf {p} \cdot {\dot {\mathbf {q} }}}$$ ${\displaystyle V(\mathbf {q} )}$ ${\displaystyle ds}$ $${\displaystyle ds^{2}=d\mathbf {q} \ \mathbf {M} \ d\mathbf {q^{\intercal }} }$$ $${\displaystyle T={\frac {1}{2}}\left({\frac {ds}{dt}}\right)^{2}}$$ $${\displaystyle 2Tdt={\sqrt {2T}}\ ds.}$$

Por lo tanto, la acción abreviada se puede escribir como la energía cinética es igual a la energía total (constante) menos la energía potencial . En particular, si la energía potencial es constante, entonces el principio de Jacobi se reduce a minimizar la longitud del camino en el espacio de las coordenadas generalizadas, lo que es equivalente al principio de mínima curvatura de Hertz . $${\displaystyle {\mathcal {S}}_{0}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \int \mathbf {p} \cdot d\mathbf {q} =\int ds\,{\sqrt {2}}{\sqrt {E_{\text{tot}}-V(\mathbf {q} )}}}$$ ${\displaystyle T=E_{\text{tot}}-V(\mathbf {q} )}$ ${\displaystyle E_{\text{tot}}}$ ${\displaystyle V(\mathbf {q} )}$ ${\textstyle s=\int ds}$

Comparación con el principio de Hamilton

El principio de Hamilton y el principio de Maupertuis se confunden a veces entre sí y ambos se han denominado principio de mínima acción . Se diferencian entre sí en tres aspectos importantes:

• su definición de la acción ...
  El principio de Hamilton utiliza , la integral de la lagrangiana a lo largo del tiempo , que varía entre dos tiempos finales fijos , y puntos finales , . Por el contrario, el principio de Maupertuis utiliza la integral de acción abreviada sobre las coordenadas generalizadas , que varía a lo largo de todos los caminos de energía constante que terminan en y . ${\displaystyle {\mathcal {S}}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \int L\,dt}$ ${\displaystyle t_{1}}$ ${\displaystyle t_{2}}$ ${\displaystyle q_{1}}$ ${\displaystyle q_{2}}$ ${\displaystyle \mathbf {q} _{1}}$ ${\displaystyle \mathbf {q} _{2}}$
• la solución que ellos determinen...
  El principio de Hamilton determina la trayectoria en función del tiempo, mientras que el principio de Maupertuis determina únicamente la forma de la trayectoria en las coordenadas generalizadas. Por ejemplo, el principio de Maupertuis determina la forma de la elipse en la que se mueve una partícula bajo la influencia de una fuerza central de inverso del cuadrado, como la gravedad , pero no describe per se cómo se mueve la partícula a lo largo de esa trayectoria. (Sin embargo, esta parametrización del tiempo puede determinarse a partir de la propia trayectoria en cálculos posteriores utilizando la conservación de la energía). Por el contrario, el principio de Hamilton especifica directamente el movimiento a lo largo de la elipse en función del tiempo. ${\displaystyle \mathbf {q} (t)}$
• ...y las restricciones a la variación.
  El principio de Maupertuis requiere que se den los dos estados de punto final y y que se conserve la energía a lo largo de cada trayectoria. Por el contrario, el principio de Hamilton no requiere la conservación de la energía, pero sí requiere que se especifiquen los tiempos de punto final y así como los estados de punto final y . ${\displaystyle q_{1}}$ ${\displaystyle q_{2}}$ ${\displaystyle t_{1}}$ ${\displaystyle t_{2}}$ ${\displaystyle q_{1}}$ ${\displaystyle q_{2}}$

Historia

Maupertuis fue el primero en publicar un principio de mínima acción , como una forma de adaptar el principio de Fermat para las ondas a una teoría corpuscular (de partículas) de la luz. ^{[3] : 96} Pierre de Fermat había explicado la ley de Snell para la refracción de la luz asumiendo que la luz sigue el camino del tiempo más corto , no la distancia. Esto preocupó a Maupertuis, ya que sentía que el tiempo y la distancia deberían estar en pie de igualdad: "¿por qué la luz debería preferir el camino del tiempo más corto sobre el de la distancia?" Maupertuis definió su acción como , que debía minimizarse en todos los caminos que conectaban dos puntos específicos. Aquí está la velocidad de la luz la teoría corpuscular. Fermat había minimizado donde es la velocidad de onda; las dos velocidades son recíprocas, por lo que las dos formas son equivalentes. ${\textstyle \int v\,ds}$ ${\displaystyle v}$ ${\textstyle \int \,ds/v}$ ${\displaystyle v}$

La afirmación de Koenig

En 1751, la prioridad de Maupertuis para el principio de mínima acción fue cuestionada en forma impresa ( Nova Acta Eruditorum de Leipzig) por un viejo conocido, Johann Samuel Koenig , quien citó una carta de 1707 supuestamente de Gottfried Wilhelm Leibniz a Jakob Hermann que describía resultados similares a los derivados por Leonhard Euler en 1744.

Maupertuis y otros exigieron que Koenig presentara el original de la carta para autenticar que había sido escrita por Leibniz. Leibniz murió en 1716 y Hermann en 1733, por lo que ninguno de los dos podía responder por Koenig. Koenig afirmó tener la carta copiada del original propiedad de Samuel Henzi , y no tenía ninguna pista sobre el paradero del original, ya que Henzi había sido ejecutado en 1749 por organizar la conspiración de Henzi para derrocar al gobierno aristocrático de Berna . ^[4] Posteriormente, la Academia de Berlín bajo la dirección de Euler declaró que la carta era una falsificación ^[5] y que Maupertuis podía seguir reclamando prioridad por haber inventado el principio. Curiosamente, Voltaire se involucró en la disputa al componer Diatribe du docteur Akakia ("Diatriba del doctor Akakia") para satirizar las teorías científicas de Maupertuis (no limitadas al principio de mínima acción). Aunque este trabajo dañó la reputación de Maupertuis, su derecho a la prioridad por la menor acción sigue siendo seguro. ^[4]

Véase también

• Mecánica analítica
• Principio de Hamilton
• Principio de mínima restricción de Gauss (también describe el principio de mínima curvatura de Hertz )
• Ecuación de Hamilton-Jacobi

Referencias

1. Jahnke, Hans Niels (2003). Una historia del análisis . Historia de las matemáticas. Providence (RI): Sociedad matemática americana. p. 139. ISBN 978-0-8218-2623-2.
2. Gray, CG; Taylor, Edwin F. (mayo de 2007). "Cuando la acción no es lo mínimo". American Journal of Physics . 75 (5): 434–458. doi :10.1119/1.2710480. ISSN  0002-9505.
3. Whittaker, Edmund T. (1989). Una historia de las teorías del éter y la electricidad. 2: Las teorías modernas, 1900-1926 (edición repetida). Nueva York: Dover Publ. ISBN 978-0-486-26126-3.
4. Fee, Jerome (1942). "Maupertuis y el principio de mínima acción". Científico estadounidense . 30 (2): 149–158. ISSN  0003-0996. JSTOR  27825934.
5. Euler, Leonhard (1752). Investigación de la carta supuestamente escrita por Leibniz.

• Pierre Louis Maupertuis , Accord de différentes loix de la Nature qui avoient jusqu'ici paru incompatibles (texto original en francés de 1744) ; Acuerdo entre diferentes leyes de la Naturaleza que parecían incompatibles (traducción al inglés)
• Leonhard Euler , Methodus inveniendi/Additamentum II (texto latino original de 1744) ; Methodus inveniendi/Apéndice 2 (traducción al inglés)
• Pierre Louis Maupertuis , Les loix du mouvement et du repos déduites d'un principe metaphysique (texto original en francés de 1746) ; Derivación de las leyes del movimiento y el equilibrio a partir de un principio metafísico (traducción al inglés)
• Leonhard Euler , Exposé concernant l'examen de la lettre de M. de Leibnitz (texto original en francés de 1752) ; Investigación de la carta de Leibniz (traducción al inglés)
• König JS "De universali principio aequilibrii et motus", Nova Acta Eruditorum , 1751 , 125–135, 162–176.
• JJ O'Connor y EF Robertson, "La Academia de Berlín y la falsificación", (2003), en el archivo de Historia de las Matemáticas de MacTutor .
• CI Gerhardt, (1898) "Über die vier Briefe von Leibniz, die Samuel König in dem Appel au public, Leide MDCCLIII, veröffentlicht hat", Sitzungsberichte der Königlich Preussischen Akademie der Wissenschaften , I , 419–427.
• W. Kabitz, (1913) "Über eine in Gotha aufgefundene Abschrift des von S. König in seinem Streite mit Maupertuis und der Akademie veröffentlichten, seinerzeit für unecht erklärten Leibnizbriefes", Sitzungsberichte der Königlich Preussischen Akademie der Wissenschaften , II , 632–638.
• LD Landau y EM Lifshitz, (1976) Mechanics , 3.ª ed., Pergamon Press, págs. 140-143. ISBN 0-08-021022-8 (tapa dura) e ISBN 0-08-029141-4 (tapa blanda)  
• GCJ Jacobi, Vorlesungen über Dynamik, gehalten an der Universität Königsberg im Wintersemester 1842–1843 . A. Clebsch (ed.) (1866); Reimer; Berlina. 290 páginas, disponible en línea Œuvres complètes volumen 8 en Gallica-Math de la Gallica Bibliothèque nationale de France.
• H. Hertz, (1896) Principios de mecánica , en Documentos varios , vol. III, Macmillan.
• VV Rumyantsev (2001) [1994], "Principio de mínima curvatura de Hertz", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press