En matemáticas , dos teoremas de Prüfer , llamados así en honor a Heinz Prüfer , describen la estructura de ciertos grupos abelianos infinitos . Fueron generalizados por L. Ya. Kulikov.
Sea A un grupo abeliano. Si A es finitamente generado , entonces, por el teorema fundamental de los grupos abelianos finitamente generados , A es descomponible en una suma directa de subgrupos cíclicos , lo que conduce a la clasificación de los grupos abelianos finitamente generados hasta el isomorfismo . La estructura de los grupos abelianos infinitos generales puede ser considerablemente más complicada y la conclusión no tiene por qué ser válida, pero Prüfer demostró que sigue siendo cierta para los grupos periódicos en dos casos especiales.
El primer teorema de Prüfer establece que un grupo abeliano de exponente acotado es isomorfo a una suma directa de grupos cíclicos. El segundo teorema de Prüfer establece que un p -grupo abeliano numerable cuyos elementos no triviales tienen una altura p finita es isomorfo a una suma directa de grupos cíclicos. Los ejemplos muestran que no se puede eliminar el supuesto de que el grupo sea numerable.
Los dos teoremas de Prüfer se derivan de un criterio general de descomponibilidad de un grupo abeliano en una suma directa de subgrupos cíclicos debido a L. Ya. Kulikov:
Un p -grupo abeliano A es isomorfo a una suma directa de grupos cíclicos si y solo si es una unión de una secuencia { A i } de subgrupos con la propiedad de que las alturas de todos los elementos de A i están limitadas por una constante (posiblemente dependiendo de i ).