Pelota (matemáticas)

En matemáticas , una bola es la figura sólida limitada por una esfera ; también se le llama esfera sólida . ^[1] Puede ser una bola cerrada (incluyendo los puntos límites que constituyen la esfera) o una bola abierta (excluidos ellos).

Estos conceptos se definen no sólo en el espacio euclidiano tridimensional , sino también para dimensiones inferiores y superiores, y para espacios métricos en general. Una bola en $n$ dimensiones se llama hiperbola o $n$ -bola y está limitada por una hiperesfera o ( $n -1$ )-esfera . Así, por ejemplo, una bola en el plano euclidiano es lo mismo que un disco , el área limitada por un círculo . En el espacio euclidiano tridimensional , se considera bola al volumen limitado por una esfera bidimensional . En un espacio unidimensional , una bola es un segmento de línea .

En otros contextos, como en la geometría euclidiana y en el uso informal, la esfera se utiliza a veces para significar bola . En el campo de la topología, la bola de dimensión cerrada se suele denotar como o mientras que la bola de dimensión abierta es o . ${\estilo de visualización n}$ $Estilo de visualización B^{n}}$ $Estilo de visualización D^{n}}$ ${\estilo de visualización n}$ $\nombreoperador {int} B^{n}$ $\nombreoperador {int} D^{n}$

En el espacio euclidiano

$En el espacio n$ euclidiano , una esfera $n$ (abierta) de radio $r$ y centro $x$ es el conjunto de todos los puntos cuya distancia desde $x es menor que$ $r$ . Una esfera $n$ cerrada de radio $r$ es el conjunto de todos los puntos cuya distancia desde $x$ es menor o igual que $r$ .

$En el espacio n$ euclidiano , cada esfera está limitada por una hiperesfera . La esfera es un intervalo limitado cuando $n = 1$ , es un disco limitado por un círculo cuando $n = 2$ y está limitada por una esfera cuando $n = 3$ .

Volumen

El volumen $n -dimensional de una bola euclidiana de radio$ $r$ en un espacio euclidiano $n$ ^{-dimensional es: [2]} donde $Γ$ es la función gamma de Leonhard Euler (que puede considerarse como una extensión de la función factorial a argumentos fraccionarios). El uso de fórmulas explícitas para valores particulares de la función gamma en los números enteros y semienteros proporciona fórmulas para el volumen de una bola euclidiana que no requieren una evaluación de la función gamma. Estas son: $V_{n}(r)={\frac {\pi ^{\frac {n}{2}}}{\Gamma \left({\frac {n}{2}}+1\right)}}r^{n},$ ${\begin{aligned}V_{2k}(r)&={\frac {\pi ^{k}}{k!}}r^{2k}\,,\\[2pt]V_{2k+1}(r)&={\frac {2^{k+1}\pi ^{k}}{\left(2k+1\right)!!}}r^{2k+1}={\frac {2\left(k!\right)\left(4\pi \right)^{k}}{\left(2k+1\right)!}}r^{2k+1}\,.\end{aligned}}$

En la fórmula para volúmenes de dimensión impar, el factorial doble $(2 k + 1)!!$ se define para números enteros impares $2 k + 1$ como $(2 k + 1)!! = 1 \cdot 3 \cdot 5 \cdot \dots \cdot (2 k - 1) \cdot (2 k + 1)$ .

En espacios métricos generales

Sea $(M, d)$ un espacio métrico , es decir, un conjunto $M$ con una métrica (función de distancia) $d$ , y sea ⁠ ⁠ ${\estilo de visualización r}$ un número real positivo. La bola abierta (métrica) de radio $r$ centrada en un punto $p$ en $M$ , usualmente denotada por $B r (p)$ o $B (p; r)$ , se define de la misma manera que una bola euclidiana, como el conjunto de puntos en $M$ de distancia menor que $r$ de $p$ , $B_{r}(p)=\{x\in M\mid d(x,p)<r\}.$

La bola cerrada (métrica), a veces denotada $B r [p]$ o $B [p; r]$ , se define asimismo como el conjunto de puntos de distancia menor o igual a $r$ desde $p$ , $B_{r}[p]=\{x\in M\mid d(x,p)\leq r\}.$

En particular, una bola (abierta o cerrada) siempre incluye a $p$ , ya que la definición requiere que $r > 0.$ Una bola unitaria (abierta o cerrada) es una bola de radio 1.

Una bola en un espacio métrico general no necesita ser redonda. Por ejemplo, una bola en un espacio de coordenadas reales bajo la distancia de Chebyshev es un hipercubo , y una bola bajo la distancia de taxi es un politopo cruzado . Una bola cerrada tampoco necesita ser compacta . Por ejemplo, una bola cerrada en cualquier espacio vectorial normado de dimensión infinita nunca es compacta. Sin embargo, una bola en un espacio vectorial siempre será convexa como consecuencia de la desigualdad del triángulo.

Un subconjunto de un espacio métrico está acotado si está contenido en alguna bola. Un conjunto está totalmente acotado si, dado un radio positivo, está cubierto por un número finito de bolas de ese radio.

Las bolas abiertas de un espacio métrico pueden servir de base , dando a este espacio una topología cuyos conjuntos abiertos son todas las uniones posibles de bolas abiertas. Esta topología en un espacio métrico se denomina topología inducida por la métrica $d$ .

Sea denotado el cierre de la bola abierta en esta topología. Si bien siempre es el caso que no siempre es el caso que Por ejemplo, en un espacio métrico con la métrica discreta , uno tiene pero para cualquier ${\overline {B_{r}(p)}}$ $Estilo de visualización B_{r}(p)$ $B_{r}(p)\subseteq {\overline {B_{r}(p)}}\subseteq B_{r}[p],$ ${\overline {B_{r}(p)}}=B_{r}[p].$ ${\estilo de visualización X}$ ${\overline {B_{1}(p)}}=\{p\}$ $Estilo de visualización B_{1}[p]=X$ $p\en X.$

En espacios vectoriales normados

Cualquier espacio vectorial normado $V$ con norma es también un espacio métrico con la métrica En tales espacios, una bola arbitraria de puntos alrededor de un punto con una distancia de menos de puede verse como una copia escalada (por ) y trasladada (por ) de una bola unitaria. Tales bolas "centradas" con se denotan con ${\estilo de visualización \|\cdot \|}$ $d(x,y)=\|xy\|.$ $Estilo de visualización B_{r}(y)}$ ${\estilo de visualización x}$ ${\estilo de visualización y}$ ${\estilo de visualización r}$ ${\estilo de visualización r}$ ${\estilo de visualización y}$ $estilo_de_visualización B_{1}(0).}$ $y=0$ $B(r).$

Las bolas euclidianas analizadas anteriormente son un ejemplo de bolas en un espacio vectorial normado.

pag-norma

En un espacio cartesiano $R n$ con la $p$ -norma $L p$ , es decir se eligen algunos y se define Entonces una bola abierta alrededor del origen con radio está dada por el conjunto Para $n$ $= 2$ , en un plano bidimensional , las "bolas" según la $L$ $1$ -norma (a menudo llamada métrica de taxi o de Manhattan ) están delimitadas por cuadrados con sus diagonales paralelas a los ejes de coordenadas; las de acuerdo con la $L$ $\infty$ -norma, también llamada métrica de Chebyshev , tienen cuadrados con sus lados paralelos a los ejes de coordenadas como sus límites. La $L$ $2$ -norma, conocida como métrica euclidiana, genera los conocidos discos dentro de círculos, y para otros valores de $p$ , las bolas correspondientes son áreas delimitadas por curvas de Lamé (hipoelipses o hiperelipses). $p\geq 1$ $\left\|x\right\|_{p}=\left(|x_{1}|^{p}+|x_{2}|^{p}+\puntos +|x_{n}|^{p}\right)^{1/p},$ ${\estilo de visualización r}$ $B(r)=\left\{x\in \mathbb {R} ^{n}\,:\left\|x\right\|_{p}=\left(|x_{1}|^{p}+|x_{2}|^{p}+\dots +|x_{n}|^{p}\right)^{1/p}<r\right\}.$ $\mathbb {R} ^{2}$

Para $n = 3$ , las $L 1$ - bolas están dentro de octaedros con diagonales de cuerpo alineadas con los ejes , las $L \infty$ - bolas están dentro de cubos con bordes alineados con los ejes y los límites de las bolas para $L p$ con $p > 2$ son superelipsoides . $p = 2$ genera el interior de las esferas habituales.

A menudo también se puede considerar el caso en cuyo caso definimos $p=\infty$ $\lVert x\rVert _{\infty }=\max\{\left|x_{1}\right|,\dots ,\left|x_{n}\right|\}$

Norma convexa general

De manera más general, dado cualquier subconjunto $X$ centralmente simétrico , acotado , abierto y convexo de $R$ $n$ , se puede definir una norma en $R$ $n$ donde las bolas son todas copias trasladadas y escaladas uniformemente de $X$ . Nótese que este teorema no se cumple si el subconjunto "abierto" se reemplaza por un subconjunto "cerrado", porque el punto de origen califica pero no define una norma en $R$ $n$ .

En espacios topológicos

Se puede hablar de bolas en cualquier espacio topológico $X$ , no necesariamente inducido por una métrica. Una bola topológica $n$ -dimensional (abierta o cerrada) de $X$ es cualquier subconjunto de $X$ que sea homeomorfo a una bola $n$ euclidiana (abierta o cerrada) . Las bolas topológicas $n$ son importantes en la topología combinatoria , como los bloques de construcción de los complejos celulares .

Cualquier $n$ -bola topológica abierta es homeomorfa al espacio cartesiano $R n$ y al n -cubo unitario abierto (hipercubo) $(0, 1) n \subseteq R n$ . Cualquier $n$ -bola topológica cerrada es homeomorfa al $n$ -cubo cerrado $[0, 1] n$ .

Una bola $n$ es homeomorfa a una bola $m$ si y solo si $n = m$ . Los homeomorfismos entre una bola $n abierta$ $B$ y $R n$ se pueden clasificar en dos clases, que se pueden identificar con las dos posibles orientaciones topológicas de $B$ .

$Una n$ -bola topológica no necesita ser lisa ; si es lisa, no necesita ser difeomórfica a una $n$ -bola euclidiana.

Regiones

Se pueden definir varias regiones especiales para una pelota:

tapa , delimitada por un plano
sector , delimitado por un límite cónico con vértice en el centro de la esfera
segmento , delimitado por un par de planos paralelos
concha , delimitada por dos esferas concéntricas de radios diferentes
Cuña , limitada por dos planos que pasan por el centro de una esfera y la superficie de la esfera.

Véase también

Pelota – significado ordinario
Disco (matemáticas)
Bola formal , una extensión de los radios negativos
Barrio (matemáticas)
Esfera , una forma geométrica similar
3-esfera
$n$ -esfera , o hiperesfera
Esfera con cuernos de Alejandro
Colector
Volumen de una bola $n$
Octaedro : un sistema de 3 bolas en la métrica $l 1$ .

Referencias

^ Sūgakkai, Nihon (1993). Diccionario enciclopédico de matemáticas. MIT Press . ISBN 9780262590204.
^ Ecuación 5.19.4, Biblioteca digital de funciones matemáticas del NIST . [1] Versión 1.0.6 del 6 de mayo de 2013.

Smith, DJ; Vamanamurthy, MK (1989). "¿Qué tan pequeña es una bola unitaria?". Revista de Matemáticas . 62 (2): 101–107. doi :10.1080/0025570x.1989.11977419. JSTOR 2690391.
Dowker, JS (1996). "Condiciones de Robin en la bola euclidiana". Gravedad clásica y cuántica . 13 (4): 585–610. arXiv : hep-th/9506042 . Código Bibliográfico :1996CQGra..13..585D. doi :10.1088/0264-9381/13/4/003. S2CID 119438515.
Gruber, Peter M. (1982). "Isometrías del espacio de cuerpos convexos contenidos en una esfera euclidiana". Revista israelí de matemáticas . 42 (4): 277–283. doi :10.1007/BF02761407. S2CID 119483499.