ecuación de poisson

Expresión frecuentemente encontrada en física matemática, generalización de la ecuación de Laplace.

Simeón Denis Poisson

La ecuación de Poisson es una ecuación diferencial parcial elíptica de amplia utilidad en física teórica . Por ejemplo, la solución de la ecuación de Poisson es el campo potencial causado por una distribución dada de carga eléctrica o densidad de masa; conociendo el campo potencial, se puede calcular el campo electrostático o gravitacional (de fuerza) correspondiente. Es una generalización de la ecuación de Laplace , que también se ve con frecuencia en física. La ecuación recibe su nombre del matemático y físico francés Siméon Denis Poisson, quien la publicó en 1823. ^{[1] [2]}

Enunciado de la ecuación

La ecuación de Poisson es donde es el operador de Laplace , y y son funciones reales o complejas en una variedad . Por lo general, se da y se busca . Cuando la variedad es el espacio euclidiano , el operador de Laplace se denota a menudo como ∇ ² , por lo que la ecuación de Poisson se escribe con frecuencia como $${\displaystyle \Delta \varphi =f,}$$ ${\displaystyle \Delta }$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \varphi }$ $${\displaystyle \nabla ^{2}\varphi =f.}$$

En coordenadas cartesianas tridimensionales , toma la forma $${\displaystyle \left({\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial z^{2}}}\right)\varphi (x,y,z)=f(x,y,z).}$$

Cuando de manera idéntica, obtenemos la ecuación de Laplace . ${\displaystyle f=0}$

La ecuación de Poisson se puede resolver utilizando una función de Green : donde la integral es para todo el espacio. En el artículo sobre la ecuación de Poisson filtrada se ofrece una exposición general de la función de Green para la ecuación de Poisson . Existen varios métodos para la solución numérica, como el método de relajación , un algoritmo iterativo. $${\displaystyle \varphi (\mathbf {r} )=-\iiint {\frac {f(\mathbf {r} ')}{4\pi |\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}\,\mathrm {d} ^{3}r',}$$

Aplicaciones en Física e Ingeniería

Gravedad newtoniana

En el caso de un campo gravitatorio g debido a un objeto masivo de densidad ρ que lo atrae , se puede utilizar la ley de gravedad de Gauss en forma diferencial para obtener la ecuación de Poisson correspondiente para la gravedad. La ley de gravedad de Gauss es $${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {g} =-4\pi G\rho .}$$

Dado que el campo gravitacional es conservativo (e irrotacional ), se puede expresar en términos de un potencial escalar ϕ : $${\displaystyle \mathbf {g} =-\nabla \phi .}$$

Sustituyendo esto en la ley de Gauss, obtenemos la ecuación de Poisson para la gravedad: $${\displaystyle \nabla \cdot (-\nabla \phi )=-4\pi G\rho ,}$$ $${\displaystyle \nabla ^{2}\phi =4\pi G\rho .}$$

Si la densidad de masa es cero, la ecuación de Poisson se reduce a la ecuación de Laplace. La función de Green correspondiente se puede utilizar para calcular el potencial a una distancia r de un punto central de masa m (es decir, la solución fundamental ). En tres dimensiones, el potencial es que es equivalente a la ley de gravitación universal de Newton . $${\displaystyle \phi (r)={\frac {-Gm}{r}},}$$

Electrostática

Muchos problemas en electrostática están regidos por la ecuación de Poisson, que relaciona el potencial eléctrico φ con la densidad de carga libre , como las que se encuentran en los conductores . ${\displaystyle \rho _{f}}$

Los detalles matemáticos de la ecuación de Poisson, comúnmente expresadas en unidades del SI (a diferencia de las unidades gaussianas ), describen cómo la distribución de cargas libres genera el potencial electrostático en una región dada (matemáticas) .

Comenzando con la ley de Gauss para la electricidad (también una de las ecuaciones de Maxwell ) en forma diferencial, se tiene donde es el operador de divergencia , D es el campo de desplazamiento eléctrico y ρ _f es la densidad de carga libre (que describe las cargas traídas desde el exterior). $${\displaystyle \mathbf {\nabla } \cdot \mathbf {D} =\rho _{f},}$$ ${\displaystyle \mathbf {\nabla } \cdot }$

Suponiendo que el medio es lineal, isótropo y homogéneo (ver densidad de polarización ), tenemos la ecuación constitutiva donde ε es la permitividad del medio y E es el campo eléctrico . $${\displaystyle \mathbf {D} =\varepsilon \mathbf {E} ,}$$

Sustituyendo esto en la ley de Gauss y asumiendo que ε es espacialmente constante en la región de interés, obtenemos En electrostática, asumimos que no hay campo magnético (el argumento que sigue también se cumple en presencia de un campo magnético constante). ^[3] Entonces, tenemos que donde ∇× es el operador rotacional . Esta ecuación significa que podemos escribir el campo eléctrico como el gradiente de una función escalar φ (llamada potencial eléctrico ), ya que el rotacional de cualquier gradiente es cero. Por lo tanto, podemos escribir donde se introduce el signo menos de modo que φ se identifica como la energía potencial eléctrica por unidad de carga. ^[4] $${\displaystyle \mathbf {\nabla } \cdot \mathbf {E} ={\frac {\rho _{f}}{\varepsilon }}.}$$ $${\displaystyle \nabla \times \mathbf {E} =0,}$$ $${\displaystyle \mathbf {E} =-\nabla \varphi ,}$$

La derivación de la ecuación de Poisson en estas circunstancias es sencilla. Sustituyendo el gradiente de potencial por el campo eléctrico, se obtiene directamente la ecuación de Poisson para la electrostática, que es $${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {E} =\nabla \cdot (-\nabla \varphi )=-\nabla ^{2}\varphi ={\frac {\rho _{f}}{\varepsilon }},}$$ $${\displaystyle \nabla ^{2}\varphi =-{\frac {\rho _{f}}{\varepsilon }}.}$$

Para especificar la ecuación de Poisson para el potencial es necesario conocer la distribución de densidad de carga. Si la densidad de carga es cero, se obtiene la ecuación de Laplace . Si la densidad de carga sigue una distribución de Boltzmann , se obtiene la ecuación de Poisson-Boltzmann . La ecuación de Poisson-Boltzmann desempeña un papel en el desarrollo de la teoría de Debye-Hückel de soluciones electrolíticas diluidas .

Utilizando una función de Green, el potencial a una distancia r de una carga puntual central Q (es decir, la solución fundamental ) es , que es la ley de Coulomb de la electrostática. (Por razones históricas, y a diferencia del modelo de gravedad anterior, el factor aparece aquí y no en la ley de Gauss). $${\displaystyle \varphi (r)={\frac {Q}{4\pi \varepsilon r}},}$$ ${\displaystyle 4\pi }$

La discusión anterior supone que el campo magnético no varía en el tiempo. La misma ecuación de Poisson surge incluso si varía en el tiempo, siempre que se utilice el calibre de Coulomb . En esta clase más general de casos, calcular φ ya no es suficiente para calcular E , ya que E también depende del potencial vectorial magnético A , que debe calcularse de forma independiente. Consulte la ecuación de Maxwell en la formulación de potencial para obtener más información sobre φ y A en las ecuaciones de Maxwell y cómo se obtiene una ecuación de Poisson adecuada en este caso.

Potencial de una densidad de carga gaussiana

Si existe una densidad de carga gaussiana esféricamente simétrica estática donde Q es la carga total, entonces la solución φ ( r ) de la ecuación de Poisson está dada por donde erf( x ) es la función de error . ^[5] $${\displaystyle \rho _{f}(r)={\frac {Q}{\sigma ^{3}{\sqrt {2\pi }}^{3}}}\,e^{-r^{2}/(2\sigma ^{2})},}$$ $${\displaystyle \nabla ^{2}\varphi =-{\frac {\rho _{f}}{\varepsilon }}}$$ $${\displaystyle \varphi (r)={\frac {1}{4\pi \varepsilon }}{\frac {Q}{r}}\operatorname {erf} \left({\frac {r}{{\sqrt {2}}\sigma }}\right),}$$

Esta solución se puede comprobar explícitamente evaluando ∇ ² φ .

Obsérvese que para r mucho mayor que σ , se acerca a la unidad, ^[6] y el potencial φ ( r ) se acerca al potencial de carga puntual , como cabría esperar. Además, la función de error se acerca a 1 extremadamente rápido a medida que aumenta su argumento; en la práctica, para r > 3 σ el error relativo es menor que una parte en mil. ^[6] ${\textstyle \operatorname {erf} (r/{\sqrt {2}}\sigma )}$ $${\displaystyle \varphi \approx {\frac {1}{4\pi \varepsilon }}{\frac {Q}{r}},}$$

Reconstrucción de superficies

La reconstrucción de superficies es un problema inverso . El objetivo es reconstruir digitalmente una superficie lisa a partir de una gran cantidad de puntos p _i (una nube de puntos ) donde cada punto también lleva una estimación de la normal local de la superficie n _i . ^[7] La ​​ecuación de Poisson se puede utilizar para resolver este problema con una técnica llamada reconstrucción de superficies de Poisson. ^[8]

El objetivo de esta técnica es reconstruir una función implícita f cuyo valor sea cero en los puntos p _i y cuyo gradiente en los puntos p _i sea igual a los vectores normales n _i . El conjunto de ( p _i , n _i ) se modela así como un campo vectorial continuo V . La función implícita f se encuentra integrando el campo vectorial V . Como no todo campo vectorial es el gradiente de una función, el problema puede tener o no solución: la condición necesaria y suficiente para que un campo vectorial suave V sea el gradiente de una función f es que el rotacional de V debe ser idénticamente cero. En caso de que esta condición sea difícil de imponer, todavía es posible realizar un ajuste de mínimos cuadrados para minimizar la diferencia entre V y el gradiente de f .

Para aplicar eficazmente la ecuación de Poisson al problema de reconstrucción de superficies, es necesario encontrar una buena discretización del campo vectorial V . El enfoque básico es limitar los datos con una cuadrícula de diferencias finitas . Para una función valorada en los nodos de dicha cuadrícula, su gradiente se puede representar como valorada en cuadrículas escalonadas, es decir, en cuadrículas cuyos nodos se encuentran entre los nodos de la cuadrícula original. Es conveniente definir tres cuadrículas escalonadas, cada una desplazada en una y solo una dirección correspondiente a los componentes de los datos normales. En cada cuadrícula escalonada realizamos una interpolación trilineal en el conjunto de puntos. Los pesos de interpolación se utilizan luego para distribuir la magnitud del componente asociado de n _i en los nodos de la celda de la cuadrícula escalonada particular que contiene p _i . Kazhdan y coautores brindan un método más preciso de discretización utilizando una cuadrícula de diferencias finitas adaptativa, es decir, las celdas de la cuadrícula son más pequeñas (la cuadrícula está dividida más finamente) donde hay más puntos de datos. ^[8] Sugieren implementar esta técnica con un octree adaptativo .

Dinámica de fluidos

Para las ecuaciones incompresibles de Navier-Stokes , dadas por $${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial \mathbf {v} }{\partial t}}+(\mathbf {v} \cdot \nabla )\mathbf {v} &=-{\frac {1}{\rho }}\nabla p+\nu \Delta \mathbf {v} +\mathbf {g} ,\\\nabla \cdot \mathbf {v} &=0.\end{aligned}}}$$

La ecuación para el campo de presión es un ejemplo de una ecuación de Poisson no lineal: Observe que la traza anterior no es de signo definido. ${\displaystyle p}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}\Delta p&=-\rho \nabla \cdot (\mathbf {v} \cdot \nabla \mathbf {v} )\\&=-\rho \operatorname {Tr} {\big (}(\nabla \mathbf {v} )(\nabla \mathbf {v} ){\big )}.\end{aligned}}}$$

Véase también

• Portal de matemáticas
• Portal de física

• Ecuación de Poisson discreta
• Ecuación de Poisson-Boltzmann
• Ecuación de Helmholtz
• Teorema de unicidad de la ecuación de Poisson
• Formulación débil
• Función armónica
• Ecuación del calor
• Teoría del potencial

Referencias

1. Jackson, Julia A.; Mehl, James P.; Neuendorf, Klaus KE, eds. (2005), Glosario de geología, Instituto Geológico Americano, Springer, pág. 503, ISBN 9780922152766
2. Poison (1823). "Mémoire sur la théorie du magnétisme en mouvement" [Memoria sobre la teoría del magnetismo en movimiento]. Mémoires de l'Académie Royale des Sciences de l'Institut de France (en francés). 6 : 441–570.De la p. 463: "Por lo tanto, después de lo que precede, finalmente aguardamos: según que el punto M se sitúe fuera, en la superficie o en el interior del volumen que se esté considerando." (Así, según lo precedente, finalmente tendremos: según que el punto M se encuentre fuera, en la superficie o en el interior del volumen que se esté considerando.) V se define (p. 462) como donde, en el caso de la electrostática, la integral se realiza sobre el volumen del cuerpo cargado, las coordenadas de los puntos que están dentro o sobre el volumen del cuerpo cargado se denotan por , es una función dada de y en electrostática, sería una medida de la densidad de carga, y se define como la longitud de un radio que se extiende desde el punto M hasta un punto que se encuentra dentro o sobre el cuerpo cargado. Las coordenadas del punto M se denotan por y denota el valor de (la densidad de carga) en M . $${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}V}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}V}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}V}{\partial z^{2}}}=0,=-2k\pi ,=-4k\pi ,}$$ $${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}V}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}V}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}V}{\partial z^{2}}}=0,=-2k\pi ,=-4k\pi ,}$$ $${\displaystyle V=\iiint {\frac {k'}{\rho }}\,dx'\,dy'\,dz',}$$ ${\displaystyle (x',y',z')}$ ${\displaystyle k'}$ ${\displaystyle (x',y,'z')}$ ${\displaystyle k'}$ ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle (x,y,z)}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle k'}$
3. Griffiths, DJ (2017). Introducción a la electrodinámica (4.ª ed.). Cambridge University Press. págs. 77–78.
4. Griffiths, DJ (2017). Introducción a la electrodinámica (4.ª ed.). Cambridge University Press. págs. 83–84.
5. Salem, M.; Aldabbagh, O. (2024). "Solución numérica de la ecuación de Poisson para estimar propiedades electrostáticas resultantes de una distribución de densidad de carga gaussiana axialmente simétrica". Matemáticas . 12 (13): 1948. doi : 10.3390/math12131948 .
6. Oldham, KB; Myland, JC; Spanier, J. (2008). "La función de error erf(x) y su complemento erfc(x)". Atlas de funciones . Nueva York, NY: Springer. págs. 405–415. doi :10.1007/978-0-387-48807-3_41. ISBN . 978-0-387-48806-6.
7. Calakli, Fatih; Taubin, Gabriel (2011). "Reconstrucción de superficies de distancia con signo suave" (PDF) . Pacific Graphics . 30 (7).
8. Kazhdan, Michael; Bolitho, Matthew; Hoppe, Hugues (2006). "Reconstrucción de superficies de Poisson". Actas del cuarto simposio de Eurographics sobre procesamiento geométrico (SGP '06) . Asociación Eurographics, Aire-la-Ville, Suiza. págs. 61–70. ISBN 3-905673-36-3.

Lectura adicional

• Evans, Lawrence C. (1998). Ecuaciones diferenciales parciales . Providence (RI): Sociedad Americana de Matemáticas. ISBN 0-8218-0772-2.
• Mathews, Jon; Walker, Robert L. (1970). Métodos matemáticos de la física (2.ª ed.). Nueva York: WA Benjamin. ISBN 0-8053-7002-1.
• Polyanin, Andrei D. (2002). Manual de ecuaciones diferenciales parciales lineales para ingenieros y científicos . Boca Raton (FL): Chapman & Hall/CRC Press. ISBN 1-58488-299-9.

Enlaces externos

• "Ecuación de Poisson", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
• Ecuación de Poisson en EqWorld: El mundo de las ecuaciones matemáticas