utilidad ordinal

Clasificación de preferencia

En economía , una función de utilidad ordinal es una función que representa las preferencias de un agente en una escala ordinal . La teoría de la utilidad ordinal afirma que sólo tiene sentido preguntar qué opción es mejor que la otra, pero no tiene sentido preguntar cuánto mejor es o qué tan buena es. Toda la teoría de la toma de decisiones del consumidor en condiciones de certeza puede expresarse, y normalmente lo hace, en términos de utilidad ordinal.

Por ejemplo, supongamos que George nos dice que "prefiero A a B y B a C". Las preferencias de George se pueden representar mediante una función u tal que:

${\displaystyle u(A)=9,u(B)=8,u(C)=1}$

Pero los críticos de la utilidad cardinal afirman que el único mensaje significativo de esta función es el orden ; los números reales no tienen sentido. Por tanto, las preferencias de George también se pueden representar mediante la siguiente función v : ${\displaystyle u(A)>u(B)>u(C)}$

${\displaystyle v(A)=9,v(B)=2,v(C)=1}$

Las funciones u y v son ordinalmente equivalentes: representan igualmente bien las preferencias de George.

La utilidad ordinal contrasta con la teoría de la utilidad cardinal : esta última supone que las diferencias entre preferencias también son importantes. En u la diferencia entre A y B es mucho menor que entre B y C, mientras que en v ocurre lo contrario. Por tanto, u y v no son cardinalmente equivalentes.

El concepto de utilidad ordinal fue introducido por primera vez por Pareto en 1906. ^[1]

Notación

Supongamos que el conjunto de todos los estados del mundo es y un agente tiene una relación de preferencia sobre . Es común marcar la relación de preferencia débil con , de modo que diga "el agente quiere B al menos tanto como A". ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \preceq }$ ${\displaystyle A\preceq B}$

El símbolo se utiliza como abreviatura de la relación de indiferencia: , que dice "El agente es indiferente entre B y A". ${\displaystyle \sim }$ ${\displaystyle A\sim B\iff (A\preceq B\land B\preceq A)}$

El símbolo se utiliza como abreviatura de la relación de preferencia fuerte: si: ${\displaystyle \prec }$ ${\displaystyle A\prec B\iff (A\preceq B\land B\not \preceq A)}$

${\displaystyle A\preceq B\iff u(A)\leq u(B)}$

Conceptos relacionados

Mapeos de curvas de indiferencia

En lugar de definir una función numérica, la relación de preferencia de un agente se puede representar gráficamente mediante curvas de indiferencia. Esto es especialmente útil cuando hay dos tipos de bienes, x e y . Entonces, cada curva de indiferencia muestra un conjunto de puntos tales que, si y están en la misma curva, entonces . ${\displaystyle (x,y)}$ ${\displaystyle (x_{1},y_{1})}$ ${\displaystyle (x_{2},y_{2})}$ ${\displaystyle (x_{1},y_{1})\sim (x_{2},y_{2})}$

A continuación se muestra un ejemplo de curva de indiferencia:

Cada curva de indiferencia es un conjunto de puntos, cada uno de los cuales representa una combinación de cantidades de dos bienes o servicios, combinaciones con todas las cuales el consumidor está igualmente satisfecho. Cuanto más lejos esté una curva del origen, mayor será el nivel de utilidad.

La pendiente de la curva (el negativo de la tasa marginal de sustitución de X por Y) en cualquier punto muestra la tasa a la que el individuo está dispuesto a intercambiar el bien X por el bien Y manteniendo el mismo nivel de utilidad. La curva es convexa con respecto al origen, como se muestra, suponiendo que el consumidor tiene una tasa marginal de sustitución decreciente. Se puede demostrar que el análisis del consumidor con curvas de indiferencia (un enfoque ordinal) da los mismos resultados que el basado en la teoría de la utilidad cardinal ; es decir, los consumidores consumirán en el punto donde la tasa marginal de sustitución entre dos bienes cualesquiera sea igual a la relación de la precios de esos bienes (el principio equimarginal).

preferencia revelada

La teoría de la preferencia revelada aborda el problema de cómo observar las relaciones de preferencia ordinales en el mundo real. El desafío de la teoría de la preferencia revelada radica en parte en determinar qué paquetes de bienes se renunciaron, basándose en que eran menos apreciados, cuando se observa a los individuos eligiendo paquetes particulares de bienes. ^{[2] [3]}

Condiciones necesarias para la existencia de una función de utilidad ordinal

Algunas condiciones son necesarias para garantizar la existencia de una función representativa: ${\displaystyle \preceq }$

• Transitividad : si y entonces . ${\displaystyle A\preceq B}$ ${\displaystyle B\preceq C}$ ${\displaystyle A\preceq C}$
• Integridad: para todos los paquetes : uno o ambos. ${\displaystyle A,B\in X}$ ${\displaystyle A\preceq B}$ ${\displaystyle B\preceq A}$
  • La integridad también implica reflexividad: para cada : . ${\displaystyle A\in X}$ ${\displaystyle A\preceq A}$

Cuando se cumplen estas condiciones y el conjunto es finito, es fácil crear una función que represente simplemente asignando un número apropiado a cada elemento de , como se ejemplifica en el párrafo inicial. Lo mismo ocurre cuando X es infinitamente numerable . Además, es posible construir inductivamente una función de utilidad representativa cuyos valores estén en el rango . ^[4] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle \prec }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle (-1,1)}$

Cuando es infinito, estas condiciones son insuficientes. Por ejemplo, las preferencias lexicográficas son transitivas y completas, pero no pueden representarse mediante ninguna función de utilidad. ^[4] La condición adicional requerida es la continuidad. ${\displaystyle X}$

Continuidad

Una relación de preferencia se llama continua si, siempre que se prefiere B a A, pequeñas desviaciones de B o A no revierten el orden entre ellos. Formalmente, una relación de preferencia en un conjunto X se llama continua si satisface una de las siguientes condiciones equivalentes:

1. Para cada , el conjunto está topológicamente cerrado con la topología del producto (esta definición requiere que sea un espacio topológico ). ${\displaystyle A\in X}$ ${\displaystyle \{(A,B)|A\preceq B\}}$ ${\displaystyle X\times X}$ ${\displaystyle X}$
2. Para cada secuencia , si es para todo i y y , entonces . ${\displaystyle (A_{i},B_{i})}$ ${\displaystyle A_{i}\preceq B_{i}}$ ${\displaystyle A_{i}\to A}$ ${\displaystyle B_{i}\to B}$ ${\displaystyle A\preceq B}$
3. Para cada tal que , existe una bola alrededor y una bola alrededor tal que, para cada uno en la bola alrededor y cada uno en la bola alrededor , (esta definición requiere que sea un espacio métrico ). ${\displaystyle A,B\in X}$ ${\displaystyle A\prec B}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle a\prec b}$ ${\displaystyle X}$

Si una relación de preferencia está representada por una función de utilidad continua, entonces es claramente continua. Según los teoremas de Debreu (1954) , lo contrario también es cierto:

Toda relación de preferencia continua y completa puede representarse mediante una función de utilidad ordinal continua.

Tenga en cuenta que las preferencias lexicográficas no son continuas. Por ejemplo, pero en cada bola alrededor de (5,1) hay puntos con y estos puntos son inferiores a . Esto está de acuerdo con el hecho, mencionado anteriormente, de que estas preferencias no pueden representarse mediante una función de utilidad. ${\displaystyle (5,0)\prec (5,1)}$ ${\displaystyle x<5}$ ${\displaystyle (5,0)}$

Unicidad

Para cada función de utilidad v , existe una relación de preferencia única representada por v . Sin embargo, lo contrario no es cierto: una relación de preferencia puede estar representada por muchas funciones de utilidad diferentes. Las mismas preferencias podrían expresarse como cualquier función de utilidad que sea una transformación monótonamente creciente de v . Por ejemplo, si

${\displaystyle v(A)\equiv f(v(A))}$

donde es cualquier función monótonamente creciente, entonces las funciones v y v dan lugar a mapeos de curvas de indiferencia idénticos. ${\displaystyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }$

Esta equivalencia se describe sucintamente de la siguiente manera:

Una función de utilidad ordinal es única hasta una transformación monótona creciente .

Por el contrario, una función de utilidad cardinal es única hasta una transformación afín creciente . Toda transformación afín es monótona; por tanto, si dos funciones son cardinalmente equivalentes también lo son ordinalmente equivalentes, pero no al revés.

monotonicidad

Supongamos, de ahora en adelante, que el conjunto es el conjunto de todos los vectores bidimensionales reales no negativos. Entonces, un elemento de es un par que representa las cantidades consumidas de dos productos, por ejemplo, manzanas y plátanos. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle (x,y)}$

Entonces, en determinadas circunstancias, una relación de preferencia se representa mediante una función de utilidad . ${\displaystyle \preceq }$ ${\displaystyle v(x,y)}$

Supongamos que la relación de preferencia aumenta monótonamente , lo que significa que "más siempre es mejor":

${\displaystyle x<x'\implies (x,y)\prec (x',y)}$

${\displaystyle y<y'\implies (x,y')\prec (x,y')}$

Entonces, ambas derivadas parciales, si existen, de v son positivas. En breve:

Si una función de utilidad representa una relación de preferencia monótonamente creciente, entonces la función de utilidad aumenta monótonamente.

Tasa marginal de sustitución

Supongamos que una persona tiene un paquete y afirma que le es indiferente entre este paquete y el paquete . Esto significa que está dispuesto a dar unidades de x para obtener unidades de y. Si esta relación se mantiene como , decimos que es la tasa marginal de sustitución (TMS) entre xey en el punto . ^{[5] : 82} ${\displaystyle (x_{0},y_{0})}$ ${\displaystyle (x_{0}-\lambda \cdot \delta ,y_{0}+\delta )}$ ${\displaystyle \lambda \cdot \delta }$ ${\displaystyle \delta }$ ${\displaystyle \delta \to 0}$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle (x_{0},y_{0})}$

Esta definición de la TMS se basa únicamente en la relación de preferencia ordinal; no depende de una función de utilidad numérica. Si la relación de preferencia está representada por una función de utilidad y la función es diferenciable, entonces la TMS se puede calcular a partir de las derivadas de esa función:

${\displaystyle MRS={\frac {v'_{x}}{v'_{y}}}.}$

Por ejemplo, si la relación de preferencia está representada por entonces . La TMS es la misma para la función . Esto no es una coincidencia, ya que estas dos funciones representan la misma relación de preferencia: cada una es una transformación monótona creciente de la otra. ${\displaystyle v(x,y)=x^{a}\cdot y^{b}}$ ${\displaystyle MRS={\frac {a\cdot x^{a-1}\cdot y^{b}}{b\cdot y^{b-1}\cdot x^{a}}}={\frac {ay}{bx}}}$ ${\displaystyle v(x,y)=a\cdot \log {x}+b\cdot \log {y}}$

En general, la TMS puede ser diferente en diferentes puntos . Por ejemplo, es posible que en o la MRS sea baja porque la persona tiene muchas x y solo una y , pero en o la MRS sea mayor. Algunos casos especiales se describen a continuación. ${\displaystyle (x_{0},y_{0})}$ ${\displaystyle (9,1)}$ ${\displaystyle (9,9)}$ ${\displaystyle (1,1)}$

Linealidad

Cuando la TMS de una determinada relación de preferencia no depende de la cesta, es decir, la TMS es la misma para todos , las curvas de indiferencia son lineales y de la forma: ${\displaystyle (x_{0},y_{0})}$

${\displaystyle x+\lambda y={\text{const}},}$

y la relación de preferencia se puede representar mediante una función lineal:

${\displaystyle v(x,y)=x+\lambda y.}$

(Por supuesto, la misma relación puede representarse mediante muchas otras funciones no lineales, como o , pero la función lineal es la más simple). ^{[5] : 85} ${\displaystyle {\sqrt {x+\lambda y}}}$ ${\displaystyle (x+\lambda y)^{2}}$

Cuasilinealidad

Cuando la TMS depende de pero no de , la relación de preferencia se puede representar mediante una función de utilidad cuasilineal , de la forma ${\displaystyle y_{0}}$ ${\displaystyle x_{0}}$

${\displaystyle v(x,y)=x+\gamma v_{Y}(y)}$

donde es una determinada función monótonamente creciente. Debido a que la TMS es una función , una posible función se puede calcular como una integral de : ^{[6] [5] : 87} ${\displaystyle v_{Y}}$ ${\displaystyle \lambda (y)}$ ${\displaystyle v_{Y}}$ ${\displaystyle \lambda (y)}$

${\displaystyle v_{Y}(y)=\int _{0}^{y}{\lambda (y')dy'}}$

En este caso, todas las curvas de indiferencia son paralelas: son transferencias horizontales entre sí.

Aditividad con dos bienes

Un tipo más general de función de utilidad es una función aditiva :

${\displaystyle v(x,y)=v_{X}(x)+v_{Y}(y)}$

Hay varias formas de comprobar si las preferencias dadas son representables mediante una función de utilidad aditiva.

Propiedad de doble cancelación

Si las preferencias son aditivas, entonces un simple cálculo aritmético muestra que

${\displaystyle (x_{1},y_{1})\succeq (x_{2},y_{2})}$y

${\displaystyle (x_{2},y_{3})\succeq (x_{3},y_{1})}$implica

${\displaystyle (x_{1},y_{3})\succeq (x_{3},y_{2})}$

por lo que esta propiedad de "doble cancelación" es una condición necesaria para la aditividad.

Debreu (1960) demostró que esta propiedad también es suficiente: es decir, si una relación de preferencia satisface la propiedad de doble cancelación, entonces puede representarse mediante una función de utilidad aditiva. ^[7]

Propiedad de compensaciones correspondientes

Si las preferencias están representadas por una función aditiva, entonces un simple cálculo aritmético muestra que

${\displaystyle MRS(x_{2},y_{2})={\frac {MRS(x_{1},y_{2})\cdot MRS(x_{2},y_{1})}{MRS(x_{1},y_{1})}}}$

por lo que esta propiedad de "compensaciones correspondientes" es una condición necesaria para la aditividad. Esta condición también es suficiente. ^{[8] [5] : 91}

Aditividad con tres o más bienes.

Cuando hay tres o más mercancías, la condición para la aditividad de la función de utilidad es sorprendentemente más simple que para dos mercancías. Este es un resultado del Teorema 3 de Debreu (1960) . La condición requerida para la aditividad es la independencia preferencial . ^{[5] : 104}

Se dice que un subconjunto A de mercancías es preferentemente independiente de un subconjunto B de mercancías, si la relación de preferencia en el subconjunto A, dados valores constantes para el subconjunto B, es independiente de estos valores constantes. Por ejemplo, supongamos que hay tres productos: x y y z . El subconjunto { x , y } es preferentemente independiente del subconjunto { z }, si es para todos : ${\displaystyle x_{i},y_{i},z,z'}$

${\displaystyle (x_{1},y_{1},z)\preceq (x_{2},y_{2},z)\iff (x_{1},y_{1},z')\preceq (x_{2},y_{2},z')}$.

En este caso, podemos decir simplemente que:

${\displaystyle (x_{1},y_{1})\preceq (x_{2},y_{2})}$para z constante .

La independencia preferencial tiene sentido en el caso de bienes independientes . Por ejemplo, las preferencias entre paquetes de manzanas y plátanos probablemente sean independientes del número de zapatos y calcetines que tenga un agente, y viceversa.

Según el teorema de Debreu, si todos los subconjuntos de mercancías son preferentemente independientes de sus complementos, entonces la relación de preferencia puede representarse mediante una función de valor aditiva. Aquí proporcionamos una explicación intuitiva de este resultado mostrando cómo se puede construir dicha función de valor aditivo. ^[5] La prueba supone tres mercancías: x , y , z . Mostramos cómo definir tres puntos para cada una de las tres funciones de valor : el punto 0, el punto 1 y el punto 2. Se pueden calcular otros puntos de manera similar y luego se puede usar la continuidad para concluir que las funciones están bien definidas en todo su rango. ${\displaystyle v_{x},v_{y},v_{z}}$

0 puntos : elija arbitrarios y asígnelos como el cero de la función de valor, es decir: ${\displaystyle x_{0},y_{0},z_{0}}$

${\displaystyle v_{x}(x_{0})=v_{y}(y_{0})=v_{z}(z_{0})=0}$

1 punto : elige arbitrario tal que . Configúrelo como unidad de valor, es decir: ${\displaystyle x_{1}>x_{0}}$ ${\displaystyle (x_{1},y_{0},z_{0})\succ (x_{0},y_{0},z_{0})}$

${\displaystyle v_{x}(x_{1})=1}$

Elija y tal que se cumplan las siguientes relaciones de indiferencia: ${\displaystyle y_{1}}$ ${\displaystyle z_{1}}$

${\displaystyle (x_{1},y_{0},z_{0})\sim (x_{0},y_{1},z_{0})\sim (x_{0},y_{0},z_{1})}$.

Esta indiferencia sirve para escalar las unidades de y y z para que coincidan con las de x . El valor en estos tres puntos debe ser 1, por lo que asignamos

${\displaystyle v_{y}(y_{1})=v_{z}(z_{1})=1}$

2 punto : Ahora utilizamos el supuesto de independencia preferencial. La relación entre y es independiente de z , y de manera similar la relación entre y es independiente de x y la relación entre y es independiente de y . Por eso ${\displaystyle (x_{1},y_{0})}$ ${\displaystyle (x_{0},y_{1})}$ ${\displaystyle (y_{1},z_{0})}$ ${\displaystyle (y_{0},z_{1})}$ ${\displaystyle (z_{1},x_{0})}$ ${\displaystyle (z_{0},x_{1})}$

${\displaystyle (x_{1},y_{0},z_{1})\sim (x_{0},y_{1},z_{1})\sim (x_{1},y_{1},z_{0}).}$

Esto es útil porque significa que la función v puede tener el mismo valor – 2 – en estos tres puntos. Seleccione tal que ${\displaystyle x_{2},y_{2},z_{2}}$

${\displaystyle (x_{2},y_{0},z_{0})\sim (x_{0},y_{2},z_{0})\sim (x_{0},y_{0},z_{2})\sim (x_{1},y_{1},z_{0})}$

y asignar

${\displaystyle v_{x}(x_{2})=v_{y}(y_{2})=v_{z}(z_{2})=2.}$

3 puntos : Para demostrar que nuestras asignaciones hasta ahora son consistentes, debemos demostrar que todos los puntos que reciben un valor total de 3 son puntos de indiferencia. Aquí, nuevamente, se utiliza el supuesto de independencia preferencial, ya que la relación entre y es independiente de z (y de manera similar para los otros pares); por eso ${\displaystyle (x_{2},y_{0})}$ ${\displaystyle (x_{1},y_{1})}$

${\displaystyle (x_{2},y_{0},z_{1})\sim (x_{1},y_{1},z_{1})}$

y lo mismo para los otros pares. Por tanto, el punto 3 se define de forma coherente.

Podemos continuar así por inducción y definir las funciones por bien en todos los puntos enteros, luego usar la continuidad para definirlas en todos los puntos reales.

Un supuesto implícito en el punto 1 de la prueba anterior es que los tres productos son esenciales o relevantes para las preferencias . ^{[7] : 7} Esto significa que existe una cesta tal que, si se aumenta la cantidad de un determinado bien, la nueva cesta es estrictamente mejor.

La prueba para más de tres productos es similar. De hecho, no tenemos que comprobar que todos los subconjuntos de puntos sean preferentemente independientes; basta con comprobar un número lineal de pares de mercancías. Por ejemplo, si hay diferentes productos, entonces es suficiente comprobar que para todos , los dos productos son preferentemente independientes de los otros productos. ^{[5] : 115} ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle j=1,...,m}$ ${\displaystyle j=1,...,m-1}$ ${\displaystyle \{x_{j},x_{j+1}\}}$ ${\displaystyle m-2}$

Unicidad de la representación aditiva.

Una relación de preferencia aditiva puede representarse mediante muchas funciones de utilidad aditivas diferentes. Sin embargo, todas estas funciones son similares: no sólo son transformaciones monótonas crecientes entre sí (como lo son todas las funciones de utilidad que representan la misma relación); son transformaciones lineales crecientes entre sí. ^{[7] : 9} En resumen,

Una función de utilidad ordinal aditiva es única hasta una transformación lineal creciente .

Construir funciones de utilidad aditivas y cuadráticas a partir de datos ordinales

Los fundamentos matemáticos de los tipos más comunes de funciones de utilidad (cuadráticas y aditivas) establecidos por Gérard Debreu ^{[9] [10]} permitieron a Andranik Tangian desarrollar métodos para su construcción a partir de datos puramente ordinales. En particular, se pueden construir funciones de utilidad aditivas y cuadráticas en variables a partir de entrevistas a tomadores de decisiones, donde las preguntas apuntan a trazar curvas de indiferencia totalmente 2D en planos de coordenadas sin hacer referencia a estimaciones de utilidad cardinales. ^{[11] [12]} ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n-1}$

Comparación entre funciones de utilidad ordinales y cardinales

La siguiente tabla compara los dos tipos de funciones de utilidad comunes en economía:

Ver también

• Preferencia (economía)
• Utilidad multiatributo
• Teoría del consumidor
• Utilidad marginal
• Teoría de la red
• Preferencias convexas

Referencias

1. Pareto, Vilfredo (1906). "Manual de economía política, con una introducción a la ciencia social". Societa Editrice Libraria .
2. Chiaki Hara (6 de junio de 1998). "Teoría de la preferencia revelada". VII reunión Toiro-kai (1997/1998) .
3. Botond Koszegi; Matthew Rabin (mayo de 2007). "Errores en el análisis del bienestar basado en la elección" (PDF) . American Economic Review: artículos y actas . 97 (2): 477–481. CiteSeerX 10.1.1.368.381 . doi :10.1257/aer.97.2.477. Archivado desde el original (PDF) el 15 de octubre de 2008. 
4. Ariel Rubinstein, Apuntes de teoría microeconómica, Conferencia 2 - Utilidad
5. Keeney, Ralph L.; Raiffa, Howard (1993). Decisiones con múltiples objetivos . ISBN 978-0-521-44185-8.
6. Peter Mark Pruzan y JT Ross Jackson (1963). "Sobre el desarrollo de espacios de servicios públicos para sistemas multiobjetivo". Ledelse og Erhvervsøkonomi/Handelsvidenskabeligt Tidsskrift/Erhvervsøkonomisk Tidsskrift .
7. Bergstrom, Ted. "Notas de la conferencia sobre preferencias separables" (PDF) . Economía de la UCSB . Consultado el 18 de agosto de 2015 .
8. Luce, R. Duncan; Tukey, John W. (1964). "Medición conjunta simultánea: un nuevo tipo de medición fundamental". Revista de Psicología Matemática . 1 : 1–27. CiteSeerX 10.1.1.334.5018 . doi :10.1016/0022-2496(64)90015-x. 
9. Debreu, Gerard (1952). "Formas cuadráticas definidas y semidefinidas". Econométrica . 20 (2): 295–300. doi :10.2307/1907852. JSTOR  1907852.
10. Debreu, Gerard (1960). "Métodos topológicos en la teoría de la utilidad cardinal". En Arrow, Kenneth (ed.). Métodos matemáticos en las ciencias sociales, 1959 (PDF) . Stanford: Prensa de la Universidad de Stanford. págs. 16-26. doi :10.1017/CCOL052123736X.010. ISBN 9781139052092.
11. Tangiano, Andranik (2002). "Construcción de una función objetivo cuadrática cuasi cóncava a partir de una entrevista a una persona que toma decisiones". Revista europea de investigación operativa . 141 (3): 608–640. doi :10.1016/S0377-2217(01)00185-0.
12. Tangiano, Andranik (2004). "Un modelo para la construcción ordinal de funciones objetivo aditivas". Revista europea de investigación operativa . 159 (2): 476–512. doi :10.1016/S0377-2217(03)00413-2.

enlaces externos

• La relación de preferencia lexicográfica no puede representarse mediante una función de utilidad. En Economía.SE
• Reconocimiento de órdenes lineales integrables en R2 ordenados lexicográficamente. En Matemáticas SE.
• Murray N. Rothbard , "Hacia una reconstrucción de la economía de servicios públicos y bienestar"