Polarización (álgebra de Lie)

En teoría de representaciones , la polarización es el subespacio totalmente isótropo máximo de una determinada forma bilineal antisimétrica en un álgebra de Lie . La noción de polarización juega un papel importante en la construcción de representaciones unitarias irreducibles de algunas clases de grupos de Lie mediante el método de la órbita ^[1], así como en el análisis armónico de los grupos de Lie y la física matemática .

Definición

Sea un grupo de Lie, el álgebra de Lie correspondiente y su dual . Sea el valor de la forma lineal (covector) en un vector . La subálgebra del álgebra se llama subordinada de si se cumple la condición ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}^{*}}$ ${\displaystyle \langle f,\,X\rangle }$ ${\displaystyle f\in {\mathfrak {g}}^{*}}$ ${\displaystyle X\in {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle f\in {\mathfrak {g}}^{*}}$

${\displaystyle \forall X,Y\in {\mathfrak {h}}\ \langle f,\,[X,\,Y]\rangle =0}$,

o, alternativamente,

${\displaystyle \langle f,\,[{\mathfrak {h}},\,{\mathfrak {h}}]\rangle =0}$

se satisface. Además, sea que el grupo actúe sobre el espacio mediante la representación coadjunta . Sea la órbita de dicha acción que pasa por el punto y sea el álgebra de Lie del estabilizador del punto . Una subálgebra subordinada de se denomina polarización del álgebra con respecto a , o, más concisamente, polarización del covector , si tiene la máxima dimensionalidad posible, es decir ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}^{*}}$ ${\displaystyle \mathrm {Ad} ^{*}}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{f}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}^{f}}$ ${\displaystyle \mathrm {Stab} (f)}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle {\mathfrak {h}}\subset {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f}$

${\displaystyle \dim {\mathfrak {h}}={\frac {1}{2}}\left(\dim \,{\mathfrak {g}}+\dim \,{\mathfrak {g}}^{f}\right)=\dim \,{\mathfrak {g}}-{\frac {1}{2}}\dim \,{\mathcal {O}}_{f}}$.

Condición de Pukanszky

La siguiente condición fue obtenida por L. Pukanszky : ^[2]

Sea la polarización del álgebra con respecto al covector y su aniquilador : . Se dice que la polarización satisface la condición de Pukanszky si ${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle {\mathfrak {h}}^{\perp }}$ ${\displaystyle {\mathfrak {h}}^{\perp }:=\{\lambda \in {\mathfrak {g}}^{*}|\langle \lambda ,\,{\mathfrak {h}}\rangle =0\}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$

${\displaystyle f+{\mathfrak {h}}^{\perp }\in {\mathcal {O}}_{f}.}$

L. Pukanszky ha demostrado que esta condición garantiza la aplicabilidad del método de la órbita de Kirillov construido inicialmente para grupos nilpotentes también al caso más general de grupos resolubles . ^[3]

Propiedades

• La polarización es el subespacio totalmente isótropo máximo de la forma bilineal en el álgebra de Lie . ^[4] ${\displaystyle \langle f,\,[\cdot ,\,\cdot ]\rangle }$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$
• Para algunos pares puede que no exista polarización. ^[4] ${\displaystyle ({\mathfrak {g}},\,f)}$
• Si la polarización existe para el covector , entonces existe también para cada punto de la órbita, y si es la polarización para , entonces es la polarización para . Por lo tanto, la existencia de la polarización es propiedad de la órbita en su conjunto. ^[4] ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{f}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \mathrm {Ad} _{g}{\mathfrak {h}}}$ ${\displaystyle \mathrm {Ad} _{g}^{*}f}$
• Si el álgebra de Lie es completamente resoluble , admite la polarización para cualquier punto . ^[5] ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle f\in {\mathfrak {g}}^{*}}$
• Si es la órbita de posición general (es decir, tiene dimensionalidad máxima), para cada punto existe polarización resoluble. ^[5] ${\displaystyle {\mathcal {O}}}$ ${\displaystyle f\in {\mathcal {O}}}$

Referencias

1. Corwin, Lawrence; GreenLeaf, Frederick P. (25 de enero de 1981). "Subálgebras polarizadoras que varían racionalmente en álgebras de Lie nilpotentes". Actas de la American Mathematical Society . 81 (1). Berlín: American Mathematical Society: 27–32. doi : 10.2307/2043981 . ISSN  1088-6826. Zbl  0477.17001.
2. Dixmier, Jacques; Duflo, Michel; Hajnal, Andras; Kadison, Richard; Korányi, Adam; Rosenberg, Jonathan; Vergne, Michele (abril de 1998). "Lajos Pukánszky (1928 – 1996)" (PDF) . Avisos de la American Mathematical Society . 45 (4). American Mathematical Society: 492–499. ISSN  1088-9477.
3. Pukanszky, Lajos (marzo de 1967). "Sobre la teoría de grupos exponenciales" (PDF) . Transactions of the American Mathematical Society . 126 . American Mathematical Society: 487–507. doi : 10.1090/S0002-9947-1967-0209403-7 . ISSN  1088-6850. MR  0209403. Zbl  0207.33605.
4. Kirillov, AA (1976) [1972], Elementos de la teoría de las representaciones , Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, vol. 220, Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-07476-4, Sr.  0412321
5. Dixmier, Jacques (1996) [1974], Álgebras envolventes, Estudios de posgrado en matemáticas , vol. 11, Providence, RI: American Mathematical Society , ISBN 978-0-8218-0560-2, Sr.  0498740