Hay dos teoremas fundamentales de la economía del bienestar . El primero establece que en equilibrio económico , un conjunto de mercados completos , con información completa y en competencia perfecta , será óptimo de Pareto (en el sentido de que ningún intercambio adicional mejoraría la situación de una persona sin empeorar la situación de otra). Los requisitos para la competencia perfecta son estos: [1]
El teorema a veces se considera una confirmación analítica del principio de la " mano invisible " de Adam Smith , es decir, que los mercados competitivos garantizan una asignación eficiente de los recursos . Sin embargo, no hay garantía de que el resultado de mercado óptimo de Pareto sea equitativo , ya que hay muchas posibles asignaciones de recursos eficientes en el sentido de Pareto que difieren en su deseabilidad (por ejemplo, una persona puede poseer todo y los demás nada). [2]
El segundo teorema establece que cualquier óptimo de Pareto puede sustentarse como equilibrio competitivo para algún conjunto inicial de dotaciones. La implicación es que se puede respaldar cualquier resultado óptimo de Pareto deseado; La eficiencia de Pareto se puede lograr con cualquier redistribución de la riqueza inicial. Sin embargo, los intentos de corregir la distribución pueden introducir distorsiones, por lo que es posible que no se pueda alcanzar la optimización total con la redistribución. [3]
Los teoremas se pueden visualizar gráficamente para una economía de intercambio pura y simple mediante el diagrama de caja de Edgeworth .
En una discusión sobre los aranceles de importación, Adam Smith escribió que:
Cada individuo necesariamente trabaja para que los ingresos anuales de la sociedad sean tan grandes como pueda... En esto, como en muchos otros modos, es conducido por una mano invisible para promover un fin que no formaba parte de su intención... Al perseguir su propio interés, frecuentemente promueve el de la sociedad de manera más efectiva que cuando realmente se propone promoverlo. [4]
Tenga en cuenta que las ideas de Smith no estaban dirigidas específicamente a la economía del bienestar, ya que este campo de la economía no se había creado en ese momento. Sin embargo, sus argumentos han sido acreditados hacia la creación de la rama, así como hacia las teorías fundamentales de la economía del bienestar. [5]
Walras escribió que "el intercambio en libre competencia es una operación mediante la cual todas las partes obtienen la máxima satisfacción, siempre que compren y vendan a un precio uniforme". [6]
Edgeworth dio un paso hacia el primer teorema fundamental en sus 'Psíquicos matemáticos', analizando una economía de intercambio puro sin producción. Incluyó la competencia imperfecta en su análisis. [7] Su definición de equilibrio es casi la misma que la definición posterior de optimización de Pareto: es un punto tal que...
En cualquier dirección que demos un paso infinitamente pequeño, P y Π [las utilidades del comprador y del vendedor] no aumentan juntas, sino que, mientras una aumenta, la otra disminuye. [8]
En lugar de concluir que el equilibrio era óptimo de Pareto, Edgeworth concluyó que el equilibrio maximiza la suma de las utilidades de las partes, que es un caso especial de eficiencia de Pareto:
De los principios dinámicos generales aplicados a este caso especial parece deducirse que el equilibrio se alcanza cuando la energía de placer total de los contratistas es máxima relativa o sujeta a condiciones... [9]
Pareto planteó el primer teorema fundamental en su Manuale (1906) y con más rigor en su revisión francesa ( Manuel , 1909). [10] Fue el primero en reclamar la optimización bajo su propio criterio o en apoyar la afirmación con argumentos convincentes. [ cita necesaria ]
Define el equilibrio de manera más abstracta que Edgeworth como un estado que se mantendría indefinidamente en ausencia de presiones externas [11] y muestra que en una economía de intercambio es el punto en el que una tangente común a las curvas de indiferencia de las partes pasa a través de la dotación. . [12]
Su definición de optimización se da en el cap. VI:
Diremos que los miembros de una colectividad disfrutan de un máximo de ofelimitación [es decir, de utilidad] en una determinada posición cuando es imposible alejarse un pequeño paso de modo que la ofelimitación que disfruta cada individuo en la colectividad aumente, o de manera que disminuye. [Anteriormente definió un aumento en la ofelimitación individual como un movimiento hacia una curva de indiferencia más alta.] Es decir, cualquier pequeño paso seguramente aumentará la ofelimitación de algunos individuos mientras disminuye la de otros. [13]
El siguiente párrafo nos da un teorema:
Para fenómenos de tipo I [es decir, competencia perfecta], cuando el equilibrio tiene lugar en un punto de tangencia de las curvas de indiferencia, los miembros de la colectividad disfrutan de un máximo de ofelimidad.
Añade que "no se puede dar una demostración rigurosa sin la ayuda de las matemáticas" y remite a su Apéndice. [14]
Wicksell , refiriéndose a su definición de optimización, comentó:
Con tal definición, es casi evidente que este llamado máximo se obtiene en condiciones de libre competencia, porque si , después de un intercambio, fuera posible mediante una serie adicional de intercambios directos o indirectos producir una satisfacción adicional de necesidades de los participantes, entonces, en esa medida, sin duda se habría producido tal intercambio continuo, y la posición original no podría ser de equilibrio final. [15]
Pareto no lo encontró tan sencillo. Ofrece un argumento esquemático en su texto, que se aplica únicamente al intercambio, [16] y un argumento matemático de 32 páginas en el Apéndice [17] que Samuelson encontró "no fácil de seguir". [18] Pareto se vio obstaculizado por no tener un concepto de frontera de producción-posibilidad , cuyo desarrollo se debió en parte a su colaborador Enrico Barone . [19] Sus propias 'curvas de indiferencia ante los obstáculos' parecen haber sido un camino falso.
Poco después de enunciar el primer teorema fundamental, Pareto hace una pregunta sobre la distribución:
Consideremos una sociedad colectivista que busca maximizar la ofelicidad de sus miembros. El problema se divide en dos partes. En primer lugar, tenemos un problema de distribución: ¿cómo deberían compartirse los bienes dentro de una sociedad entre sus miembros? Y en segundo lugar, ¿cómo debería organizarse la producción de modo que, cuando los bienes se distribuyan de esa manera, los miembros de la sociedad obtengan la máxima ofelicidad?
Su respuesta es un precursor informal del segundo teorema:
Habiendo distribuido los bienes según la respuesta al primer problema, el Estado debería permitir a los miembros de la colectividad realizar una segunda distribución, o realizarla él mismo, asegurándose en cualquier caso de que se realice de conformidad con el funcionamiento de la libre competencia. [20]
Barone , un asociado de Pareto, demostró una propiedad de optimización de la competencia perfecta, [21] a saber, que –asumiendo precios exógenos– maximiza el valor monetario del retorno de la actividad productiva, siendo éste la suma de los valores de ocio, ahorro y bienes de consumo, todos tomados en las proporciones deseadas. [22] No argumenta que los precios elegidos por el mercado sean en sí mismos óptimos.
Su artículo no fue traducido al inglés hasta 1935. Recibió un resumen aprobado por Samuelson [23] pero no parece haber influido en el desarrollo de los teoremas del bienestar tal como están ahora.
En 1934, Lerner reiteró la condición de Edgeworth para el intercambio de que las curvas de indiferencia deberían encontrarse como tangentes, presentándola como una propiedad de optimización. Estableció una condición similar para la producción, a saber, que la frontera de posibilidades de producción ( FPP , a la que dio el nombre alternativo de "curva de indiferencia productiva") debería ser tangencial con una curva de indiferencia para la comunidad. Fue uno de los creadores del PPF, ya que lo utilizó en un artículo sobre comercio internacional en 1932. [24] Muestra que los dos argumentos pueden presentarse en los mismos términos, ya que el PPF desempeña el mismo papel que el espejo. Curva de indiferencia de imagen en una caja de Edgeworth. También menciona que no es necesario que las curvas sean diferenciables, ya que se obtiene el mismo resultado si se tocan en las esquinas puntiagudas.
Su definición de optimización era equivalente a la de Pareto:
Si... es posible mover a un individuo a una posición preferida sin mover a otro individuo a una posición peor... podemos decir que no se alcanza el óptimo relativo...
La condición de optimización para la producción es equivalente al par de requisitos de que (i) el precio debe ser igual al costo marginal y (ii) la producción debe maximizarse sujeto a (i). Así, Lerner reduce la optimización a la tangencia tanto para la producción como para el intercambio, pero no dice por qué el punto implícito en la FPP debería ser la condición de equilibrio para un mercado libre. Quizás lo consideraba ya suficientemente consolidado. [25]
Lerner atribuye a su colega de la LSE, Victor Edelberg, el mérito de haber sugerido el uso de curvas de indiferencia. Samuelson supuso que Lerner obtuvo sus resultados independientemente del trabajo de Pareto. [26]
Hotelling presentó un nuevo argumento para demostrar que "las ventas a costos marginales son una condición para el máximo bienestar general" (según la definición de Pareto). Aceptó que esta condición se satisfacía mediante la competencia perfecta, pero argumentó en consecuencia que la competencia perfecta no podía ser óptima ya que algunos proyectos beneficiosos no podrían recuperar sus costos fijos cobrando a esta tasa (por ejemplo, en un monopolio natural ). [27]
El artículo de Lange 'Los fundamentos de la economía del bienestar' es la fuente del ahora tradicional emparejamiento de dos teoremas, uno que rige los mercados y el otro la distribución. Justificó la definición de optimización de Pareto para el primer teorema con referencia al rechazo de Lionel Robbins de las comparaciones de utilidad interpersonal, [28] y sugirió varias formas de reintroducir las comparaciones interpersonales para el segundo teorema, como las decisiones de un Congreso democráticamente elegido. Lange creía que un congreso así podría actuar de manera similar a un capitalista: al establecer vectores de precios, podría lograr cualquier plan de producción óptimo para lograr eficiencia e igualdad social. [29]
Su razonamiento es una traducción matemática (a multiplicadores de Lagrange ) del argumento gráfico de Lerner. El segundo teorema no toma en sus manos su forma familiar; más bien simplemente muestra que las condiciones de optimización para una función de utilidad social genuina son similares a aquellas para la optimización de Pareto.
Samuelson (dando crédito a Abram Bergson por la sustancia de sus ideas) llevó el segundo teorema del bienestar de Lange aproximadamente a su forma moderna. [30] Sigue a Lange al derivar un conjunto de ecuaciones que son necesarias para el óptimo de Pareto, y luego considera qué restricciones adicionales surgen si se requiere que la economía satisfaga una función de bienestar social genuina, encontrando un conjunto adicional de ecuaciones de las que se sigue " que toda la acción necesaria para lograr un desiderátum ético determinado puede tomar la forma de impuestos o recompensas a tanto alzado” . [31]
Los dos artículos de Arrow y Debreu [32] (escritos de forma independiente y publicados casi simultáneamente) intentaron mejorar el rigor del primer teorema de Lange. Sus cuentas se refieren tanto a la producción (a corto plazo) como al intercambio, expresando las condiciones para ambos a través de funciones lineales.
El equilibrio de la producción se expresa mediante la restricción de que el valor de la producción neta de un fabricante, es decir, el producto escalar del vector de producción con el vector de precios, debe maximizarse sobre el conjunto de producción del fabricante . Esto se interpreta como maximización de beneficios .
El equilibrio para el intercambio se interpreta en el sentido de que la utilidad del individuo debe maximizarse sobre las posiciones obtenibles de la dotación a través del intercambio, siendo éstas las posiciones cuyo valor no es mayor que el valor de su dotación, donde el valor de una asignación es su producto escalar con el vector de precio.
Arrow motivó su artículo con referencia a la necesidad de ampliar las pruebas para cubrir los equilibrios en el borde del espacio, y Debreu por la posibilidad de que las curvas de indiferencia no sean diferenciables. Los textos modernos siguen su estilo de prueba.
En su artículo de 1986, "Externalidades en economías con información imperfecta y mercados incompletos", Bruce Greenwald y Joseph Stiglitz demostraron que los teoremas fundamentales del bienestar no se cumplen si hay mercados incompletos o información imperfecta. [33] El artículo establece que un equilibrio competitivo de una economía con información asimétrica generalmente ni siquiera es eficiente en términos de Pareto restringido. Un gobierno que enfrenta las mismas limitaciones de información que los individuos privados en la economía puede, no obstante, encontrar intervenciones políticas que mejoren el criterio de Pareto. [34]
Greenwald y Stiglitz señalaron varias situaciones relevantes, incluida la forma en que el riesgo moral puede hacer que una situación sea ineficiente (por ejemplo, un impuesto al alcohol puede mejorar en términos de Pareto ya que reduce los accidentes automovilísticos). [35]
En principio, hay dos versiones comunes de los teoremas fundamentales: una que se relaciona con una economía de intercambio en la que las dotaciones se dan exógenamente y otra que se relaciona con una economía en la que se produce la producción. La economía de producción es más general e implica supuestos adicionales. Todos los supuestos se basan en el libro de texto estándar de microeconomía para graduados. [36]
Los teoremas fundamentales generalmente no aseguran la existencia ni la unicidad de los equilibrios.
El segundo teorema fundamental tiene condiciones más exigentes.
A continuación se proporciona una lista no exhaustiva de fallos comunes de los supuestos subyacentes a los teoremas fundamentales.
Otro ejemplo en el que los teoremas del bienestar no se cumplen es en el modelo canónico de generaciones superpuestas (OLG). Otro supuesto implícito en el enunciado del teorema es que el valor de las dotaciones totales de la economía (algunas de las cuales podrían transformarse en otros bienes mediante la producción) es finito. [37] En el modelo OLG, la finitud de las dotaciones falla, dando lugar a problemas similares a los descritos por la paradoja del Gran Hotel de Hilbert .
Si los supuestos subyacentes a los teoremas fundamentales son una descripción adecuada de los mercados es, al menos parcialmente, una cuestión empírica y puede diferir según el caso.
El primer teorema fundamental se cumple en condiciones generales. [38] Una afirmación formal es la siguiente: si las preferencias no están saciadas localmente y si hay un equilibrio de precios con transferencias, entonces la asignación es óptima de Pareto. Un equilibrio en este sentido se relaciona únicamente con una economía de intercambio o presupone que las empresas son eficientes en términos de asignación y productividad, lo que se puede demostrar que se deriva de mercados de factores y de producción perfectamente competitivos. [38]
Dado un conjunto de tipos de bienes, trabajamos en el espacio vectorial real y usamos negrita para las variables con valores vectoriales. Por ejemplo, si entonces sería un espacio vectorial tridimensional y el vector representaría el paquete de bienes que contiene 1 unidad de mantequilla, 2 unidades de galletas y 3 unidades de leche.
Supongamos que el consumidor i tiene una riqueza tal que donde es la dotación agregada de bienes (es decir, la suma de todas las dotaciones de consumidores y productores) y es la producción de la empresa j .
La maximización de preferencias (de la definición de equilibrio de precios con transferencias) implica (usando para denotar la relación de preferencia para el consumidor i ):
En otras palabras, si se prefiere estrictamente un paquete de bienes, su precio debe ser inasequible . La no saciedad local implica además:
Para ver por qué, imagínense eso pero . Entonces, mediante la no saciedad local, podríamos encontrar un nivel arbitrariamente cercano (y, por lo tanto, todavía asequible), pero estrictamente preferible a . Pero es el resultado de la maximización de preferencias, por lo que esto es una contradicción.
Una asignación es un par donde y , es decir, es la 'matriz' (que permite filas/columnas potencialmente infinitas) cuya i- ésima columna es el conjunto de bienes asignados al consumidor i y es la 'matriz' cuya j -ésima columna es la producción de la empresa. j . Restringimos nuestra atención a las asignaciones factibles, que son aquellas en las que ningún consumidor vende ni ningún productor consume bienes de los que carece, es decir, para cada bien y cada consumidor la dotación inicial de los consumidores más su demanda neta debe ser positiva de manera similar para los productores.
Consideremos ahora una asignación que domina Pareto . Esto significa que para todos i y para algunos i . Por lo anterior, sabemos para todo i y para algunos i . Resumiendo encontramos:
Porque lo que se maximiza son las ganancias, lo sabemos . Pero los bienes deben conservarse así . Por tanto, no es factible. Dado que no todas las asignaciones dominantes de Pareto son factibles, ésta debe ser en sí misma óptima de Pareto. [38]
Tenga en cuenta que, si bien el hecho de que se maximizan las ganancias simplemente se asume en el enunciado del teorema, el resultado solo es útil/interesante en la medida en que sea posible dicha asignación de producción que maximice las ganancias. Afortunadamente, para cualquier restricción de la asignación de producción y el precio a un subconjunto cerrado en el que el precio marginal está acotado desde 0, por ejemplo, cualquier elección razonable de funciones continuas para parametrizar posibles producciones, ese máximo existe. Esto se deriva del hecho de que el precio marginal mínimo y la riqueza finita limitan la producción máxima factible (0 limita el mínimo) y el teorema de Tychonoff garantiza que el producto de estos espacios compactos sea compacto, lo que nos garantiza un máximo de cualquier función continua que deseemos.
El segundo teorema establece formalmente que, bajo los supuestos de que todo conjunto de producción es convexo y toda relación de preferencia es convexa y localmente no saciada , cualquier asignación Pareto-eficiente deseada puede sustentarse como un cuasiequilibrio de precios con transferencias. [38] Se necesitan más supuestos para probar esta afirmación para equilibrios de precios con transferencias.
La prueba se desarrolla en dos pasos: primero, demostramos que cualquier asignación Pareto-eficiente puede sustentarse como un cuasiequilibrio de precios con transferencias; entonces, damos condiciones bajo las cuales un cuasiequilibrio de precios es también un equilibrio de precios.
Definamos un cuasiequilibrio de precios con transferencias como una asignación , un vector de precios p y un vector de niveles de riqueza w (logrados mediante transferencias de suma global) con (donde es la dotación agregada de bienes y es la producción de la empresa j ) tal que:
La única diferencia entre esta definición y la definición estándar de equilibrio de precios con transferencias está en el enunciado ( ii ). La desigualdad es débil aquí ( ), lo que la convierte en un cuasi equilibrio de precios. Posteriormente lo fortaleceremos para lograr un equilibrio de precios. [38] Definir como el conjunto de todos los paquetes de consumo estrictamente preferidos por el consumidor i , y sea V la suma de todos . es convexo debido a la convexidad de la relación de preferencia . V es convexo porque cada es convexo. De manera similar , la unión de todos los conjuntos de producción más la dotación agregada es convexa porque cada uno es convexo. También sabemos que la intersección de V y debe estar vacía, porque si no lo estuviera implicaría que existe un paquete estrictamente preferido por todos y que además es asequible. Esto está descartado por el óptimo de Pareto de .
Estos dos conjuntos convexos que no se cruzan nos permiten aplicar el teorema del hiperplano de separación . Este teorema establece que existe un vector de precios y un número r tal que para cada y para cada . En otras palabras, existe un vector de precios que define un hiperplano que separa perfectamente los dos conjuntos convexos.
A continuación argumentamos que si para todo i entonces . Esto se debe a la falta de saciedad local: debe haber un paquete arbitrariamente cercano a que sea estrictamente preferido y, por lo tanto, parte de , entonces . Tomar el límite como no cambia la desigualdad débil, también lo es. En otras palabras, está en el cierre de V .
Usando esta relación lo vemos por sí mismo . Eso también lo sabemos , también . Combinando estos encontramos que . Podemos utilizar esta ecuación para demostrar que se ajusta a la definición de cuasiequilibrio de precios con transferencias.
Porque y sabemos que para cualquier empresa j:
lo que implica . De manera similar sabemos:
lo que implica . Estas dos afirmaciones, junto con la viabilidad de la asignación en el óptimo de Pareto, satisfacen las tres condiciones para un cuasiequilibrio de precios con transferencias respaldadas por niveles de riqueza para todo i .
Pasamos ahora a las condiciones bajo las cuales un cuasiequilibrio de precios es también un equilibrio de precios; en otras palabras, condiciones bajo las cuales el enunciado "si entonces " implica "si entonces ". Para que esto sea cierto debemos suponer ahora que el conjunto de consumo es convexo y que la relación de preferencia es continua . Entonces, si existe un vector de consumo tal que y , un cuasiequilibrio de precios es un equilibrio de precios.
Para ver por qué, supongamos lo contrario y y existe. Entonces por la convexidad de tenemos un paquete con . Por la continuidad de cerca de 1 tenemos . Esto es una contradicción, porque este paquete es preferido y cuesta menos que .
Por lo tanto, para que los cuasiequilibrios de precios sean equilibrios de precios es suficiente que el conjunto de consumo sea convexo, que la relación de preferencia sea continua y que siempre exista una cesta de consumo "más barata" . Una forma de garantizar la existencia de dicha cesta es exigir que los niveles de riqueza sean estrictamente positivos para todos los consumidores i . [38]
