En matemáticas, física y arte, patrones muaré ( Reino Unido : / ˈ m w ɑː r eɪ / MWAR -ay , EE. UU .: / m w ɑː ˈ r eɪ / mwar- AY , [1] Francés: [mwaʁe] ⓘ ) ofranjas muaré[2]patrones de interferenciaa gran escalaque se pueden producir cuando un patrón rayado parcialmente opaco con espacios transparentes se superpone a otro patrón similar. Para que aparezca el patrón de interferencia muaré, los dos patrones no deben ser completamente idénticos, sino más bien desplazados, girados o tener un tono ligeramente diferente.
Los patrones muaré aparecen en muchas situaciones. Al imprimir, el patrón de puntos impreso puede interferir con la imagen. En televisión y fotografía digital, un patrón en un objeto que se está fotografiando puede interferir con la forma de los sensores de luz para generar artefactos no deseados. A veces también se crean deliberadamente: en micrómetros se utilizan para amplificar los efectos de movimientos muy pequeños.
En física, su manifestación es la interferencia de ondas como la que se observa en el experimento de la doble rendija y el fenómeno del latido en acústica .
El término tiene su origen en muaré ( moiré en su forma adjetival francesa), un tipo de textil , tradicionalmente elaborado con seda pero ahora también con algodón o fibra sintética , de aspecto ondulado o "regado". El muaré, o "textil regado", se fabrica presionando dos capas del tejido cuando está mojado. El espaciado similar pero imperfecto de los hilos crea un patrón característico que permanece después de que la tela se seca.
En francés, el sustantivo muaré se utiliza desde el siglo XVII para referirse a "seda regada". Fue un préstamo de mohair inglés (certificado en 1610). En el uso francés, el sustantivo dio origen al verbo muaré , "producir un tejido regado tejiendo o presionando", en el siglo XVIII. El adjetivo muaré formado a partir de este verbo se utiliza desde al menos 1823.
Los patrones muaré son a menudo un artefacto de imágenes producidas por diversas técnicas de imágenes digitales y gráficos por computadora , por ejemplo, cuando se escanea una imagen de medios tonos o se traza un plano cuadriculado (siendo este último un caso especial de aliasing , debido al submuestreo de un patrón regular fino). [3] Esto se puede superar en el mapeo de texturas mediante el uso de mipmapping y filtrado anisotrópico .
El dibujo de la parte superior derecha muestra un patrón muaré. Las líneas podrían representar fibras de seda muaré o líneas dibujadas en papel o en la pantalla de una computadora. La interacción no lineal de los patrones ópticos de las líneas crea un patrón real y visible de bandas oscuras y claras aproximadamente paralelas, el patrón muaré, superpuesto a las líneas. [4]
El efecto muaré también se produce entre objetos transparentes superpuestos. [5] Por ejemplo, una máscara de fase invisible está hecha de un polímero transparente con un perfil de espesor ondulado. A medida que la luz brilla a través de dos máscaras superpuestas de patrones de fase similares, se produce un patrón muaré amplio en una pantalla a cierta distancia. Este efecto muaré de fase y el efecto muaré clásico de líneas opacas son dos extremos de un espectro continuo que en óptica se llama efecto muaré universal. El efecto muaré de fase es la base de un tipo de interferómetro de banda ancha en aplicaciones de rayos X y ondas de partículas. También proporciona una manera de revelar patrones ocultos en capas invisibles.
La línea muaré es un tipo de patrón muaré; un patrón que aparece al superponer dos capas transparentes que contienen patrones opacos correlacionados. La línea muaré es el caso cuando los patrones superpuestos comprenden líneas rectas o curvas. Al mover los patrones de capas, los patrones muaré se transforman o se mueven a una velocidad más rápida. Este efecto se llama aceleración de muaré óptico.
Se crean patrones de líneas muaré más complejos si las líneas son curvas o no exactamente paralelas.
La forma muaré es un tipo de patrón muaré que demuestra el fenómeno de la ampliación del muaré. [6] [7] El muaré de forma 1D es el caso particular simplificado del muaré de forma 2D. Pueden aparecer patrones unidimensionales al superponer una capa opaca que contiene pequeñas líneas transparentes horizontales sobre una capa que contiene una forma compleja que se repite periódicamente a lo largo del eje vertical .
Los patrones muaré que revelan formas complejas, o secuencias de símbolos incrustados en una de las capas (en forma de formas comprimidas que se repiten periódicamente) se crean con muaré de formas, también llamados patrones muaré de bandas . Una de las propiedades más importantes del efecto muaré es su capacidad para ampliar formas diminutas a lo largo de uno o ambos ejes, es decir, estirarlas. Un ejemplo 2D común de ampliación de muaré se produce cuando se observa una cerca de tela metálica a través de una segunda cerca de tela metálica de diseño idéntico. La fina estructura del diseño es visible incluso a grandes distancias.
Considere dos patrones formados por líneas paralelas y equidistantes, por ejemplo, líneas verticales. El paso del primer patrón es p , el paso del segundo es p + δp , con 0 < δp < p .
Si las líneas de los patrones se superponen a la izquierda de la figura, el desplazamiento entre las líneas aumenta cuando se va hacia la derecha. Después de un número determinado de líneas, los patrones se oponen: las líneas del segundo patrón están entre las líneas del primer patrón. Si miramos desde lejos, tenemos la sensación de zonas pálidas cuando las líneas se superponen (hay blanco entre las líneas), y de zonas oscuras cuando las líneas se "oponen".
La mitad de la primera zona oscura es cuando el cambio es igual apag/2. La enésima línea del segundo patrón se desplaza n δp en comparación con la enésima línea de la primera red. El centro de la primera zona oscura corresponde así a
El principio del muaré es similar a la escala Vernier .
La esencia del efecto muaré es la percepción (principalmente visual) de un tercer patrón claramente diferente causado por la superposición inexacta de dos patrones similares. La representación matemática de estos patrones no se obtiene de manera trivial y puede parecer algo arbitraria. En esta sección daremos un ejemplo matemático de dos patrones paralelos cuya superposición forma un patrón muaré y mostraremos una forma (de muchas formas posibles) en que estos patrones y el efecto muaré se pueden representar matemáticamente.
La visibilidad de estos patrones depende del medio o sustrato en el que aparecen, y pueden ser opacos (como por ejemplo en papel) o transparentes (como por ejemplo en películas plásticas). Para fines de discusión, asumiremos que los dos patrones principales están impresos en tinta en escala de grises sobre una hoja blanca, donde la opacidad (por ejemplo, tono de gris) de la parte "impresa" viene dada por un valor entre 0 (blanco) y 1. (negro) inclusive, con1/2representando gris neutro. Cualquier valor menor que 0 o mayor que 1 usando esta escala de grises es esencialmente "no imprimible".
También elegiremos representar la opacidad del patrón resultante de imprimir un patrón encima de otro en un punto dado del papel como el promedio (es decir, la media aritmética) de la opacidad de cada patrón en esa posición, que es la mitad de su suma, y , tal como se calcula, no excede 1. (Esta elección no es única. Cualquier otro método para combinar las funciones que cumpla con mantener el valor de la función resultante dentro de los límites [0,1] también servirá; el promedio aritmético tiene la virtud de la simplicidad: con suerte, con un daño mínimo a los conceptos que uno tiene sobre el proceso de grabado.)
Ahora consideraremos la superposición "impresa" de dos patrones en escala de grises casi similares, que varían sinusoidalmente, para mostrar cómo producen un efecto muaré al imprimir primero un patrón en el papel y luego imprimir el otro patrón sobre el primero, manteniendo sus coordenadas. ejes en registro. Representamos la intensidad de gris en cada patrón mediante una función de opacidad positiva de la distancia a lo largo de una dirección fija (digamos, la coordenada x) en el plano del papel, en la forma
donde la presencia de 1 mantiene la función positiva definida y la división por 2 evita valores de función mayores que 1.
La cantidad k representa la variación periódica (es decir, la frecuencia espacial) de la intensidad gris del patrón, medida como el número de ciclos de intensidad por unidad de distancia. Dado que la función seno es cíclica sobre cambios de argumento de 2π , el incremento de distancia Δ x por ciclo de intensidad (la longitud de onda) se obtiene cuando k Δ x = 2π , o Δ x =2π/k.
Consideremos ahora dos de esos patrones, donde uno tiene una variación periódica ligeramente diferente del otro:
tal que k 1 ≈ k 2 .
El promedio de estas dos funciones, que representan la imagen impresa superpuesta, se evalúa de la siguiente manera (ver identidades inversas aquí: Prosthaphaeresis ):
donde se demuestra fácilmente que
y
Esta función promedio, f 3 , se encuentra claramente en el rango [0,1]. Dado que la variación periódica A es el promedio de k 1 y k 2 y, por lo tanto, cercano a ellos , el efecto muaré se demuestra distintivamente mediante la función de "latido" de la envolvente sinusoidal cos ( Bx ) , cuya variación periódica es la mitad de la diferencia de las variaciones periódicas k. 1 y k 2 (y evidentemente de frecuencia mucho menor).
Otros efectos muaré unidimensionales incluyen el clásico tono de frecuencia de ritmo que se escucha cuando dos notas puras de tono casi idéntico suenan simultáneamente. Esta es una versión acústica del efecto muaré en una dimensión del tiempo: las dos notas originales todavía están presentes, pero la percepción del oyente es de dos tonos que son el promedio y la mitad de la diferencia de las frecuencias de las dos notas. El alias en el muestreo de señales que varían en el tiempo también pertenece a este paradigma de muaré.
Considere dos patrones con el mismo paso p , pero el segundo patrón gira un ángulo α . Visto desde lejos, también podemos ver líneas más oscuras y más pálidas: las líneas pálidas corresponden a las líneas de nodos , es decir, líneas que pasan por las intersecciones de los dos patrones.
Si consideramos una celda de la red formada, podemos ver que es un rombo con los cuatro lados iguales a d =pag/pecado α; (tenemos un triángulo rectángulo cuya hipotenusa es d y el lado opuesto al ángulo α es p ).
Las líneas pálidas corresponden a la pequeña diagonal del rombo. Como las diagonales son las bisectrices de los lados vecinos, podemos ver que la línea pálida forma un ángulo igual aα/2con la perpendicular de la línea de cada patrón.
Además, el espacio entre dos líneas pálidas es D , la mitad de la diagonal larga. La diagonal larga 2 D es la hipotenusa de un triángulo rectángulo y los lados del ángulo recto son d (1 + cos α ) y p . El teorema de Pitágoras da:
Cuando α es muy pequeño ( α <π/6) se pueden hacer las siguientes aproximaciones de ángulo pequeño :
Podemos ver que cuanto más pequeño es α , más separadas están las líneas pálidas; cuando ambos patrones son paralelos ( α = 0 ), el espacio entre las líneas pálidas es infinito (no hay línea pálida).
Por tanto, hay dos formas de determinar α : por la orientación de las líneas pálidas y por su espaciado.
En artes gráficas y preimpresión , la tecnología habitual para imprimir imágenes a todo color pasa por la superposición de tramas de medios tonos . Se trata de patrones de puntos rectangulares regulares, a menudo cuatro, impresos en cian, amarillo, magenta y negro. Es inevitable algún tipo de patrón muaré, pero en circunstancias favorables el patrón es "estrecho"; es decir, la frecuencia espacial del muaré es tan alta que no se nota. En las artes gráficas, el término muaré significa un patrón muaré excesivamente visible . Parte del arte de preimpresión consiste en seleccionar ángulos de trama y frecuencias de medios tonos que minimicen el muaré. La visibilidad del muaré no es del todo predecible. El mismo conjunto de pantallas puede producir buenos resultados con algunas imágenes, pero muaré visible con otras.
Los patrones muaré se ven comúnmente en las pantallas de televisión cuando una persona usa una camisa o chaqueta de un tejido o patrón particular, como una chaqueta de pata de gallo . Esto se debe al escaneo entrelazado en televisores y cámaras que no son de película, conocido como twitter interlínea . A medida que la persona se mueve, el patrón muaré es bastante perceptible. Por este motivo, se recomienda a los presentadores de noticias y otros profesionales que aparecen habitualmente en televisión que eviten la vestimenta que pueda provocar el efecto.
Las fotografías de una pantalla de televisión tomadas con una cámara digital a menudo presentan patrones muaré. Dado que tanto la pantalla del televisor como la cámara digital utilizan una técnica de escaneo para producir o capturar imágenes con líneas de escaneo horizontales, los conjuntos de líneas en conflicto causan los patrones muaré. Para evitar el efecto, la cámara digital se puede apuntar en un ángulo de 30 grados con respecto a la pantalla del televisor.
El efecto muaré se utiliza en balizas costeras llamadas "marcas de guía Inogon" o "luces Inogon", fabricadas por Inogon Licens AB, Suecia, para designar la ruta de viaje más segura para los barcos que se dirigen a esclusas, puertos deportivos, puertos, etc., o a indicar peligros submarinos (como tuberías o cables). El efecto muaré crea flechas que apuntan hacia una línea imaginaria que marca el peligro o la línea de paso seguro; A medida que los navegantes pasan sobre la línea, las flechas de la baliza parecen convertirse en bandas verticales antes de volver a ser flechas que apuntan en la dirección inversa. [8] [9] [10] Un ejemplo se puede encontrar en el Reino Unido, en la costa este de Southampton Water , frente a la refinería de petróleo de Fawley ( 50°51′21.63″N 1°19′44.77″W / 50.8560083°N 1.3291028°W / 50.8560083; -1.3291028 ). [11] Se pueden utilizar balizas de efecto muaré similares para guiar a los navegantes hasta el punto central de un puente que se aproxima; cuando el buque está alineado con la línea central, se ven líneas verticales. Las luces Inogon se implementan en los aeropuertos para ayudar a los pilotos en tierra a mantenerse en la línea central mientras atracan en el puesto de estacionamiento. [12]
En las industrias manufactureras , estos patrones se utilizan para estudiar la deformación microscópica en materiales: deformando una rejilla con respecto a una rejilla de referencia y midiendo el patrón muaré, se pueden deducir los niveles y patrones de tensión. Esta técnica es atractiva porque la escala del patrón muaré es mucho mayor que la desviación que lo provoca, lo que facilita la medición.
El efecto muaré se puede utilizar en la medición de deformaciones : el operador sólo tiene que dibujar un patrón en el objeto y superponer el patrón de referencia al patrón deformado en el objeto deformado.
Se puede obtener un efecto similar superponiendo una imagen holográfica del objeto al objeto mismo: el holograma es el paso de referencia, y la diferencia con el objeto son las deformaciones, que aparecen como líneas pálidas y oscuras.
Algunos programas informáticos de escáner de imágenes proporcionan un filtro opcional , llamado filtro "destramado", para eliminar artefactos de patrón muaré que de otro modo se producirían al escanear imágenes impresas de medios tonos para producir imágenes digitales. [13]
Muchos billetes aprovechan la tendencia de los escáneres digitales a producir patrones muaré al incluir finos diseños circulares u ondulados que probablemente exhiban un patrón muaré cuando se escanean e imprimen. [14]
En microscopía de superresolución , el patrón muaré se puede utilizar para obtener imágenes con una resolución superior al límite de difracción, utilizando una técnica conocida como microscopía de iluminación estructurada . [2]
En la microscopía de efecto túnel , aparecen franjas de muaré si las capas atómicas superficiales tienen una estructura cristalina diferente a la del cristal en masa. Esto puede deberse, por ejemplo, a la reconstrucción de la superficie del cristal, o cuando hay una fina capa de un segundo cristal en la superficie, por ejemplo, grafeno de una sola capa, [15] [16] de doble capa , [17] o Van der Waals. heteroestructura de grafeno y hBN, [18] [19] o nanoestructuras de bismuto y antimonio . [20]
En microscopía electrónica de transmisión (TEM), las franjas de muaré traslacional se pueden ver como líneas de contraste paralelas formadas en imágenes TEM de contraste de fase por la interferencia de planos de red cristalina difractante que se superponen y que pueden tener diferentes espacios y/u orientación. [21] La mayoría de las observaciones de contraste muaré reportadas en la literatura se obtienen utilizando imágenes de contraste de fase de alta resolución en TEM. Sin embargo, si se utilizan imágenes de microscopía electrónica de transmisión de barrido de campo oscuro anular de alto ángulo con corrección de aberración de sonda (HAADF-STEM), se obtiene una interpretación más directa de la estructura cristalina en términos de tipos y posiciones de átomos. [21] [22]
En física de la materia condensada, el fenómeno muaré se analiza comúnmente para materiales bidimensionales . El efecto se produce cuando hay un desajuste entre el parámetro de la red o el ángulo de la capa 2D y el del sustrato subyacente, [15] [16] u otra capa 2D, como en las heteroestructuras de materiales 2D. [19] [20] El fenómeno se explota como un medio para diseñar la estructura electrónica o las propiedades ópticas de los materiales, [23] que algunos llaman materiales muaré. Los cambios, a menudo significativos, en las propiedades electrónicas al retorcer dos capas atómicas y la perspectiva de aplicaciones electrónicas han dado lugar al nombre de twistrónica de este campo. Un ejemplo destacado es el grafeno bicapa retorcido , que forma un patrón muaré y en un ángulo mágico particular exhibe superconductividad y otras propiedades electrónicas importantes. [24]
En ciencia de materiales , ejemplos conocidos que exhiben contraste muaré son películas delgadas [25] o nanopartículas de tipo MX (M = Ti, Nb; X = C, N) que se superponen con una matriz austenítica. Ambas fases, MX y la matriz, tienen una estructura cristalina cúbica centrada en las caras y una relación de orientación cubo sobre cubo. Sin embargo, tienen un desajuste de red significativo de alrededor del 20 al 24 % (según la composición química de la aleación), lo que produce un efecto muaré. [22]
![{\displaystyle {\begin{aligned}f_{1}&={\frac {1+\sin(k_{1}x)}{2}}\\[4pt]f_{2}&={\frac { 1+\sin(k_{2}x)}{2}}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7c7aa17b59e171f087bf00e4ea25e757a420e7e2)
![{\displaystyle {\begin{aligned}f_{3}&={\frac {f_{1}+f_{2}}{2}}\\[5pt]&={\frac {1}{2}} +{\frac {\sin(k_{1}x)+\sin(k_{2}x)}{4}}\\[5pt]&={\frac {1+\sin(Ax)\cos( Bx)}{2}}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/299a140b39d9049c8ad1ae2ee4043a02799b5fa5)
![{\displaystyle {\begin{alineado}(2D)^{2}&={\frac {p^{2}}{\sin ^{2}\alpha }}(1+\cos \alpha )^{2 }+p^{2}\\[5pt]&=p^{2}\cdot \left({\frac {(1+\cos \alpha )^{2}}{\sin ^{2}\alpha }}+1\right)\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/229b539abf32cf81b046f267e761623c1f39c6ce)
![{\displaystyle {\begin{aligned}(2D)^{2}&=2p^{2}\cdot {\frac {1+\cos \alpha }{\sin ^{2}\alpha }}\\[ 5pt]D&={\frac {\frac {p}{2}}{\sin {\frac {\alpha }{2}}}}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d648b415b71837decbbb11a15395c1011654df07)
