Prima regular

Tipo de número primo

Problema sin resolver en matemáticas :

¿Hay infinitos números primos regulares y, si es así, cuál es su densidad relativa ? ${\displaystyle e^{-1/2}}$

(más problemas sin resolver en matemáticas)

En teoría de números , un primo regular es un tipo especial de número primo , definido por Ernst Kummer en 1850 para demostrar ciertos casos del Último Teorema de Fermat . Los primos regulares pueden definirse a través de la divisibilidad de los números de clase o de los números de Bernoulli .

Los primeros números primos impares regulares son:

3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 41, 43, 47, 53, 61, 71, 73, 79, 83, 89, 97, 107, 109, 113, 127, 137, 139, 151, 163, 167, 173, 179, 181, 191, 193, 197, 199, ... (secuencia A007703 en la OEIS ).

Historia y motivación

En 1850, Kummer demostró que el Último Teorema de Fermat es cierto para un exponente primo p si p es regular. Esto centró la atención en los primos irregulares. ^[1] En 1852, Genocchi pudo demostrar que el primer caso del Último Teorema de Fermat es cierto para un exponente p , si ( p , p − 3) no es un par irregular. Kummer mejoró esto aún más en 1857 al demostrar que para el "primer caso" del Último Teorema de Fermat (véase el teorema de Sophie Germain ) es suficiente establecer que ( p , p − 3) o ( p , p − 5) no son un par irregular.

( ( p , 2 k ) es un par irregular cuando p es irregular debido a que se cumple una determinada condición descrita a continuación en 2 k .)

Kummer encontró los primos irregulares menores de 165. En 1963, Lehmer informó resultados hasta 10000 y Selfridge y Pollack anunciaron en 1964 haber completado la tabla de primos irregulares hasta 25000. Aunque las dos últimas tablas no aparecieron impresas, Johnson encontró que ( p , p − 3) es de hecho un par irregular para p = 16843 y que esta es la primera y única vez que esto ocurre para p < 30000 . ^[2] Se encontró en 1993 que la próxima vez que esto sucede es para p = 2124679 ; vea primo de Wolstenholme . ^[3]

Definición

Criterio de número de clase

Un número primo impar p se define como regular si no divide el número de clase del p -ésimo campo ciclotómico Q ( ζ _p ), donde ζ _p es una p -ésima raíz primitiva de la unidad.

El número primo 2 a menudo también se considera regular.

El número de clase del campo ciclotómico es el número de ideales del anillo de números enteros Z ( ζ _p ) hasta la equivalencia. Dos ideales I , J se consideran equivalentes si hay un u distinto de cero en Q ( ζ _p ) de modo que I = uJ . Los primeros de estos números de clase se enumeran en OEIS : A000927 .

Criterio de Kummer

Ernst Kummer (Kummer 1850) demostró que un criterio equivalente para la regularidad es que p no divide el numerador de ninguno de los números de Bernoulli B _k para k = 2, 4, 6, ..., p − 3 .

La prueba de Kummer de que esto es equivalente a la definición de número de clase se ve reforzada por el teorema de Herbrand-Ribet , que establece ciertas consecuencias de que p divida el numerador de uno de estos números de Bernoulli.

Conjetura de Siegel

Se ha conjeturado que existen infinitos números primos regulares. Más precisamente, Carl Ludwig Siegel  (1964) conjeturó que e ^−1/2 , o aproximadamente el 60,65%, de todos los números primos son regulares, en el sentido asintótico de densidad natural .

Tomando el criterio de Kummer, la probabilidad de que un numerador de los números de Bernoulli , , no sea divisible por el primo es ${\displaystyle B_{k}}$ ${\displaystyle k=2,\dots ,p-3}$ ${\displaystyle p}$

${\displaystyle {\dfrac {p-1}{p}}}$

de modo que la probabilidad de que ninguno de los numeradores de estos números de Bernoulli sea divisible por el primo es ${\displaystyle p}$

${\displaystyle \left({\dfrac {p-1}{p}}\right)^{\dfrac {p-3}{2}}=\left(1-{\dfrac {1}{p}}\right)^{\dfrac {p-3}{2}}=\left(1-{\dfrac {1}{p}}\right)^{-3/2}\cdot \left\lbrace \left(1-{\dfrac {1}{p}}\right)^{p}\right\rbrace ^{1/2}}$.

Por E_(constante_matemática) , tenemos

${\displaystyle \lim _{p\to \infty }\left(1-{\dfrac {1}{p}}\right)^{p}={\dfrac {1}{e}}}$

para que obtengamos la probabilidad

${\displaystyle \lim _{p\to \infty }\left(1-{\dfrac {1}{p}}\right)^{-3/2}\cdot \left\lbrace \left(1-{\dfrac {1}{p}}\right)^{p}\right\rbrace ^{1/2}=e^{-1/2}\approx 0.606531}$.

De ello se deduce que aproximadamente de los primos son regulares por casualidad. Hart et al. ^[4] indican que de los primos menos de son regulares. ${\displaystyle 60.6531\%}$ ${\displaystyle 60.6590\%}$ ${\displaystyle 2^{31}=2,147,483,648}$

Primos irregulares

Un primo impar que no es regular es un primo irregular (o irregular de Bernoulli o B-irregular para distinguirlo de otros tipos de irregularidades que se analizan a continuación). Los primeros primos irregulares son:

37, 59, 67, 101, 103, 131, 149, 157, 233, 257, 263, 271, 283, 293, 307, 311, 347, 353, 379, 389, 401, 409, 421, 433, 461, 463, 467, 491, 523, 541, 547, 557, 577, 587, 593, ... (secuencia A000928 en la OEIS )

Infinitud

KL Jensen (un estudiante de Nielsen ^[5] ) demostró en 1915 que hay infinitos primos irregulares de la forma 4 n + 3 . ^[6] En 1954 Carlitz dio una prueba simple del resultado más débil de que en general hay infinitos primos irregulares. ^[7]

Metsänkylä demostró en 1971 que para cualquier entero T > 6 , hay infinitos primos irregulares que no tienen la forma mT + 1 o mT − 1 ^[8] y posteriormente generalizó esto. ^[9]

Pares irregulares

Si p es un primo irregular y p divide al numerador del número de Bernoulli B _{2 k} para 0 < 2 k < p − 1 , entonces ( p , 2 k ) se denomina par irregular . En otras palabras, un par irregular es un mecanismo de contabilidad para registrar, para un primo irregular p , los índices particulares de los números de Bernoulli en los que falla la regularidad. Los primeros pares irregulares (cuando se ordenan por k ) son:

(691, 12), (3617, 16), (43867, 18), (283, 20), (617, 20), (131, 22), (593, 22), (103, 24), (2294797, 24), (657931, 26), (9349, 28), (362903, 28), ... (secuencia A189683 en la OEIS ).

Los pares k más pequeños tales que el n -ésimo primo irregular divide a B _k son

32, 44, 58, 68, 24, 22, 130, 62, 84, 164, 100, 84, 20, 156, 88, 292, 280, 186, 100, 200, 382, ​​126, 240, 366, 196, 130, 94, 292, 400, 86, 270, 222, 52, 90, 22, ... (secuencia A035112 en la OEIS )

Para un primo dado p , el número de dichos pares se denomina índice de irregularidad de p . ^[10] Por lo tanto, un primo es regular si y solo si su índice de irregularidad es cero. De manera similar, un primo es irregular si y solo si su índice de irregularidad es positivo.

Se descubrió que ( p , p − 3) es de hecho un par irregular para p = 16843 , así como para p = 2124679 . No hay más ocurrencias para p < 10 ⁹ .

Índice irregular

Un primo impar p tiene índice irregular n si y solo si hay n valores de k para los cuales p divide a B _{2 k} y estos k son menores que ( p − 1)/2 . El primer primo irregular con índice irregular mayor que 1 es 157 , que divide a B ₆₂ y B ₁₁₀ , por lo que tiene un índice irregular 2. Claramente, el índice irregular de un primo regular es 0.

El índice irregular del n- ésimo primo es

0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 1, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 1, 0, 2, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 1, 1, 0, 1, 0, 0, 1, 1, 1, 1, 0, 0, 0, 1, 0, 2, 0, ... (Comienza con n = 2, o el primo = 3) (secuencia A091888 en la OEIS )

El índice irregular del n -ésimo primo irregular es

1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 2, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 3, 1, 1, 2, 1, 1, 2, 1, 1, 1, 3, 1, 2, 3, 1, 1, 2, 1, 1, 2, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 3, 1, 1, 1, ... (secuencia A091887 en la OEIS )

Los primos que tienen índice irregular 1 son

37, 59, 67, 101, 103, 131, 149, 233, 257, 263, 271, 283, 293, 307, 311, 347, 389, 401, 409, 421, 433, 461, 463, 523, 541, 557, 577, 593, 607, 613, 619, 653, 659, 677, 683, 727, 751, 757, 761, 773, 797, 811, 821, 827, 839, 877, 881, 887, 953, 971, ... (secuencia A073276 en la OEIS )

Los primos que tienen índice irregular 2 son

157, 353, 379, 467, 547, 587, 631, 673, 691, 809, 929, 1291, 1297, 1307, 1663, 1669, 1733, 1789, 1933, 1997, 2003, 2087, 2273, 2309, 2371, 2383, 2423, 2441, 2591, 2671, 2789, 2909, 2957, ... (secuencia A073277 en la OEIS )

Los primos que tienen índice irregular 3 son

491, 617, 647, 1151, 1217, 1811, 1847, 2939, 3833, 4003, 4657, 4951, 6763, 7687, 8831, 9011, 10463, 10589, 12073, 13217, 14533, 14737, 14957, 15287, 15787, 15823, 16007, 17681, 17863, 18713, 18869, ... (secuencia A060975 en la OEIS )

Los primos menores que tienen índice irregular n son

2, 3, 37, 157, 491, 12613, 78233, 527377, 3238481, ... (secuencia A061576 en la OEIS ) (Esta secuencia define "el índice irregular de 2" como −1, y también comienza en n = −1 ).

Generalizaciones

Primos irregulares de Euler

De manera similar, podemos definir un primo irregular de Euler (o E-irregular) como un primo p que divide al menos un número de Euler E _{2 n} con 0 < 2 n ≤ p − 3 . Los primeros primos irregulares de Euler son

19, 31, 43, 47, 61, 67, 71, 79, 101, 137, 139, 149, 193, 223, 241, 251, 263, 277, 307, 311, 349, 353, 359, 373, 379, 419, 433, 461, 463, 491, 509, 541, 563, 571, 577, 587, ... (secuencia A120337 en la OEIS )

Los pares irregulares de Euler son

(61, 6), (277, 8), (19, 10), (2659, 10), (43, 12), (967, 12), (47, 14), (4241723, 14), (228135437 , 16), (79, 18), (349, 18), (84224971, 18), (41737, 20), (354957173, 20), (31, 22), (1567103, 22), (1427513357, 22 ), (2137, 24), (111691689741601, 24), (67, 26), (61001082228255580483, 26), (71, 28), (30211, 28), (2717447, 28), (77980901, 28), ...

Vandiver demostró en 1940 que el último teorema de Fermat ( x ^p + y ^p = z ^p ) no tiene solución para los números enteros x , y , z con mcd( xyz , p ) = 1 si p es regular en el sentido de Euler. Gut demostró que x ^{2 p} + y ^{2 p} = z ^{2 p} no tiene solución si p tiene un índice de irregularidad E menor que 5. ^[11]

Se ha demostrado que hay una infinidad de primos E-irregulares. Se ha obtenido un resultado más contundente: hay una infinidad de primos E-irregulares congruentes con 1 módulo 8. Como en el caso de los primos B-regulares de Kummer, todavía no hay ninguna prueba de que haya una cantidad infinita de primos E-regulares, aunque parece probable que esto sea cierto.

Primos irregulares fuertes

Un primo p se llama irregular fuerte si es tanto B-irregular como E-irregular (los índices de los números de Bernoulli y Euler que son divisibles por p pueden ser iguales o diferentes). Los primeros primos irregulares fuertes son

67, 101, 149, 263, 307, 311, 353, 379, 433, 461, 463, 491, 541, 577, 587, 619, 677, 691, 751, 761, 773, 811, 821, 877, 887, 929, 971, 1151, 1229, 1279, 1283, 1291, 1307, 1319, 1381, 1409, 1429, 1439, ... (secuencia A128197 en la OEIS )

Probar el Último Teorema de Fermat para un primo irregular fuerte p es más difícil (ya que Kummer probó el primer caso del Último Teorema de Fermat para primos B-regulares, Vandiver probó el primer caso del Último Teorema de Fermat para primos E-regulares), lo más difícil es que p no sólo es un primo irregular fuerte, sino que 2 p + 1 , 4 p + 1 , 8 p + 1 , 10 p + 1 , 14 p + 1 y 16 p + 1 también son compuestos ( Legendre probó el primer caso del Último Teorema de Fermat para primos p tales que al menos uno de 2 p + 1 , 4 p + 1 , 8 p + 1 , 10 p + 1 , 14 p + 1 y 16 p + 1 es primo), los primeros p son

263, 311, 379, 461, 463, 541, 751, 773, 887, 971, 1283, ...

Primos irregulares débiles

Un primo p es débilmente irregular si es B-irregular o E-irregular (o ambos). Los primeros primos irregulares débiles son

19, 31, 37, 43, 47, 59, 61, 67, 71, 79, 101, 103, 131, 137, 139, 149, 157, 193, 223, 233, 241, 251, 257, 263, 271, 277, 283, 293, 307, 311, 347, 349, 353, 373, 379, 389, 401, 409, 419, 421, 433, 461, 463, 491, 509, 523, 541, 547, 557, 3, 571, 577, 587, 593, ... (secuencia A250216 en la OEIS )

Al igual que la irregularidad de Bernoulli, la regularidad débil se relaciona con la divisibilidad de los números de clase de los cuerpos ciclotómicos . De hecho, un primo p es irregular débil si y solo si p divide el número de clase del 4 p º cuerpo ciclotómico Q ( ζ _{4 p} ).

Pares irregulares débiles

En esta sección, " a _n " significa el numerador del n- ésimo número de Bernoulli si n es par, " a _n " significa el ( n − 1) -ésimo número de Euler si n es impar (secuencia A246006 en la OEIS ).

Puesto que para cada primo impar p , p divide a _p si y solo si p es congruente con 1 módulo 4, y puesto que p divide al denominador del ( p − 1) -ésimo número de Bernoulli para cada primo impar p , entonces para cualquier primo impar p , p no puede dividir a _{p −1} . Además, si y solo si un primo impar p divide a _n (y 2 p no divide a n ), entonces p también divide a _{n + k ( p −1)} (si 2 p divide a n , entonces la oración debería cambiarse a " p también divide a _{n +2 kp} ". De hecho, si 2 p divide a n y p ( p − 1) no divide a n , entonces p divide a _n .) para cada entero k (una condición es n + k ( p − 1) debe ser > 1). Por ejemplo, dado que 19 divide a ₁₁ y 2 × 19 = 38 no divide a 11, entonces 19 divide a _{18 k + 11} para todo k . Por lo tanto, la definición de par irregular ( p , n ) , n debería ser como máximo p − 2 .

La siguiente tabla muestra todos los pares irregulares con primo impar p ≤ 661 :

Los únicos primos menores de 1000 con índice irregular débil 3 son 307, 311, 353, 379, 577, 587, 617, 619, 647, 691, 751 y 929. Además, 491 es el único primo menor de 1000 con índice irregular débil 4, y todos los demás primos impares menores de 1000 con índice irregular débil 0, 1 o 2. ( El índice irregular débil se define como "número de números enteros 0 ≤ n ≤ p − 2 tales que p divide a _n" ).

La siguiente tabla muestra todos los pares irregulares con n ≤ 63. (Para obtener estos pares irregulares, solo necesitamos factorizar a _n . Por ejemplo, a ₃₄ = 17 × 151628697551 , pero 17 < 34 + 2 , por lo que el único par irregular con n = 34 es (151628697551, 34) ) (para más información ( n pares hasta 300 y n impares hasta 201), consulte ^[12] ).

La siguiente tabla muestra pares irregulares ( p , p − n ) ( n ≥ 2 ), es una conjetura que hay infinitos pares irregulares ( p , p − n ) para cada número natural n ≥ 2 , pero solo se encontraron unos pocos para n fijo . Para algunos valores de n , incluso no se conoce ningún primo p .

Véase también

• Wolstenholme prima

Referencias

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2. Johnson, W. (1975), "Primos irregulares e invariantes ciclotómicos", Matemáticas de la computación , 29 (129): 113–120, doi : 10.2307/2005468 , JSTOR  2005468
3. Buhler, J.; Crandall, R.; Ernvall, R.; Metsänkylä, T. (1993). "Números primos irregulares e invariantes ciclotómicos hasta cuatro millones". Math. Comp . 61 (203): 151–153. Bibcode :1993MaCom..61..151B. doi : 10.1090/s0025-5718-1993-1197511-5 .
4. Primos irregulares hasta dos mil millones, William Hart, David Harvey y Wilson Ong, 9 de mayo de 2016, arXiv:1605.02398v1
5. Leo Corry: Análisis de números frente a teoría de números: computadoras y FLT, desde Kummer hasta SWAC (1850-1960) y más allá
6. Jensen, KL (1915). "Om talteoretiske Egenskaber ved de Bernoulliske Tal". NYT Tidsskr. Estera . B 26 : 73–83. JSTOR  24532219.
7. Carlitz, L. (1954). "Nota sobre primos irregulares" (PDF) . Actas de la American Mathematical Society . 5 (2). AMS : 329–331. doi : 10.1090/S0002-9939-1954-0061124-6 . ISSN  1088-6826. MR  0061124.
8. Tauno Metsänkylä (1971). "Nota sobre la distribución de primos irregulares". Ann. Acad. Sci. Fenn. Ser. AI . 492 . MR  0274403.
9. Tauno Metsänkylä (1976). "Distribución de números primos irregulares". Journal für die reine und angewandte Mathematik . 1976 (282): 126-130. doi :10.1515/crll.1976.282.126. S2CID  201061944.
10. Narkiewicz, Władysław (1990), Teoría elemental y analítica de números algebraicos (2.ª edición, sustancialmente revisada y ampliada), Springer-Verlag ; PWN-Editorial Científica Polaca , p. 475, ISBN 3-540-51250-0, Zbl0717.11045 ​
11. "Los veinte primeros: números primos irregulares de Euler". primes.utm.edu . Consultado el 21 de julio de 2021 .
12. "Números de Bernoulli y Euler". homes.cerias.purdue.edu . Consultado el 21 de julio de 2021 .

Lectura adicional

• Kummer, EE (1850), "Allgemeiner Beweis des Fermat'schen Satzes, dass die Gleichung xλ + yλ = zλ durch ganze Zahlen unlösbar ist, für alle diejenigen Potenz-Exponenten λ, welche ungerade Primzahlen sind und in den Zählern der ersten (λ −3)/2 Bernoulli'schen Zahlen als Factoren nicht vorkommen", J. Reine Angew. Matemáticas. , 40 : 131-138
• Siegel, Carl Ludwig (1964), "Zu zwei Bemerkungen Kummers", Nachrichten der Akademie der Wissenschaften en Göttingen , 1964 : 51–57, SEÑOR  0163899
• Iwasawa, K.; Sims, CC (1966), "Cálculo de invariantes en la teoría de campos ciclotómicos", Journal of the Mathematical Society of Japan , 18 (1): 86–96, doi : 10.2969/jmsj/01810086
• Wagstaff, Jr., SS (1978), "Los números primos irregulares hasta 125000", Matemáticas de la computación , 32 (142): 583–591, doi :10.2307/2006167, JSTOR  2006167
• Granville, A.; Monagan, MB (1988), "El primer caso del último teorema de Fermat es verdadero para todos los exponentes primos hasta 714.591.416.091.389", Transactions of the American Mathematical Society , 306 (1): 329–359, doi : 10.1090/S0002-9947-1988-0927694-5 , MR  0927694
• Gardiner, A. (1988), "Cuatro problemas sobre la divisibilidad de potencias primos", American Mathematical Monthly , 95 (10): 926–931, doi :10.2307/2322386, JSTOR  2322386
• Ernvall, R.; Metsänkylä, T. (1991), "Invariantes ciclotómicos para primos entre 125000 y 150000", Mathematics of Computation , 56 (194): 851–858, doi :10.2307/2008413, JSTOR  2008413
• Ernvall, R.; Metsänkylä, T. (1992), "Invariantes ciclotómicas para primos hasta un millón" (PDF) , Matemáticas de la computación , 59 (199): 249–250, doi : 10.2307/2152994 , JSTOR  2152994
• Buhler, JP; Crandall, RE; Sompolski, RW (1992), "Números primos irregulares hasta un millón", Matemáticas de la computación , 59 (200): 717–722, doi : 10.2307/2153086 , JSTOR  2153086
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Enlaces externos

• Weisstein, Eric W. "Prime irregular". MundoMatemático .
• Chris Caldwell, The Prime Glossary: ​​prime regular en The Prime Pages .
• Keith Conrad, el último teorema de Fermat para números primos regulares.
• Prima irregular de Bernoulli
• Número primo irregular de Euler
• Primos irregulares de Bernoulli y Euler.
• Factorización de números de Bernoulli y Euler
• Factorización de números de Bernoulli y Euler