Principio de Phragmén-Lindelöf

En análisis complejo , el principio (o método ) de Phragmén-Lindelöf, formulado por primera vez por Lars Edvard Phragmén (1863-1937) y Ernst Leonard Lindelöf (1870-1946) en 1908, es una técnica que emplea una función auxiliar parametrizada para demostrar la acotación de una función holomorfa (es decir, ) en un dominio no acotado cuando se da una condición adicional (normalmente leve) que restringe el crecimiento de en . Es una generalización del principio de módulo máximo , que solo es aplicable a dominios acotados. ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle |f(z)|<M\ \ (z\in \Omega )}$ ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle |f|}$ ${\displaystyle \Omega }$

Fondo

En la teoría de funciones complejas, se sabe que el módulo (valor absoluto) de una función holomorfa (compleja diferenciable) en el interior de una región acotada está acotado por su módulo en el límite de la región. Más precisamente, si una función no constante es holomorfa en una región acotada ^[1] y continua en su clausura , entonces para todo . Esto se conoce como el principio de módulo máximo. (De hecho, dado que es compacto y es continuo, en realidad existe alguno tal que ). El principio de módulo máximo se utiliza generalmente para concluir que una función holomorfa está acotada en una región después de demostrar que está acotada en su límite. ${\displaystyle f:\mathbb {C} \to \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle {\overline {\Omega }}=\Omega \cup \partial \Omega }$ ${\textstyle |f(z_{0})|<\sup _{z\in \partial \Omega }|f(z)|}$ ${\displaystyle z_{0}\in \Omega }$ ${\displaystyle {\overline {\Omega }}}$ ${\displaystyle |f|}$ ${\displaystyle w_{0}\in \partial \Omega }$ ${\textstyle |f(w_{0})|=\sup _{z\in \Omega }|f(z)|}$

Sin embargo, el principio del módulo máximo no se puede aplicar a una región ilimitada del plano complejo. Como ejemplo concreto, examinemos el comportamiento de la función holomorfa en la franja ilimitada ${\displaystyle f(z)=\exp(\exp(z))}$

${\displaystyle S=\left\{z:\Im (z)\in \left(-{\frac {\pi }{2}},{\frac {\pi }{2}}\right)\right\}}$.

Aunque , por lo que está acotado en el límite , crece rápidamente sin límite cuando se encuentra a lo largo del eje real positivo. La dificultad aquí surge del crecimiento extremadamente rápido de a lo largo del eje real positivo. Si se garantiza que la tasa de crecimiento de no sea "demasiado rápida", como lo especifica una condición de crecimiento adecuada, se puede aplicar el principio de Phragmén-Lindelöf para demostrar que la acotación de en el límite de la región implica que, de hecho, está acotado en toda la región, lo que extiende efectivamente el principio de módulo máximo a las regiones no acotadas. ${\displaystyle |f(x\pm \pi i/2)|=1}$ ${\displaystyle |f|}$ ${\displaystyle \partial S}$ ${\displaystyle |f|}$ ${\displaystyle |z|\to \infty }$ ${\displaystyle |f|}$ ${\displaystyle |f|}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f}$

Esquema de la técnica

Supongamos que se nos da una función holomorfa y una región no acotada , y queremos demostrar que en . En un argumento típico de Phragmén–Lindelöf, introducimos un cierto factor multiplicativo que satisface "dominar" el crecimiento de . En particular, se elige de modo que (i): es holomorfa para todos y en el límite de una subregión acotada apropiada ; y (ii): el comportamiento asintótico de nos permite establecer que para (es decir, la parte no acotada de fuera del cierre de la subregión acotada). Esto nos permite aplicar el principio de módulo máximo para concluir primero que en y luego extender la conclusión a todos los . Finalmente, dejamos de modo que para cada para concluir que en . ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle |f|\leq M}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle h_{\epsilon }}$ ${\textstyle \lim _{\epsilon \to 0}h_{\epsilon }=1}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle h_{\epsilon }}$ ${\displaystyle fh_{\epsilon }}$ ${\displaystyle \epsilon >0}$ ${\displaystyle |fh_{\epsilon }|\leq M}$ ${\displaystyle \partial S_{\mathrm {bdd} }}$ ${\displaystyle S_{\mathrm {bdd} }\subset S}$ ${\displaystyle fh_{\epsilon }}$ ${\displaystyle |fh_{\epsilon }|\leq M}$ ${\displaystyle z\in S\setminus {\overline {S_{\mathrm {bdd} }}}}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle |fh_{\epsilon }|\leq M}$ ${\displaystyle {\overline {S_{\mathrm {bdd} }}}}$ ${\displaystyle z\in S}$ ${\displaystyle \epsilon \to 0}$ ${\displaystyle f(z)h_{\epsilon }(z)\to f(z)}$ ${\displaystyle z\in S}$ ${\displaystyle |f|\leq M}$ ${\displaystyle S}$

En la literatura de análisis complejo, hay muchos ejemplos del principio de Phragmén-Lindelöf aplicado a regiones ilimitadas de diferentes tipos, y también se puede aplicar una versión de este principio de manera similar a funciones subarmónicas y superarmónicas.

Ejemplo de aplicación

Para continuar con el ejemplo anterior, podemos imponer una condición de crecimiento a una función holomorfa que le impida "explotar" y permita aplicar el principio de Phragmén-Lindelöf. Para ello, incluimos ahora la condición de que ${\displaystyle f}$

${\displaystyle |f(z)|<\exp \left(A\exp(c\cdot \left|\Re (z)\right|)\right)}$

para algunas constantes reales y , para todos . Se puede demostrar entonces que para todos implica que de hecho se cumple para todos . Por lo tanto, tenemos la siguiente proposición: ${\displaystyle c<1}$ ${\displaystyle A<\infty }$ ${\displaystyle z\in S}$ ${\displaystyle |f(z)|\leq 1}$ ${\displaystyle z\in \partial S}$ ${\displaystyle |f(z)|\leq 1}$ ${\displaystyle z\in S}$

Proposición. Sea

${\displaystyle S=\left\{z:\Im (z)\in \left(-{\frac {\pi }{2}},{\frac {\pi }{2}}\right)\right\},\quad {\overline {S}}=\left\{z:\Im (z)\in \left[-{\frac {\pi }{2}},{\frac {\pi }{2}}\right]\right\}.}$

Sea holomorfo en y continuo en , y supongamos que existen constantes reales tales que ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle {\overline {S}}}$ ${\displaystyle c<1,\ A<\infty }$

${\displaystyle |f(z)|<\exp {\bigl (}A\exp(c\cdot |\Re (z)|){\bigr )}}$

para todos y para todos . Luego para todos ${\displaystyle z\in S}$ ${\displaystyle |f(z)|\leq 1}$ ${\displaystyle z\in {\overline {S}}\setminus S=\partial S}$ ${\displaystyle |f(z)|\leq 1}$ ${\displaystyle z\in S}$ .

Obsérvese que esta conclusión falla cuando , tal como demuestra el contraejemplo motivador de la sección anterior. La prueba de esta afirmación emplea un argumento típico de Phragmén-Lindelöf: ^[2] ${\displaystyle c=1}$

Demostración: (Bosquejo) Fijamos y definimos para cada una la función auxiliar por . Además, para un dado , definimos como el rectángulo abierto en el plano complejo encerrado dentro de los vértices . Ahora, fijemos y consideremos la función . Porque se puede demostrar que para todo , se sigue que para . Además, se puede demostrar para que uniformemente como . Esto nos permite encontrar un tal que siempre que y . Ahora considere la región rectangular acotada . Hemos establecido que para todo . Por lo tanto, el principio de módulo máximo implica que para todo . Dado que también se cumple siempre que y , de hecho hemos demostrado que se cumple para todo . Finalmente, porque como , concluimos que para todo . QED ${\displaystyle b\in (c,1)}$ ${\displaystyle \epsilon >0}$ ${\displaystyle h_{\epsilon }}$ ${\textstyle h_{\epsilon }(z)=e^{-\epsilon (e^{bz}+e^{-bz})}}$ ${\displaystyle a>0}$ ${\displaystyle S_{a}}$ ${\displaystyle \{a\pm i\pi /2,-a\pm i\pi /2\}}$ ${\displaystyle \epsilon >0}$ ${\displaystyle fh_{\epsilon }}$ ${\displaystyle |h_{\epsilon }(z)|\leq 1}$ ${\displaystyle z\in {\overline {S}}}$ ${\displaystyle |f(z)h_{\epsilon }(z)|\leq 1}$ ${\displaystyle z\in \partial S}$ ${\displaystyle z\in {\overline {S}}}$ ${\displaystyle |f(z)h_{\epsilon }(z)|\to 0}$ ${\displaystyle |\Re (z)|\to \infty }$ ${\displaystyle x_{0}}$ ${\displaystyle |f(z)h_{\epsilon }(z)|\leq 1}$ ${\displaystyle z\in {\overline {S}}}$ ${\displaystyle |\Re (z)|\geq x_{0}}$ ${\displaystyle S_{x_{0}}}$ ${\displaystyle |f(z)h_{\epsilon }(z)|\leq 1}$ ${\displaystyle z\in \partial S_{x_{0}}}$ ${\displaystyle |f(z)h_{\epsilon }(z)|\leq 1}$ ${\displaystyle z\in {\overline {S_{x_{0}}}}}$ ${\displaystyle |f(z)h_{\epsilon }(z)|\leq 1}$ ${\displaystyle z\in S}$ ${\displaystyle |\Re (z)|>x_{0}}$ ${\displaystyle |f(z)h_{\epsilon }(z)|\leq 1}$ ${\displaystyle z\in S}$ ${\displaystyle fh_{\epsilon }\to f}$ ${\displaystyle \epsilon \to 0}$ ${\displaystyle |f(z)|\leq 1}$ ${\displaystyle z\in S}$

Principio de Phragmén-Lindelöf para un sector en el plano complejo

Una afirmación particularmente útil demostrada mediante el principio de Phragmén-Lindelöf limita las funciones holomorfas en un sector del plano complejo si está acotado en su borde. Esta afirmación puede utilizarse para dar una prueba analítica compleja del principio de incertidumbre de Hardy , que establece que una función y su transformada de Fourier no pueden decaer ambas más rápido que exponencialmente. ^[3]

Proposición. Sea una función holomorfa en un sector ${\displaystyle F}$

${\displaystyle S=\left\{z\,{\big |}\,\alpha <\arg z<\beta \right\}}$

de ángulo central y continua en su límite. Si ${\displaystyle \beta -\alpha =\pi /\lambda }$

para , y ${\displaystyle z\in \partial S}$

para todos , donde y , entonces se cumple también para todos . ${\displaystyle z\in S}$ ${\displaystyle \rho \in [0,\lambda )}$ ${\displaystyle C>0}$ ${\displaystyle |F(z)|\leq 1}$ ${\displaystyle z\in S}$

Observaciones

La condición ( 2 ) se puede relajar a

con la misma conclusión.

Casos especiales

En la práctica, el punto 0 se transforma a menudo en el punto ∞ de la esfera de Riemann . Esto da una versión del principio que se aplica a las franjas, por ejemplo, delimitadas por dos líneas de parte real constante en el plano complejo. Este caso especial se conoce a veces como teorema de Lindelöf .

El teorema de Carlson es una aplicación del principio a funciones acotadas en el eje imaginario.

Véase también

• Teorema de las tres líneas de Hadamard

Referencias

1. El término región no se emplea uniformemente en la literatura; aquí, se entiende por región un subconjunto abierto y conexo no vacío del plano complejo.
2. Rudin, Walter (1987). Análisis real y complejo. Nueva York: McGraw-Hill. pp. 257–259. ISBN 0070542341.
3. Tao, Terence (18 de febrero de 2009). "Principio de incertidumbre de Hardy". Actualizaciones sobre mis investigaciones y artículos expositivos, debates sobre problemas abiertos y otros temas relacionados con las matemáticas. Por Terence Tao .

• Phragmén, Lars Edvard; Lindelöf, Ernst (1908). "Sur una extensión de un principio clásico de análisis y de algunas propiedades de las funciones monogénicas en la voz de un punto singular". Acta Matemáticas . 31 (1): 381–406. doi : 10.1007/BF02415450 . ISSN  0001-5962.
• Riesz, Marcel (1920). "Sobre el príncipe de Phragmén-Lindelöf". Actas de la Sociedad Filosófica de Cambridge . 20 .(Corrección, vol. 21, 1921).
• Titchmarsh, Edward Charles (1976). La teoría de funciones (segunda edición). Oxford University Press. ISBN 0-19-853349-7.(Ver capítulo 5)
• ED Solomentsev (2001) [1994], "Teorema de Phragmén-Lindelöf", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press
• Stein, Elias M. ; Shakarchi, Rami (2003). Análisis complejo . Princeton Lectures in Analysis, II. Princeton, NJ: Princeton University Press. ISBN 0-691-11385-8.