La paradoja de Bertrand es un problema dentro de la interpretación clásica de la teoría de la probabilidad . Joseph Bertrand lo introdujo en su obra Calcul des probabilités (1889) [1] como ejemplo para mostrar que el principio de indiferencia puede no producir resultados definidos y bien definidos para las probabilidades si se aplica acríticamente cuando el dominio de posibilidades es infinito. [2]
La paradoja de Bertrand generalmente se presenta de la siguiente manera: [3] Considere un triángulo equilátero inscrito en un círculo . Supongamos que se elige al azar una cuerda del círculo. ¿Cuál es la probabilidad de que la cuerda sea más larga que un lado del triángulo?
Bertrand dio tres argumentos (cada uno utilizando el principio de indiferencia), todos aparentemente válidos pero que arrojaban resultados diferentes:
Estos tres métodos de selección se diferencian en cuanto al peso que dan a las cuerdas que son diámetros . Este problema se puede evitar "regularizando" el problema para excluir diámetros, sin afectar las probabilidades resultantes. [3] Pero como se presentó anteriormente, en el método 1, cada cuerda se puede elegir exactamente de una manera, independientemente de si es o no un diámetro; en el método 2, cada diámetro se puede elegir de dos maneras, mientras que cada otra cuerda se puede elegir de una sola manera; y en el método 3, cada elección de punto medio corresponde a una única cuerda, excepto el centro del círculo, que es el punto medio de todos los diámetros.
Se han encontrado otros métodos de selección. De hecho, existe una familia infinita de ellos. [4]
La solución clásica del problema (presentada, por ejemplo, en la propia obra de Bertrand) depende del método mediante el cual se elige una cuerda "al azar". [3] El argumento es que si se especifica el método de selección aleatoria, el problema tendrá una solución bien definida (determinada por el principio de indiferencia). Las tres soluciones presentadas por Bertrand corresponden a diferentes métodos de selección, y a falta de mayor información no hay razón para preferir una sobre otra; en consecuencia, el problema planteado no tiene una solución única. [5]
En su artículo de 1973 "El problema bien planteado", [6] Edwin Jaynes propuso una solución a la paradoja de Bertrand basada en el principio de "máxima ignorancia": no debemos utilizar ninguna información que no esté dada en el planteamiento del problema. . Jaynes señaló que el problema de Bertrand no especifica la posición o el tamaño del círculo y argumentó que, por lo tanto, cualquier solución definitiva y objetiva debe ser "indiferente" al tamaño y la posición. En otras palabras: la solución debe ser invariante tanto de escala como de traducción .
Para ilustrar: supongamos que se colocan cuerdas al azar en un círculo con un diámetro de 2, digamos arrojándole pajitas desde lejos y convirtiéndolas en cuerdas por extensión/restricción. Ahora se coloca otro círculo con un diámetro menor (p. ej., 1,1) en el círculo más grande. Entonces, la distribución de las cuerdas en ese círculo más pequeño debe ser la misma que la distribución restringida de las cuerdas en el círculo más grande (nuevamente usando extensión/restricción de las pajitas generadoras). Por lo tanto, si el círculo más pequeño se mueve dentro del círculo más grande, la distribución restringida no debería cambiar. Se puede ver muy fácilmente que habría un cambio para el método 3: la distribución de cuerdas en el círculo rojo pequeño parece cualitativamente diferente de la distribución en el círculo grande:
Lo mismo ocurre con el método 1, aunque es más difícil de ver en una representación gráfica. El método 2 es el único que es invariante de escala e invariante de traducción; El método 3 es simplemente invariante de escala, el método 1 no es ninguno de los dos.
Sin embargo, Jaynes no se limitó a utilizar invariancias para aceptar o rechazar métodos dados: esto dejaría la posibilidad de que exista otro método aún no descrito que cumpliría con sus criterios de sentido común. Jaynes utilizó las ecuaciones integrales que describen las invarianzas para determinar directamente la distribución de probabilidad . En este problema, las ecuaciones integrales efectivamente tienen una solución única, y es precisamente lo que anteriormente se llamó "método 2", el método del radio aleatorio .
En un artículo de 2015, [3] Alon Drory argumentó que el principio de Jaynes también puede generar las otras dos soluciones de Bertrand. Drory sostiene que la implementación matemática de las propiedades de invariancia anteriores no es única, sino que depende del procedimiento subyacente de selección aleatoria que se utiliza (como se mencionó anteriormente, Jaynes usó un método de lanzamiento de paja para elegir cuerdas aleatorias). Muestra que cada una de las tres soluciones de Bertrand se puede derivar utilizando invariancia rotacional, de escala y traslacional, y concluye que el principio de Jaynes está tan sujeto a interpretación como el principio de indiferencia mismo.
Por ejemplo, podemos considerar lanzar un dardo al círculo y dibujar la cuerda teniendo como centro el punto elegido. Entonces, la distribución única que es invariante en traslación, rotación y escala es la que se denomina "método 3" anteriormente.
Asimismo, el "método 1" es la distribución invariante única para un escenario en el que se utiliza una ruleta para seleccionar un punto final de la cuerda y luego se usa nuevamente para seleccionar la orientación de la cuerda. Aquí la invariancia en cuestión consiste en la invariancia rotacional para cada uno de los dos espines. También es la distribución invariante de escala y rotación única para un escenario en el que se coloca una varilla verticalmente sobre un punto de la circunferencia del círculo y se le permite caer a la posición horizontal (con la condición de que aterrice parcialmente dentro del círculo).
El "Método 2" es la única solución que cumple las invariantes de transformación que están presentes en ciertos sistemas físicos, como en la mecánica estadística y la física de gases, en el caso específico del experimento propuesto por Jaynes de arrojar pajitas desde una distancia a un círculo pequeño. Sin embargo, se pueden diseñar otros experimentos prácticos que den respuestas según los otros métodos. Por ejemplo, para llegar a la solución del "método 1", el método de puntos finales aleatorios , se puede colocar una ruleta en el centro del círculo y dejar que los resultados de dos giros independientes marquen los puntos finales de la cuerda. Para llegar a la solución del "método 3", se podría cubrir el círculo con melaza y marcar el primer punto en el que se posa una mosca como el punto medio de la cuerda. [7] Varios observadores han diseñado experimentos para obtener las diferentes soluciones y han verificado los resultados empíricamente. [8] [9] [3]