Proyección quincuncial de Peirce del mundo. El ecuador rojo es un cuadrado cuyos vértices son los únicos cuatro puntos del mapa en los que la proyección no es conforme.La proyección quincuncial de Peirce con la indicatriz de deformación de Tissot .
La proyección quincuncial de Peirce es la proyección cartográfica conforme de la esfera a un diedro cuadrado desplegado , desarrollada por Charles Sanders Peirce en 1879. [1] Cada octante se proyecta sobre un triángulo rectángulo isósceles , y estos se disponen en un cuadrado. El nombre quincuncial se refiere a esta disposición: el polo norte en el centro y los cuartos del polo sur en las esquinas forman un patrón de quincuncio como los puntos en la cara cinco de un dado tradicional . La proyección tiene la propiedad distintiva de que forma un mosaico cuadrado sin costuras del plano, conforme excepto en cuatro puntos singulares a lo largo del ecuador.
La proyección se ha utilizado en fotografía digital para retratar panoramas esféricos .
Historia
La maduración del análisis complejo condujo a técnicas generales para el mapeo conforme , donde los puntos de una superficie plana se manejan como números en el plano complejo . Mientras trabajaba en el United States Coast and Geodetic Survey , el filósofo estadounidense Charles Sanders Peirce publicó su proyección en 1879, [2] habiéndose inspirado en la transformación conforme de HA Schwarz de 1869 de un círculo en un polígono de n lados (conocida como el mapeo de Schwarz-Christoffel). En el aspecto normal, la proyección de Peirce presenta el hemisferio norte en un cuadrado; el hemisferio sur se divide en cuatro triángulos isósceles que rodean simétricamente al primero, similar a las proyecciones en forma de estrella. En efecto, todo el mapa es un cuadrado, lo que inspiró a Peirce a llamar a su proyección quincuncial , en honor a la disposición de cinco elementos en un quincuncio .
Después de que Peirce presentó su proyección, otros dos cartógrafos desarrollaron proyecciones similares del hemisferio (o de toda la esfera, después de un reordenamiento adecuado) sobre un cuadrado: Guyou en 1887 y Adams en 1925. [3] Las tres proyecciones son versiones transversales entre sí (ver proyecciones relacionadas a continuación).
Descripción formal
La proyección quincuncial de Peirce se "forma transformando la proyección estereográfica con un polo en el infinito, por medio de una función elíptica". [4] La proyección quincuncial de Peirce es en realidad una proyección del hemisferio, pero sus propiedades de teselación (ver más abajo) permiten su uso para toda la esfera. La proyección proyecta el interior de un círculo sobre el interior de un cuadrado por medio de la proyección de Schwarz-Christoffel , de la siguiente manera: [3]
w es el punto mapeado en el plano como un número complejo ( w = x + iy ) ;
r es la proyección estereográfica con una escala de 1/2 en el centro.
Se puede utilizar una integral elíptica del primer tipo para resolver w . La notación de coma utilizada para sd( u , k ) significa que es el módulo para la razón de la función elíptica, a diferencia del parámetro [que se escribiría sd( u | m ) ] o la amplitud [que se escribiría sd( u \ α ) ]. La proyección tiene un factor de escala de 1/2 en el centro, como la proyección estereográfica generadora.
Una cuadrícula sobre el diedro cuadrado bajo la proyección quincuncial inversa de Peirce es conforme excepto en cuatro singularidades alrededor del ecuador. Cada línea de cuadrícula es una cónica esférica .
Según Peirce, su proyección tiene las siguientes propiedades (Peirce, 1879):
La esfera se presenta en un cuadrado.
La parte donde la exageración de la escala es el doble que en el centro es sólo el 9% del área de la esfera, frente al 13% de la proyección Mercator y el 50% de la proyección estereográfica.
La curvatura de las líneas que representan círculos máximos es, en todos los casos, muy leve en la mayor parte de su longitud.
Es conforme en todas partes, excepto en los cuatro vértices del hemisferio interior (es decir, los puntos medios de los bordes de la proyección), donde el ecuador y los cuatro meridianos cambian de dirección abruptamente (el ecuador está representado por un cuadrado). Estas son singularidades en las que la diferenciabilidad falla.
Se puede teselar en todas las direcciones.
Mapas quincunciales de Peirce en mosaico
Versión teselada del mapa quincuncial de Peirce
La proyección tesela el plano; es decir, las copias repetidas pueden cubrir completamente (mosaico) un área arbitraria, las características de cada copia coinciden exactamente con las de sus vecinas. (Véase el ejemplo a la derecha). Además, los cuatro triángulos del segundo hemisferio de la proyección quincuncial de Peirce pueden reorganizarse como otro cuadrado que se coloca junto al cuadrado que corresponde al primer hemisferio, lo que da como resultado un rectángulo con una relación de aspecto de 2:1; esta disposición es equivalente al aspecto transversal de la proyección de hemisferio en cuadrado de Guyou . [5]
Usos conocidos
Utilizando la proyección quincuncial de Peirce para presentar un panorama esférico.
Al igual que muchas otras proyecciones basadas en números complejos, la proyección quincuncial de Peirce rara vez se ha utilizado con fines geográficos. Uno de los pocos casos registrados es el de 1946, cuando se utilizó para el mapa mundial de rutas aéreas del Servicio Geodésico y Costero de Estados Unidos. [5]
Recientemente se ha utilizado para presentar panoramas esféricos con fines prácticos y estéticos, donde puede presentar la esfera completa con la mayoría de las áreas reconocibles. [6]
Proyecciones relacionadas
En el aspecto transversal , un hemisferio se convierte en la proyección del hemisferio en un cuadrado de Adams (el polo se coloca en la esquina del cuadrado). Sus cuatro singularidades están en el Polo Norte, el Polo Sur, en el ecuador a 25°O y en el ecuador a 155°E, en los océanos Ártico, Atlántico y Pacífico, y en la Antártida. [7] Ese gran círculo divide los tradicionales hemisferios occidental y oriental .
^ Proyección quincuncial de la esfera, de Charles Sanders Peirce . 1890. I. Frischauf. Comentarios sobre la proyección quincuncial de CS Peirce. (Trad., Comentarios sobre la proyección quincuncial de CS Peirce.) Tratado sobre proyecciones, de Thomas Craig . Imprenta del gobierno de EE. UU., 1882. pág. 132. Science, volumen 11. Moses King, 1900. pág. 186.
^ (Lee, 1976) da 1877 como el año en el que se concibió la proyección, citando "US Coast Survey Report for the Year Ending with June 1877", 191–192.
^ ab Lee, LP (1976). Proyecciones conformes basadas en funciones elípticas . Monografías de Cartographica . Vol. 16. Toronto: BV Gutsell, York University. Págs. 67-101. ISBN.0-919870-16-3.Suplemento No. 1 de El Cartógrafo Canadiense 13.
^ Peirce, CS (1879). "Una proyección quincuncial de la esfera". American Journal of Mathematics . 2 (4): 394–396. doi :10.2307/2369491. JSTOR 2369491.
^ ab Snyder, John P. (1989). Álbum de proyecciones cartográficas, documento profesional 1453 (PDF) . Servicio Geológico de Estados Unidos. págs. 190, 236.
^ German, Daniel; d'Angelo, Pablo; Gross, Michael; Postle, Bruno (junio de 2007). "Nuevos métodos para proyectar panoramas con fines prácticos y estéticos". Actas de Estética Computacional 2007. Banff: Eurographics. págs. 15–22.
^ ab Carlos A. Furuti. Proyecciones cartográficas: Proyecciones conformes.
Lectura adicional
"El mundo en una proyección quincuncial", de Peirce (1879) "Una proyección quincuncial de la esfera". American Journal of Mathematics , 2 (4): 394–397
Eisele, Carolyn (1963), "Charles S. Peirce y el problema de la proyección de mapas", Actas de la American Philosophical Society , 107 (4): 299–307, JSTOR 985673
Peirce, CS (1877/1879), "Apéndice n.º 15. Proyección quincuncial de la esfera", Informe del superintendente de la Inspección de la costa de los Estados Unidos que muestra el progreso de la inspección para el año fiscal que termina en junio de 1877 , págs. 191-194, seguido de 25 bocetos de progreso, incluida la ilustración (el mapa en sí). Informe completo presentado al Senado el 26 de diciembre de 1877 y publicado en 1880 (véase más abajo).
Artículo publicado por primera vez en diciembre de 1879, American Journal of Mathematics 2 (4): 394–397 (sin los bocetos excepto el mapa final), Google Books Eprint (la versión de Google del mapa está parcialmente estropeada), JSTOR Eprint, doi :10.2307/2369491. Versión AJM reimpresa en Writings of Charles S. Peirce 4 :68–71.
Artículo reimpreso en 1880, incluida la publicación de todos los bocetos, en el Informe completo , por la Oficina de Imprenta del Gobierno de EE. UU., Washington, DC NOAA PDF Eprint, el enlace va al artículo de Peirce en la página 191 del Informe , página 215 del PDF. El PDF de la NOAA carece de los bocetos y el mapa e incluye un enlace roto [ enlace muerto permanente ] a su ubicación en línea planificada, la Colección de mapas y cartas históricas de la NOAA, donde no parecen estar al 19/7/2010. Google Books Eprint (Google estropeó los bocetos y estropeó parcialmente la ilustración (el mapa en sí)). Nota: Otra edición de Google del Informe de la Encuesta Costera de 1877 omite por completo las páginas de bocetos, incluida la ilustración (el mapa).
Enlaces externos
Wikimedia Commons alberga una categoría multimedia sobre Proyección quincuncial de Peirce .
Una aplicación Java interactiva para estudiar las deformaciones métricas de la proyección de Peirce.
Más ejemplos de panoramas quincunciales de Peirce
Snyder, John P. (1989). Álbum de proyecciones cartográficas, documento profesional 1453 (PDF) . Servicio Geológico de Estados Unidos. Págs. 190, 236.Contiene historia, descripción y formulación más adecuada al cálculo.
